专题2.1 实数重难点题型分类（八大题型）-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题2.1实数重难点题型分类（八大题型） 重难点题型归纳 【题型01：无理数的概念】 【题型02：平方根、算术平方根与立方根的概念和性质】 【题型03：实数大小比较、无理数的估算】 【题型04：无理数在数轴上的表示】 【题型05：实数与数轴的简单运用】 【题型06：算术平方根与绝对值的非负性综合】 【题型07：实数的运算综合】 【题型08：实数的综合应用】 【题型01：无理数的概念】 1.下列实数中，无理数是（　） A． B． C．3.14159 D． 2．下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 3．在实数，，，中，无理数是（    ） A． B． C． D． 4．下列实数，，，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型02：平方根、算术平方根与立方根的概念和性质】 5．的值为（    ） A． B．3 C． D． 6．9的算术平方根是（   ） A． B．3 C．9 D． 7．一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是（    ） A．64 B．49 C．14 D．7 8．的立方根是（   ） A．2 B． C． D． 9．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．计算的结果是（   ） A． B．3 C． D． 【题型03：实数大小比较、无理数的估算】 11．在1.5，﹣1.4，，0这四个数中，最小的数是（　　） A．1.5 B． C．0 D．﹣1.4 12．下列各式比较大小正确的是（　　） A． B． C．﹣π＜﹣3.14 D． 13．在哪两个整数之间（　　） A．5与6 B．6与7 C．7与8 D．8与9 14．估计的值在（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 15．整数a满足，则a的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 16．设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则＝（　　） A．32 B．46 C．64 D．65 17．比较大小：　　． 18．比较大小： 　　﹣1（填“＞”“＜”或“＝”）． 【题型04：无理数在数轴上的表示】 19．已知点A，B，C在数轴上的位置如图所示，点A表示的数是﹣2，点B是AC的中点，线段AB＝+1，则点C表示的数是 　 　． 20．如图，将数表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数是　　． 21．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和1，则点C所对应的实数是 　 　． 【题型05：实数与数轴的简单运用】 22．实数a，b在数轴上的位置如图，则|a﹣b|﹣|a+b|＝　﹣2a　． 22．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣b|＝　　． 23．实数a，b，c在数轴上的位置如图，那么|c|﹣|a|+|﹣b|+|﹣a|＝　　 ． 24．实数a、b在数轴上如图所示，化简|a|﹣|a﹣b|＝　 　． 25．已知实数a、b在数轴上的对应点如图，化简|a|﹣|a+b|+|c﹣b|＝　　． 【题型06：算术平方根与绝对值的非负性综合】 26．若|3﹣a|+＝0，则a+b的值是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 27．已知|a|＝5，＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（　　） A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12 28．若+|y+3|＝0，则的值为（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 29．已知|b﹣4|+（a﹣1）2＝0，则的平方根是（　　） A． B． C． D． 30．若实数m，n满足（m﹣1）2+＝0，则（m+n）5＝　　． 31．已知，则x+y＝　　． 32．若，则（x+y）2023＝　　． 33．若a，b为实数，且，则（a+b）2023＝　　． 【题型07：实数的运算综合】 34．计算：． 35．计算： （1）； （2）． 36．计算：． 37．计算：． 38．计算： （1）4﹣|﹣7|+； （2）﹣23×（﹣6）﹣（﹣3）2． 39．计算：． 【题型08：实数的综合应用】 40．小明的爸爸打算用如图一块面积为1600cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为1350cm2的桌面． （1）求正方形木板的边长； （2）若要求裁出的桌面的长宽之比为3：2，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由． 41．小强同学用两个小正方形纸片做拼剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为S1，S2）． （1）如图1，S1＝1，S2＝1，拼成的大正方形A1B1C1D1边长为 　　； 如图2，S1＝1，S2＝4，拼成的大正方形A2B2C2D2边长为 　　； 如图3，S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3边长为 　　． （2）若将（1）中的图3沿正方形A3B3C3D3边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由． 42．