1.1 集合的概念（8大题型）-2024-2025学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第一册）

1.1 集合的概念 知识点 1 集合的含义 1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3、对集合概念的理解： （1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明． （2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象． （3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等． 知识点 2 元素与集合 1、元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作a属于A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A，读作a不属于A． 【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． 2、集合中元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合． 例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 3、集合相等：根据集合中元素的无序性，我们可以判断两个集合是否相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。集合A与集合B相等记作A=B. 【注意】（1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等；（2）两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如构成的集合与构成的集合相等． 知识点 3 集合的表示方法与分类 1、常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 2、集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+ （2）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复；（4）集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素． （4）图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法。 3、集合的分类 按照集合中元素的个数的多少，可将集合分为有限集和无限集 （1）有限集：含有有限个元素的集合．例如，集合是有限集． （2）无限集：含有无限个元素的集合．例如，所有自然数组成的集合是无限集． 有限集常用列举法表示，一目了然，有些无限集也可以用列举法表示，如．而描述法更适用于无限集或元素个数较多的集合，如可表示为． 1、判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 2、元素与集合关系的判断方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 3、利用集合中元素的特异性求参数 （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么； （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 4、集合与方程的综合问题 （1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集．集合中的元素就是方程的实数根． （2）当方程中含有参数时，往往要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，有时还要进行分类讨论．求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的特性． 5、集合的新定义问题 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： （1）紧扣新定义。首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． （2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质． 题型一 集合的含义及辨析 【例1】（23-24高一上·安徽蚌埠·月考）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．，，，，，，， 【变式1-1】（23-24高一上·陕西·月考）下列元素的全体可以组成集合的是（    ） A．人口密度大的国家 B．所有美丽的城市 C．地球上的四大洋 D．优秀的高中生 【变式1-2】（23-24高一上·山西运城·月考）（多选）考查下列每组对象，能构成集合的是（    ） A．中国各地最美的乡村； B．直角坐标系中横､纵坐标相等的点； C．不小于3的自然数； D．2018年第23届冬季奥运会金牌获得者. 【变式1-3】（23-24高一上·陕西西安·月考）（多选）下列对象不能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．所有的欧盟成员国 C．空气中密度大的气体 D．我国的小河流 题型二 元素与集合关系的判断 【例2】（23-24高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一上·北京海淀·月考）以下选项中，不是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·北京大兴·月考）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一上·湖南怀化·月考）已知集合，且则（    ） A． B． C． D．以上都不对 题型三 根据元素与集合的关系求参数 【例3】（23-24高一上·浙江温州·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【变式3-1】（23-24高一上·四川遂宁·期中）已知集合，且，则实数 ． 【变式3-2】（23-24高一下·云南昆明·月考）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（22-23高一下·广东汕头·期末）若，且，则的取值范围为 . 题型四 集合中元素特性的应用 【例4】（23-24高一上·湖南衡阳·月考）（多选）由a2，a-1，1组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．2 B．1 C．-2 D．0 【变式4-1】（223-24高一上·全国·练习）已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 【变式4-2】（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知集合，若，求实数a的取值集合． 【变式4-3】（23-24高一上·重庆·期中）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 题型五 用列举法表示集合 【例5】（23-24高一上·新疆·月考）大于小于的正整数用列举法表示 . 【变式5-1】（23-24高一上·安徽芜湖·月考）方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·山东青岛·月考）已知集合，则集合A用列举法可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一下·江西·月考）若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 题型六 用描述法表示集合 【例6】（23-24高一上·福建莆田·月考）第一象限的点组成的集合可以表示为（    ） A． B． C．且 D．或 【变式6-1】（23-24高一上·甘肃白银·月考）集合 “正偶数的全体”，用描述法表示，正确的为（  ） A．} B． C． D． 【变式6-2】（22-23高一上·河南·月考）（多选）集合用描述法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（22-23高一上·上海浦东新·月考）用描述法表示集合“被除余的所有自然数” ． 题型七 集合方程的综合应用 【例7】（22-23高一上·安徽六安·月考）已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是 . 【变式7-1】（23-24高一上·江苏无锡·月考）已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（    ） A．-1 B．2 C． D．0 【变式7-2】（23-24高一上·山东潍坊·月考）（多选）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（    ） A． B．0 C．1 D．