精品解析：湖南省邵阳市新邵县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年上期八年级期末质量检测 数学 （温馨提示：本试卷共三个大题，总分120分，考试时量120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 函数的图象过点，那么m的值是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，是的平分线，若，则点D到边的距离等于（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 4. 一组数据的最大值为98，最小值为18，若取组距为9，作等距分组，则分成的组数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 小明参加100m短跑训练，2018年1～4月的训练成绩如下表所示： 月份 1 2 3 4 成绩（s） 15．6 15．4 15．2 15 体育老师夸奖小明是“田径天才”，请你预测小明5年（60个月）后100m短跑的成绩为（　　） （温馨提示；目前100m短跑世界纪录为9秒58） A. 14．8s B. 3．8s C. 3s D. 预测结果不可靠 6. 做一做：用一张长方形纸片折出一个最大正方形．如下图，步骤①将长方形纸片沿痕折叠，使点B落在边上与点重合；步骤②用剪刀沿剪掉长方形；步骤③将沿折痕展开得到正方形．其依据是（ ） A. 有一个角是直角的菱形是正方形 B. 有一组邻边相等的矩形是正方形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 7. 平面图形的镶嵌在生活中的应用非常广泛，从简单的地板和墙纸设计到复杂的艺术品创作，都展现了其独特的魅力和实用性．下列几组多边形组合不能进行平面图形镶嵌的是（ ） A. 正三角形与正方形 B. 正三角形与正六边形 C. 正方形与正八边形 D. 正方形与正六边形 8. 如图，直线与直线相交于点根据图象可知，关于x不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，E为边上的一点，分别平分，，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 定义：对于给定的一次函数（a，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的内角和为_________． 12. 在一次函数中，随的增大而减小，则的值可以是______（任意写一个符合条件的数即可）． 13. 在平面直角坐标系中，把直线向下平移1个单位后，所得的直线与x轴交点的坐标________． 14. 梁启超先生是中国近代思想家、政治家、教育家、史学家、文学家、戊戌变法领袖之一，他曾说：“少年强则国强，少年智则国智，少年富则国富”，在划线部分这句话中，“国”字出现的频率是________． 15. 如图是天安门广场周围的主要景点分布示意图，在此图中建立平面直角坐标系，若表示故宫的点的坐标为（0，﹣1），表示美术馆的点的坐标为（2，2），则人民大会堂的坐标为__________． 16. 如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是 _____． 17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_______． 18. 如图，秤是我国传统的称重工具，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，秤钩所挂物体的重量y（斤）与秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x（厘米）满足一次函数关系．如表中为若干次称重时所记录的一些数据： x（厘米） 1 2 3 4 5 y（斤） 0.75 1 1.25 1.5 1.75 当时，对应的y的值为_________． 三、解答题（19～25小题每小题8分，26小题10分，共66分） 19. 如图，，，，将关于y轴轴反射，然后再向上平移2个单位长度，可以得到． （1）请在图中画出 （2）的顶点的坐标为_______，顶点的坐标为________． （3）求的面积． 20. 如图，正方形中，点E，F分别在，的延长线上，连接，，恰好满足． （1）求证：； （2）若四边形的面积是28，，求的长． 21. 阅读下列一段文字，然后回答下列问题，已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． （1）已知，，试求A、B两点间的距离； （2）已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由． 22. 2024年4月25日，我国神舟十八号飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，为了调查学生对航天知识了解情况，某校随机抽取部分学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（满分100分），根据调查结果绘制了尚不完整的统计图表． 组别 成绩分组（单位：分） 频数 频率 A 3 0.06 B 0.24 C 16 b D a E 8 0.16 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空：这次被调查的学生共有________人，________，________． （2）请补全频数统计图． （3）该校有学生1200人，成绩在80分以上（含80分）的为优秀，假如全部学生参加此次测试，请估计该校学生成绩为优秀的人数． 