综合与实践 【问题发现】如图1，把两个面积都为1cm2的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为 　　cm． 【知识迁移】若一个圆与一个正方形的面积都是2πcm2，设这个圆的周长为C这个正方形的周长为C圆，则C圆　　C正（填“＝”或“＜”或“＞”）． 【拓展延伸】李明想用一块面积为400cm2的正方形纸片（如图2所示），沿着边的方向截出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为5：4．李明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1实数重难点题型分类（八大题型） 重难点题型归纳 【题型01：无理数的概念】 【题型02：平方根、算术平方根与立方根的概念和性质】 【题型03：实数大小比较、无理数的估算】 【题型04：无理数在数轴上的表示】 【题型05：实数与数轴的简单运用】 【题型06：算术平方根与绝对值的非负性综合】 【题型07：实数的运算综合】 【题型08：实数的综合应用】 【题型01：无理数的概念】 1.下列实数中，无理数是（　） A． B． C．3.14159 D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的概念，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②还有与有理数的和差积商；③有规律但无限不循环的小数．根据无理数的概念逐项判断即可解题． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、是无理数，符合题意； 故选：D． 2．下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数．熟练掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键． 根据无理数是无限不循环小数判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，是有理数，故A、D不符合要求； 是无理数，故B符合要求； 无意义，故C不符合要求； 故选：B． 3．在实数，，，中，无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，理解无理数的定义是解题的关键．； 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】A． 是有理数，故本选项不符合题意； B． 是有限小数，是有理数，故本选项不符合题意； C．开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数，故本选项符合题意； D． 是有限小数，是有理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．下列实数，，，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数．根据无理数的定义：无限不循环小数，逐项判断即可． 【详解】解：无理数有，，，共3个． 故选：C． 【题型02：平方根、算术平方根与立方根的概念和性质】 5．的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根．根据算术平方根的定义即可解答． 【详解】解：根据算术平方根的定义，， 故选：B． 6．9的算术平方根是（   ） A． B．3 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了求算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：9的算术平方根是3， 故选：B． 7．一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是（    ） A．64 B．49 C．14 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握平方根的性质是解题关键． 根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 则这个正数是， 故选：A． 8．的立方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的求解，根据立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 9．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根与算术平方根，立方根，掌握会求一个数的平方根、算术平方根与立方根是解题的关键． 根据求一个数的平方根、算术平方根与立方根，逐项计算并判定即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 10．计算的结果是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0，熟记立方根的性质是解题的关键．根据立方根的性质计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 【题型03：实数大小比较、无理数的估算】 11．在1.5，﹣1.4，，0这四个数中，最小的数是（　　） A．1.5 B． C．0 D．﹣1.4 【答案】D 【解答】解：在1.5，﹣1.4，，0这四个数中，最小的数是﹣1.4， 故选：D． 12．下列各式比较大小正确的是（　　） A． B． C．﹣π＜﹣3.14 D． 【答案】C 【解答】解：A、∵，∴﹣，故本选项正确； B、∵，，6＝，5＝，∴＞，∴﹣＜﹣，故本选项错误； C、∵π＞3.14，∴﹣π＜﹣3.14，故本选项正确； D、∵＞＝3，∴﹣＜﹣3，故本选项错误． 故选：C． 13．在哪两个整数之间（　　） A．5与6 B．6与7 C．7与8 D．