5 【变式7-3】（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 题型八 集合的新定义问题 【例8】（23-24高一上·安徽安庆·月考）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 【变式8-1】（23-24高一上·重庆沙坪坝·月考）（多选）若，则称集合为幸福集合.对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．幸福集合个数为7 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 【变式8-2】（23-24高一上·辽宁朝阳·月考）（多选）设S为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题正确的是（    ） A．自然数集N为封闭集 B．整数集Z为封闭集 C．集合为封闭集 D．若S为封闭集，且，则S一定为无限集 【变式8-3】（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多选）设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意，都有，且若，则，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．下列命题正确的是（    ） A．数域必含有0，1两个数 B．整数集是数域 C．若有理数集，则数集M一定是数域 D．数域中有无限多个元素 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集合的概念 知识点 1 集合的含义 1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3、对集合概念的理解： （1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明． （2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象． （3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等． 知识点 2 元素与集合 1、元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作a属于A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A，读作a不属于A． 【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． 2、集合中元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合． 例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 3、集合相等：根据集合中元素的无序性，我们可以判断两个集合是否相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。集合A与集合B相等记作A=B. 【注意】（1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等；（2）两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如构成的集合与构成的集合相等． 知识点 3 集合的表示方法与分类 1、常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 2、集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+ （2）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复；（4）集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素． （4）图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法。 3、集合的分类 按照集合中元素的个数的多少，可将集合分为有限集和无限集 （1）有限集：含有有限个元素的集合．例如，集合是有限集． （2）无限集：含有无限个元素的集合．例如，所有自然数组成的集合是无限集． 有限集常用列举法表示，一目了然，有些无限集也可以用列举法表示，如．而描述法更适用于无限集或元素个数较多的集合，如可表示为． 1、判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 2、元素与集合关系的判断方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 3、利用集合中元素的特异性求参数 （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么； （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 4、集合与方程的综合问题 （1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集．集合中的元素就是方程的实数根． （2）当方程中含有参数时，往往要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，有时还要进行分类讨论．求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的特性． 5、集合的新定义问题 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： （1）紧扣新定义。首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． （2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质． 题型一 集合的含义及辨析 【例1】（23-24高一上·安徽蚌埠·月考）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．，，，，，，， 【答案】B 【解析】对于A，充分接近的所有实数不能满足集合元素的确定性，故A错误； 对于B，所有的正方形可以构成一个集合，故B正确； 对于C，著名的数学家不能满足集合元素的确定性，故C错误； 对于D，元素有重复，不满足集合元素的互异性，故D错误.故选：B. 【变式1-1】（23-24高一上·陕西·月考）下列元素的全体可以组成集合的是（    ） A．人口密度大的国家 B．所有美丽的城市 C．地球上的四大洋 D．优秀的高中生 【答案】C 【解析】由题意，选项ABD，都不满足集合元素的确定性， 选项C的元素是确定的，可以组成集合.故选：C. 【变式1-2】（23-24高一上·山西运城·月考）（多选）考查下列每组对象，能构成集合的是（    ） A．中国各地最美的乡村； B．直角坐标系中横､纵坐标相等的点； C．不小于3的自然数； D．2018年第23届冬季奥运会金牌获得者. 【答案】BCD 【解析】A中“最美”标准不明确，不符合确定性， B,C,D选项中的元素标准明确，均可构成集合.故选:BCD. 【变式1-3】（23-24高一上·陕西西安·月考）（多选）下列对象不能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．所有的欧盟成员国 C．空气中密度大的气体 D．我国的小河流 【答案】ACD 【解析】对于A,“著名”概念模糊，所以不能构成集合， 对于B,所有欧盟成员确定,所以可以构成一个集合, 对于C,“密度大”概念不明确,所以不能构成集合, 对于D,“小河流”概念不明确,所以不能构成集合,故选：ACD 题型二 元素与集合关系的判断 【例2】（23-24高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为为有理数，所以，所以A正确， 对于B，因为为无理数，所以是实数，所以，所以B错误， 对于C，因为0不是正整数，所以，所以C错误， 对于D，因为为无理数，所以，所以D错误，故选：A 【变式2-1】（23-24高一上·北京海淀·月考）以下选项中，不是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A,当时，，故不是的元素， 对于B，当时，，故是的元素， 对于C，当时，，故是的元素， 对于D，当时，，故是的元素，故选：A 【变式2-2】（23-24高一上·北京大兴·月考）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合，故集合表示的是偶数集，所以.故选：D 【变式2-3】（23-24高一上·湖南怀化·月考）已知集合，且则（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【解析】由题知，因为，所以， 所以，故选：B. 题型三 根据元素与集合的关系求参数 【例3】（23-24高一上·浙江温州·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【解析】由集合，得，解得且， 显然，由，得，而，解得， 当时，，符合题意，所以.