23. 如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在上的点处，折痕为，过点作交于点. （1）求证：四边形为菱形； （2）当折痕的点与点重合时（如图2），求菱形的边长. 24. 小刚和小强在一条由西向东的公路上行走，小强从A地出发，小刚从小强东边处同时出发，如图所示是小刚，小强离A地的距离与行走的时间之间的图象，根据图象完成以下问题： （1）分别求出小刚、小强离A地的距离与行走时间之间的函数表达式． （2）小强在出发后几分钟可以追上小刚？ 25. 小明在学习矩形这一节时知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，由此引发他的思考，这个定理的逆命题成立吗？猜想：“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形”． 通过探究，小明发现这个猜想也成立，以下是小明证明过程： 已知：如图1，在中，D是边中点，连接，且． 求证：为直角三角形． 证明：由条件可知，，则，． 又∵， ∴，即为直角三角形． 爱动脑筋的小明发现用本学期所学知识也能证明这个结论，并想出了图2，图3两种不同的证明思路，请你选择其中一种，把证明过程补充完整： 证法一：如图2，延长至点E，使，连接，． 证法二：如图3，分别取，边的中点E，F，连接，，，则，，为的中位线． AI 26. 如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，点A是x轴负半轴上一点，并且，点E是线段上一动点（不与端点重合），过点E作轴，交于F． （1）求所在直线的解析式； （2）若轴于点D，点D的坐标为，请用含m的代数式表示与的长； （3）在x轴上是否存在一点P，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年上期八年级期末质量检测 数学 （温馨提示：本试卷共三个大题，总分120分，考试时量120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 函数的图象过点，那么m的值是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确一次函数图象上的点的横纵坐标一定使得函数解析式成立．根据函数的图象过点，可以求得的值． 【详解】解：函数的图象过点， ， 解得， 故选：B 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：选项A、B、C中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项D中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 3. 如图，在中，，，是的平分线，若，则点D到边的距离等于（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是直角三角形的性质和角平分线的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余、所对的直角边是斜边的一半和角平分线的性质是解决此题的关键．过点D作于E，根据直角三角形的两个锐角互余求出，然后根据角平分线的定义和性质可得，即可求出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵是的平分线， ∴， ∴， 如图，过点D作于E ∵是的角平分线，，， ∴， ∴点D到边的距离等于2； 故选D． 4. 一组数据的最大值为98，最小值为18，若取组距为9，作等距分组，则分成的组数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，理解极差和组距，组数的意义是正确判断的前提．根据组数（最大值最小值）组距计算，注意小数部分要进位． 【详解】解：极差为，且组距为9， 组数为． 故选：B 5. 小明参加100m短跑训练，2018年1～4月的训练成绩如下表所示： 月份 1 2 3 4 成绩（s） 15．6 15．4 15．2 15 体育老师夸奖小明是“田径天才”，请你预测小明5年（60个月）后100m短跑的成绩为（　　） （温馨提示；目前100m短跑世界纪录为9秒58） A. 14．8s B. 3．8s C. 3s D. 预测结果不可靠 【答案】D 【解析】 【分析】由表格中的数据可知，每加1个月，成绩提高0.2秒，所以y与x之间是一次函数的关系，可设y=kx+b，利用已知点的坐标，即可求解． 【详解】解：设y=kx+b，依题意得， ， 解得， ∴， 当时，， 这与实际不符合， 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，根据表格中的数据确定出成绩与月份的函数关系是解题的关键． 6. 做一做：用一张长方形纸片折出一个最大正方形．如下图，步骤①将长方形纸片沿痕折叠，使点B落在边上与点重合；步骤②用剪刀沿剪掉长方形；步骤③将沿折痕展开得到正方形．其依据是（ ） A. 有一个角是直角的菱形是正方形 B. 有一组邻边相等的矩形是正方形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，矩形与翻折的性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．根据折叠的性质可得，，，再证明四边形是菱形，再由，再结合正方形的判定即可证明， 【详解】如图， 将长方形纸片沿痕折叠，使点B落在边上与点重合， ，，， 又， ， ， ， ， 四边形是菱形， 又， 四边形是正方形， 故选：A 7. 