8与9 【答案】C 【解答】解：∵72＝49，82＝64，而49＜50＜64， ∴7＜＜8； 故选：C． 14．估计的值在（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】B 【解答】解：∵4＜7＜9， ∴， ∴， 故选：B． 15．整数a满足，则a的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解答】解：∵18＜25＜28， ∴＜5＜， ∴a＝5， 故选：C． 16．设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则＝（　　） A．32 B．46 C．64 D．65 【答案】D 【解答】解：∵1.52＝2.25，2.52＝6.25，3.52＝12.25，4.52＝20.25，[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数）， ∴； ； ； ； ， ∴ ＝1×2+2×4+3×6+4×8+5 ＝2+8+18+32+5 ＝65， 故选：D． 17．比较大小：　＜　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵≈1.7， ∴﹣1＜1， ∴＜． 故答案为：＜． 18．比较大小： 　＞　﹣1（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵≈1.414，≈2.236， ∴﹣1≈2.236﹣1＝1.236， ∴＞﹣1， 故答案为：＞． 【题型04：无理数在数轴上的表示】 19．已知点A，B，C在数轴上的位置如图所示，点A表示的数是﹣2，点B是AC的中点，线段AB＝+1，则点C表示的数是 　2　． 【答案】2． 【解答】解：∵点A表示的数是﹣2，线段AB＝+1， ∴点B表示的数是﹣1， ∵点B是AC的中点， ∴线段BC＝AB＝1， ∴点C表示的数是：＝2， 故答案为：． 20．如图，将数表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数是　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图可知，1＜被覆盖的数＜3， ∵﹣、、只有在此范围内， ∴被墨迹覆盖的数是． 故答案为： 21．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和1，则点C所对应的实数是 　　． 【答案】． 【解答】解：数轴上两点关于某一点对称，这两点到对称点的距离相等，设点C表示实数x，由此可得， 解得， 故答案为：． 【题型05：实数与数轴的简单运用】 22．实数a，b在数轴上的位置如图，则|a﹣b|﹣|a+b|＝　﹣2a　． 【答案】﹣2a． 【解答】解：由数轴可得：a＜0＜b，|a|＜|b|， ∴|a﹣b|﹣|a+b|＝b﹣a﹣a﹣b＝﹣2a． 故答案为：﹣2a． 22．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣b|＝　2a　． 【答案】2a． 【解答】解：根据图示，可得：a＜0＜b，﹣a＜b， ∴a+b＞0， ∴|a+b|﹣|a﹣b|＝a+b﹣（b﹣a）＝2a． 故答案为：2a． 23．实数a，b，c在数轴上的位置如图，那么|c|﹣|a|+|﹣b|+|﹣a|＝　﹣c﹣b　． 【答案】﹣c﹣b． 【解答】解：由数轴可知：b＜c＜﹣1＜0＜1＜a， ∴|c|﹣|a|+|﹣b|+|﹣a|＝﹣c﹣a﹣b+a＝﹣c﹣b， 故答案为：﹣c﹣b． 24．实数a、b在数轴上如图所示，化简|a|﹣|a﹣b|＝　﹣b　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：观察函数图象，可知：a＜0＜b， ∴a﹣b＜0， ∴|a|﹣|a﹣b|＝﹣a+a﹣b＝﹣b． 故答案为：﹣b． 25．已知实数a、b在数轴上的对应点如图，化简|a|﹣|a+b|+|c﹣b|＝　c　． 【答案】c． 【解答】解：由图可知，a＜0，a＜b＜0＜c，且|a|＞|b|， 所以，a+b＜0，c﹣b＞0， 所以|a|﹣|a+b|+|c﹣b|＝﹣a+a+b+c﹣b＝c， 故答案为：c 【题型06：算术平方根与绝对值的非负性综合】 26．若|3﹣a|+＝0，则a+b的值是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【答案】B 【解答】解：由题意得，3﹣a＝0，2+b＝0， 解得，a＝3，b＝﹣2， a+b＝1， 故选：B． 27．已知|a|＝5，＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（　　） A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12 【答案】D 【解答】解：∵|a|＝5， ∴a＝±5， ∵＝7， ∴b＝±7， ∵|a+b|＝a+b， ∴a+b＞0， 所以当a＝5时，b＝7时，a﹣b＝5﹣7＝﹣2， 当a＝﹣5时，b＝7时，a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12， 所以a﹣b的值为﹣2或﹣12． 故选：D． 28．若+|y+3|＝0，则的值为（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 【答案】C 【解答】解：∵+|y+3|＝0， ∴2x+1＝0，y+3＝0，解得x＝﹣，y＝﹣3， ∴原式＝＝． 故选：C． 29．已知|b﹣4|+（a﹣1）2＝0，则的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意得，b﹣4＝0，a﹣1＝0， 解得a＝1，b＝4， 所以，＝， ∵（±）2＝， ∴的平方根是±． 故选：A． 30．