故选：D 【变式3-1】（23-24高一上·四川遂宁·期中）已知集合，且，则实数 ． 【答案】 【解析】因为，且，所以得， 当时，符合互异性.所以. 故答案为： 【变式3-2】（23-24高一下·云南昆明·月考）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，解得.故选：A. 【变式3-3】（22-23高一下·广东汕头·期末）若，且，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由于，所以，解得， 故答案为： 题型四 集合中元素特性的应用 【例4】（23-24高一上·湖南衡阳·月考）（多选）由a2，a-1，1组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．2 B．1 C．-2 D．0 【答案】CD 【解析】由题意得,解得a≠2且a≠±1，则符合要求的只有CD.故选：CD. 【变式4-1】（223-24高一上·全国·练习）已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 【答案】且 【解析】由集合中元素的互异性可知，，解得且， 故答案为：且 【变式4-2】（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知集合，若，求实数a的取值集合． 【答案】 【解析】因为，所以 ①若，解得，此时集合为，元素重复，所以不成立，即 ②若，解得或，当时，集合为，满足条件，即成立． 当时，集合为，元素重复，所以不成立，即 ③若，解得或，由①②知都不成立． 所以满足条件的实数的取值集合为 【变式4-3】（23-24高一上·重庆·期中）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)的值为0或；(2)的值为 【解析】（1）集合中有三个元素：，，，， 或，解得或， 当时，，，，成立； 当时，，，，成立． 的值为0或． （2）集合中也有三个元素：0，1，，， 当取0，1，时，都有， 集合中的元素都有互异性，，， ．实数的值为． 题型五 用列举法表示集合 【例5】（23-24高一上·新疆·月考）大于小于的正整数用列举法表示 . 【答案】 【解析】由题意大于小于的正整数用列举法表示为：. 故答案为：. 【变式5-1】（23-24高一上·安徽芜湖·月考）方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得， 所以方程组的解构成的集合是.故选：D 【变式5-2】（23-24高一上·山东青岛·月考）已知集合，则集合A用列举法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则且，故故选：D 【变式5-3】（23-24高一下·江西·月考）若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，， 故，所有元素之和为.故选：B. 题型六 用描述法表示集合 【例6】（23-24高一上·福建莆田·月考）第一象限的点组成的集合可以表示为（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【解析】第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0，即且， 所以第一象限的点组成的集合可以表示为且.故选：C 【变式6-1】（23-24高一上·甘肃白银·月考）集合 “正偶数的全体”，用描述法表示，正确的为（  ） A．} B． C． D． 【答案】A 【解析】正偶数的全体为，故集合 “正偶数的全体”可描述为.故选：A 【变式6-2】（22-23高一上·河南·月考）（多选）集合用描述法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】是无限集，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D正确.故选：BCD. 【变式6-3】（22-23高一上·上海浦东新·月考）用描述法表示集合“被除余的所有自然数” ． 【答案】 【解析】由题意得，被除余的所有自然数的集合为， 故答案为：． 题型七 集合方程的综合应用 【例7】（22-23高一上·安徽六安·月考）已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是 . 【答案】且 【解析】集合A有两个元素，所以，解得且. 故答案为：且. 【变式7-1】（23-24高一上·江苏无锡·月考）已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（    ） A．-1 B．2 C． D．0 【答案】C 【解析】或， 当时，，符合题意. 当时，，不符合题意. 当时，要使集合有且仅有一个元素， 则需，解得或（舍去） 综上所述，的可能取值为或，C选项符合.故选：C 【变式7-2】（23-24高一上·山东潍坊·月考）（多选）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（    ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】ABD 【解析】由已知方程得：，解得：且； 由得：； 若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： ①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：， 此时的解为，满足题意； ②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； ③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 综上所述：或或.故选：ABD 【变式7-3】（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时， 为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素， A中只有一个元素时或. （2）由A中至少有一个元素包含两种情况， 一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且 ，得且，再结合A中一个元素的情况， 的取值范围为. 题型八 集合的新定义问题 【例8】（23-24高一上·安徽安庆·月考）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【解析】若不是孤立元，. 设另一元素为， 假设，此时，不合题意，故. 据此分析满足条件的集合为，共有6个.故选：D 【变式8-1】（23-24高一上·重庆沙坪坝·月考）（多选）若，则称集合为幸福集合.对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．幸福集合个数为7 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 【答案】BD 【解析】具有“幸福关系”的元素组有：三组， 含一组的有，，共3个， 含二组的有，，共3个， 含三组的有共1个. 所以M的非空子集中幸福集合的个数为7个，故A错B对； 其中不含1的幸福集合个数为3个，故C错误； 其中元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确.故选：BD 【变式8-2】（23-24高一上·辽宁朝阳·月考）（多选）设S为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题正确的是（    ） A．自然数集N为封闭集 B．整数集Z为封闭集 C．集合为封闭集 D．若S为封闭集，且，则S一定为无限集 【答案】BCD 【解析】对于A，取，则，故自然数集N不是封闭集； 对于B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故整数集Z为封闭集； 对于C，设都是整数， 则，故， 同理， , 故集合为封闭集，C正确； 对于D，若S为封闭集，且，则, 则，依此类推可得所有整数都属于S， 则S一定为无限集，D正确，故选：BCD 【变式8-3】（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多选）设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意，都有，且若，则，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．下列命题正确的是（    ） A．数域必含有0，1两个数 B．整数集是数域 C．若有理数集，则数集M一定是数域 D．数域中有无限多个元素 【答案】AD 【解析】因为P是一个数集，且至少含有两个数，可知P中必有一个非零实数， 对于选项A：当时，、，故A正确； 对于选项B：例如，，但，不满足条件，故B错误； 对于选项C：例如，取，，但， 所以数集M不是一个数域，故C错误； 对于选项D：由选项A可知：数域必含有0，1两个数， 根据数域的性质可知：数域必含有，必为无限集，故可知D正确．故选：AD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$