平面图形的镶嵌在生活中的应用非常广泛，从简单的地板和墙纸设计到复杂的艺术品创作，都展现了其独特的魅力和实用性．下列几组多边形组合不能进行平面图形镶嵌的是（ ） A. 正三角形与正方形 B. 正三角形与正六边形 C. 正方形与正八边形 D. 正方形与正六边形 【答案】D 【解析】 【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满． 【详解】解：A、正三角形的每个内角是，正方形的每个内角是，，能铺满地面； B、正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，能铺满地面； C、正方形的每个内角是，正八边形的每个内角是，，能铺满地面； D、正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，，显然取任何整数时，不能得正整数，故不能铺满． 故选：D 8. 如图，直线与直线相交于点根据图象可知，关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．先求出的值，根据直线在直线的上方时，即可得出结论． 【详解】解：点在直线上， ，解得， ， 根据图象可得：不等式的解集为：， 故选：A 9. 如图，在平行四边形中，E为边上的一点，分别平分，，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先由平行四边形的性质得到，进而得到，，再由角平分线的定义得到，推出，同理可得，由此可得，再由，得到，则由勾股定理得，由此即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵分别平分，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，角平分线的定义，证明是解题的关键． 10. 定义：对于给定的一次函数（a，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“衍生函数”的定义，找出一次函数的“衍生函数”是解题的关键．找出一次函数的“衍生函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值． 【详解】解：由定义知，一次函数的“衍生函数”为， ∵点在一次函数的“衍生函数”图象上， ∴． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的内角和为_________． 【答案】1260 【解析】 【分析】本题主要考查了多变形的内角与外角．首先根据外角和与一个外角的度数可得多边形的边数，再根据多边形的内角和公式进行计算即可． 【详解】解：一个多边形的每一个外角都等于， 这个多边形的边数为：， 这个多边形的内角和为：， 故答案为：． 12. 在一次函数中，随的增大而减小，则的值可以是______（任意写一个符合条件的数即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据随的增大而减小，得出，即可作答． 【详解】解：∵在一次函数中，随的增大而减小， ∴， 解得， 则的值可以是（答案不唯一） 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，把直线向下平移1个单位后，所得的直线与x轴交点的坐标________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移；一次函数与坐标轴的交点坐标，解题的关键是熟练掌握一次函数平移的性质，从而完成求解．根据平移的性质先求解平移后的解析式，再求解交点坐标即可； 【详解】解：把直线向下平移1个单位后， 平移后的直线解析式为：， 即， 当时，， 解得：， ∴直线与x轴交点的坐标为； 故答案为：． 14. 梁启超先生是中国近代思想家、政治家、教育家、史学家、文学家、戊戌变法领袖之一，他曾说：“少年强则国强，少年智则国智，少年富则国富”，在划线部分这句话中，“国”字出现的频率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，直接根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：划线部分这句话中共有18个字，其中“国”字出现3次， ∴“国”字出现的频率是． 故答案为： 15. 如图是天安门广场周围的主要景点分布示意图，在此图中建立平面直角坐标系，若表示故宫的点的坐标为（0，﹣1），表示美术馆的点的坐标为（2，2），则人民大会堂的坐标为__________． 【答案】（﹣1，﹣3） 【解析】 【分析】先根据故宫的点的坐标和美术馆的点的坐标画出直角坐标系，然后根据第三象限内点的坐标特征写出人民大会堂的坐标． 【详解】如图，人民大会堂的坐标为（﹣1，﹣3）． 故答案为（﹣1，﹣3）． 【点睛】本题考查了坐标确定位置：理解各象限内点的坐标特征和坐标轴上点的坐标特征． 16. 如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是 _____． 【答案】3 【解析】 分析】只要证明，可得，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等，解题的关键是通过证明得出． 17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_______． 【答案】（5，4） 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标． 