若实数m，n满足（m﹣1）2+＝0，则（m+n）5＝　﹣1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意知， m，n满足（m﹣1）2+＝0， ∴m＝1，n＝﹣2， ∴（m+n）5＝（1﹣2）5＝﹣1． 故答案为：﹣1． 31．已知，则x+y＝　1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵， ∴， 解得， 则x+y＝﹣1+2＝1， 故答案为1． 32．若，则（x+y）2023＝　1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意得，x﹣2＝0，y+1＝0， 解得x＝2，y＝﹣1， 所以（x+y）2023＝（2﹣1）2023＝1． 故答案为：1． 33．若a，b为实数，且，则（a+b）2023＝　﹣1　． 【答案】﹣1． 【解答】解：∵|a﹣1|+＝0， ∴a﹣1＝0，b+2＝0， ∴a＝1，b＝﹣2， ∴（a+b）2023＝（1﹣2）2023＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【题型07：实数的运算综合】 34．计算：． 【答案】10． 【解答】解： ＝7+6﹣3 ＝10． 35．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）7； （2）． 【解答】解：（1） ＝2+2+3 ＝7； （2） ＝4+2﹣﹣3 ＝． 36．计算：． 【答案】． 【解答】解： ＝ ＝． 37．计算：． 【答案】2． 【解答】解： ＝3+（﹣3）+2 ＝2． 38．计算： （1）4﹣|﹣7|+； （2）﹣23×（﹣6）﹣（﹣3）2． 【答案】（1）﹣5； （2）39． 【解答】解：（1）原式＝4﹣7﹣2 ＝﹣5； （2）原式＝﹣8×（﹣6）﹣9 ＝48﹣9 ＝39． 39．计算：． 【答案】1． 【解答】解：原式＝2×（﹣3）+4﹣2+5 ＝﹣6+4﹣2+5 ＝4+5﹣6﹣2 ＝1． 【题型08：实数的综合应用】 40．小明的爸爸打算用如图一块面积为1600cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为1350cm2的桌面． （1）求正方形木板的边长； （2）若要求裁出的桌面的长宽之比为3：2，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由． 【答案】（1）40cm； （2）不能，见解析． 【解答】解：（1）设正方形木板的边长为a（a＞0）cm，则a2＝1600， ∵402＝1600， ∴a＝40，即正边形边长为40cm． （2）设长方形的长、宽分别为3kcm，2kcm，则： 3k⋅2k＝1350，k2＝225， ∴k＝15． ∴3k＝15×3＝45＞40． ∴不能裁出符合要求的长方形． 41．小强同学用两个小正方形纸片做拼剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为S1，S2）． （1）如图1，S1＝1，S2＝1，拼成的大正方形A1B1C1D1边长为 　　； 如图2，S1＝1，S2＝4，拼成的大正方形A2B2C2D2边长为 　　； 如图3，S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3边长为 　　． （2）若将（1）中的图3沿正方形A3B3C3D3边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由． 【答案】（1），，； （2）不能，理由详见解答． 【解答】解：（1）如图1，当S1＝1，S2＝1，拼成的大正方形A1B1C1D1的面积为1+1＝2，因此其边长为； 如图2，当S1＝1，S2＝4，拼成的大正方形A2B2C2D2的面积为1+4＝5，因此其边长为； 如图3，当S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1+16＝17，因此其边长为； 故答案为：，，； （2）不能，理由如下： 设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x•3x＝14.52， 所以x2＝1.21， 即x＝1.1（x＞0）， 因此长方形的长为4x＝4.4，宽为3x＝3.3， 因为（4.4）2＝19.36＞17， 所以不能用正方形A3B3C3D3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形． 42．综合与实践 【问题发现】如图1，把两个面积都为1cm2的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为 　　cm． 【知识迁移】若一个圆与一个正方形的面积都是2πcm2，设这个圆的周长为C这个正方形的周长为C圆，则C圆　＜　C正（填“＝”或“＜”或“＞”）． 【拓展延伸】李明想用一块面积为400cm2的正方形纸片（如图2所示），沿着边的方向截出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为5：4．李明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由． 【答案】（1）； （2）＜； （3）能，理由详见解答． 【解答】解：（1）由题意得，大正方形的面积为2cm2，因此边长为cm， 故答案为：； （2）设圆的半径为r cm， 则πr2＝2π， ∴r＝， ∴圆的周长为2π×＝2π（cm）， 设正方形的边长为a， 则a2＝2π， ∴a＝， ∴正方形的周长为4a＝4（cm）， ∵2π＝＝，4＝＝，而π＜4， ∴＜， 即2π＜4， 也就是C圆＜C正方形， 故答案为：＜； （3）能，理由如下： 设长方形的长为5x cm，则宽为4x cm，由题意可得， 5x•4x＝300， ∴x＝， 即长为5cm，宽为4cm， 而面积为400cm2的边长为cm， ∵5＝＜， ∴能裁出一块面积为300cm2的长方形纸片． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$