【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上， ∴AB=5， ∴DO=4， ∴点C的坐标是：（5，4）． 故答案为：（5，4）． 18. 如图，秤是我国传统的称重工具，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，秤钩所挂物体的重量y（斤）与秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x（厘米）满足一次函数关系．如表中为若干次称重时所记录的一些数据： x（厘米） 1 2 3 4 5 y（斤） 0.75 1 1.25 1.5 1.75 当时，对应y的值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键．依题意，设与之间的函数关系式为，待定系数法求解析式即可求解，再将代入解析式即可求解． 【详解】解：依题意，设与之间的函数关系式为， 把，，，代入， 可得， 解得， 与之间的函数关系式是； 当时，， 当时，对应的的值为3． 故答案为：3 三、解答题（19～25小题每小题8分，26小题10分，共66分） 19. 如图，，，，将关于y轴轴反射，然后再向上平移2个单位长度，可以得到． （1）请在图中画出 （2）的顶点的坐标为_______，顶点的坐标为________． （3）求的面积． 【答案】（1）画图见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-平移变换，轴对称变换，平面直角坐标系中点的坐标的特征，三角形的面积等知识，准确画出图形是解题的关键. （1）根据轴对称的性质与平移的性质即可画出即可， （2）根据点的位置可得坐标； （3）利用所在的长方形减去周围三个直角三角形即可得出答案. 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：的顶点的坐标为，顶点的坐标为； 【小问3详解】 解：的面积的面积为：； 20. 如图，正方形中，点E，F分别在，的延长线上，连接，，恰好满足． （1）求证：； （2）若四边形的面积是28，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质和平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握正方形四条边相等的性质和平行四边形的判定． （1）证明，可得，再进一步证明四边形是平行四边形即可得出结论； （2）根据面积可求高（也是正方形边长），进而由勾股定理即可求出的长， 【小问1详解】 解：四边形是正方形，则，． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 四边形是平行四边形 ∴ 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形，面积是28，， ，， ∴， ∴在正方形，， ∴， ∴在中，； 21. 阅读下列一段文字，然后回答下列问题，已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． （1）已知，，试求A、B两点间的距离； （2）已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）等腰直角三角形，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，解题的关键是要熟练掌握其相关的公式和定理 （1）利用公式代入计算即可； （2）利用公式求出的长，再由勾股定理逆定理即可判断； 【小问1详解】 解：A、B两点间的距离为； 【小问2详解】 解：为等腰直角三角形，理由如下： ， ， ， ，且 为等腰直角三角形； 22. 2024年4月25日，我国神舟十八号飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，为了调查学生对航天知识的了解情况，某校随机抽取部分学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（满分100分），根据调查结果绘制了尚不完整的统计图表． 组别 成绩分组（单位：分） 频数 频率 A 3 0.06 B 0.24 C 16 b D a E 8 0.16 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空：这次被调查的学生共有________人，________，________． （2）请补全频数统计图． （3）该校有学生1200人，成绩在80分以上（含80分）的为优秀，假如全部学生参加此次测试，请估计该校学生成绩为优秀的人数． 【答案】（1）50，11，0.32 （2）见解析 （3）456人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体： （1）根据A组的频数和频率，可以求得本次调查的人数，然后即可计算出a和b的值； （2）根据频数分布表中的数据，可以得到B组和D组的频数，从而可以将频数统计图补充完整； （3）根据频数分布表中的数据，可以计算出该校学生成绩为优秀的人数． 【小问1详解】 解：这次被调查的学生共有（人）， ， ， 故答案为：50，11，0.32； 【小问2详解】 解： 由（1）知，，B组的频数为：， 补全的频数统计图如图所示； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校学生成绩为优秀的约有456人． 23. 如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在上的点处，折痕为，过点作交于点. （1）求证：四边形为菱形； （2）当折痕的点与点重合时（如图2），求菱形的边长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、勾股定理等知识；掌握基础知识是解本题的关键． （1）根据一组对边平行且相等可证得：四边形为平行四边形，再加上可得结论； （2）先由折叠得：，利用勾股定理得：，设，则，，中，由勾股定理得：，解出即可； 【小问1详解】 证明：由题意可知： ∵点与点关于对称， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：如图，当点与点重合时， 由折叠可知：， ∵在直角中，， ∴， ∴， 设，则，， 中，由勾股定理得：， 解得：， 即菱形边长 24. 小刚和小强在一条由西向东的公路上行走，小强从A地出发，小刚从小强东边处同时出发，如图所示是小刚，小强离A地的距离与行走的时间之间的图象，根据图象完成以下问题： （1）分别求出小刚、小强离A地的距离与行走时间之间的函数表达式． （2）小强在出发后几分钟可以追上小刚？ 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据小刚和小强相遇时，，求解即可． 【小问1详解】 解：设小强离A地的距离与行走时间之间的函数表达为， 把代入得，， 解得， ∴小强离A地的距离与行走时间之间的函数表达为， 设小刚离A地的距离与行走时间之间的函数表达为， 把代入得，， 解得， ∴小刚离A地的距离与行走时间之间的函数表达为； 【小问2详解】 解：当小刚和小强相遇时，， 解得， 答：小强在出发后4分钟可以追上小刚． 25. 小明在学习矩形这一节时知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，由此引发他的思考，这个定理的逆命题成立吗？猜想：“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形”． 通过探究，小明发现这个猜想也成立，以下是小明的证明过程： 已知：如图1，在中，D是边的中点，连接，且． 求证：为直角三角形． 证明：由条件可知，，则，． 又∵， ∴，即为直角三角形． 爱动脑筋的小明发现用本学期所学知识也能证明这个结论，并想出了图2，图3两种不同的证明思路，请你选择其中一种，把证明过程补充完整： 证法一：如图2，延长至点E，使，连接，． 证法二：如图3，分别取，边的中点E，F，连接，，，则，，为的中位线． AI 【答案】见解析． 【解析】 【分析】证法一中,先根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等证明四边形是矩形，得到； 证法二中,先根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等证明四边形 是矩形,得到． 【详解】证法一：如图2延长至点E,使，连接 、； ∵D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形； 又，， ∴， ∴四边形是矩形． ∴ ， ∴ 为直角三角形． 证法二：如题图3， ∵，，为的中位线， ∴，，， ∴四边形 是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、直角三角形的性质、中位线定理等知识，掌握基本概念的运用是解题的关键． 26. 如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，点A是x轴负半轴上一点，并且，点E是线段上一动点（不与端点重合），过点E作轴，交于F． （1）求所在直线的解析式； （2）若轴于点D，点D的坐标为，请用含m的代数式表示与的长； （3）在x轴上是否存在一点P，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），； （3），或，或，． 【解析】 【分析】（1）由直线可求得、坐标，再结合，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）根据直线解析式可求得点的纵坐标，由轴则可得出点纵坐标，代入直线解析式可求得点横坐标，从而可表示出及的长； （3）设，由为等腰直角三角形，分、和三种情况进行讨论，分别求得点坐标． 【小问1详解】 在中，令可得，令可得，解得， ，， ，， ， ，即， 解得:， ， 设直线解析式为， ， 解得:， 直线解析式为． 【小问2详解】 轴，且， 点横坐标为， 中，令，可得， ， 轴， 点纵坐标为， 在中，令，可得， 解得：， ， ，， ． 【小问3详解】 假设存在满足条件的点，设其坐标为， 为等腰直角三角形， 有、和三种情况， ①当时，则有， 由（2）可得，， ，解得， ，； ②当时，则有， 在中，令可得， ， 在中，令，可得，解得， ， ，解得， ，； ③当时，如图，过作于点，则， 由（2）可知，， ，解得， ，， ， ，； 综上可知存在满足条件的点，其坐标为，或，或，． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及三角形的面积、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想．在（1）中求得点坐标是解题的关键，在（2）中分别表示出、的坐标是解题的关键，在（3）中确定出点的位置，利用等腰直角三角形的性质得到关于点坐标的方程是解题的关键，注意分三种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $