专题3.2 导数与函数的单调性【七大题型】-2025年高考数学一轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题3.2 导数与函数的单调性【七大题型】 【新高考专用】 【题型1 不含参函数的单调性、单调区间】 2 【题型2 含参函数的单调性】 3 【题型3 根据函数的单调性求参数】 4 【题型4 函数与导函数图象之间的关系】 4 【题型5 函数单调性的应用——比较大小】 6 【题型6 函数单调性的应用——解不等式】 6 【题型7 导数关系构造函数解不等式】 7 1、导数与函数的单调性 考点要求 真题统计 考情分析 (1)结合实例，借助几何直 观了解函数的单调性与导数的关系 (2)能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次) (3)会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用 2022年新课标I卷：第7题，5分 2022年全国甲卷：第12题，5分 2023年新课标Ⅱ卷：第6题，5分 2024年新课标I卷：第10题，6分 导数与函数是高中数学的核心内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，本节内容在高考中常涉及的问题有：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间、利用函数的单调性判断大小、解不等式、求参数范围等；此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中时往往在第一小问中呈现，此时试题整体难度较大. 【知识点1 导数中函数单调性问题的解题策略】 1.确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 2.含参函数的单调性的解题策略： (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 3.根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【知识点2 导数中函数单调性的应用】 1.比较大小： 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.解不等式： 与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【解题方法与技巧】 导数关系构造函数的一些常见结构： (1)对于不等式f'(x)+ g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)+g(x). (2)对于不等式f'(x)-g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)-g(x). 特别地，对于不等式f'(x)> k，构造函数F(x)= f(x)-kx. (3)对于不等式f'(x)g(x)+ f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)·g(x). (4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)=. (5)对于不等式xf'(x)+nf(x)>0，构造函数F(x)=. (6)对于不等式f'(x)+f(x)>0，构造函数F(x)=. (7)对于不等式f'(x)+kf(x)>0，构造函数F(x)=. 【题型1 不含参函数的单调性、单调区间】 【例1】（2024·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·上海静安·二模）函数（　　） A．严格增函数 B．在上是严格增函数，在上是严格减函数 C．严格减函数 D．在上是严格减函数，在上是严格增函数 【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）下列函数是奇函数且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【题型2 含参函数的单调性】 【例2】（2024·辽宁鞍山·二模）已知函数，． (1)若曲线在处的切线与轴垂直，求实数的值； (2)讨论函数的单调性． 【变式2-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）设函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若的图象与轴没有公共点，求的取值范围． 【变式2-2】（2024·贵州·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论在上的单调性． 【变式2-3】（2024·陕西榆林·三模）已知函数的导函数为. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 【题型3 根据函数的单调性求参数】 【例3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·江西宜春·三模）已知，且，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·山东济宁·一模）若函数且在区间内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高三上·河北·期末）设函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 函数与导函数图象之间的关系】 【例4】（2023·安徽·模拟预测）已知函数为的导函数，则的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式4-1】（2024·四川成都·一模）函数的大致图象如图所示，则大小顺序为（    ）    A． B． C． D． 【变式4-2】（2023·云南曲靖·三模）已知函数与的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·北京海淀·一模）函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【题型5 函数单调性的应用——比较大小】 【例5】（2024·江西宜春·三模）已知，，，其中为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·陕西·模拟预测）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 函数单调性的应用——解不等式】 【例6】（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·山东聊城·三模）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·辽宁·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型7 导数关系构造函数解不等式】 【例7】（2024·山东潍坊·三模）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·江苏南通·模拟预测）设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·吉林·二模）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·四川成都·模拟预测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·三模）在区间上，是函数在该区间严格增的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏泰州·模拟预测）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江西南昌·三模）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·广东茂名·一模）若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 10．（2024·河南信阳·模拟预测）已知为上的可导函数，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·浙江台州·一模）已知是定义域为的函数的导函数，，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．（为自然对数的底数，） C．存在， D．若，则 三、填空题 12．（2024·河北邢台·二模）若，，，则a，b，c的大小关系是 （请用“<”连接）． 13．（2024·四川·模拟预测）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 . 14．（2024·新疆·三模）设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．（2024·重庆·三模）已知函数 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求实数a的取值范围. 16．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知R上可导函数的图象如图所示，解不等式.      17．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数 (1)求在处的切线； (2)比较与的大小并说明理由. 18．（2024·山东青岛·二模）已知函数. (1)证明曲线在处的切线过原点； (2)讨论的单调性； 19．（2024·山东·二模）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 导数与函数的单调性【七大题型】 【新高考专用】 【题型1 不含参函数的单调性、单调区间】 2 【题型2 含参函数的单调性】 4 【题型3 根据函数的单调性求参数】 7 【题型4 函数与导函数图象之间的关系】 9 【题型5 函数单调性的应用——比较大小】 12 【题型6 函数单调性的应用——解不等式】 14 【题型7 导数关系构造函数解不等式】 16 1、导数与函数的单调性 考点要求 真题统计 考情分析 (1)结合实例，借助几何直 观了解函数的单调性与导数的关系 (2)能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次) (3)会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用 2022年新课标I卷：第7题，5分 2022年全国甲卷：第12题，5分 2023年新课标Ⅱ卷：第6题，5分 2024年新课标I卷：第10题，6分 导数与函数是高中数学的核心内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，本节内容在高考中常涉及的问题有：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间、利用函数的单调性判断大小、解不等式、求参数范围等；此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中时往往在第一小问中呈现，此时试题整体难度较大. 【知识点1 导数中函数单调性问题的解题策略】 1.确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 2.含参函数的单调性的解题策略： (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 3.根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【知识点2 导数中函数单调性的应用】 1.比较大小： 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.解不等式： 与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【解题方法与技巧】 导数关系构造函数的一些常见结构： (1)对于不等式f'(x)+ g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)+g(x). (2)对于不等式f'(x)-g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)-g(x). 特别地，对于不等式f'(x)> k，构造函数F(x)= f(x)-kx. (3)对于不等式f'(x)g(x)+ f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)·g(x). (4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)=. (5)对于不等式xf'(x)+nf(x)>0，构造函数F(x)=. (6)对于不等式f'(x)+f(x)>0，构造函数F(x)=. (7)对于不等式f'(x)+kf(x)>0，构造函数F(x)=. 【题型1 不含参函数的单调性、单调区间】 【例1】（2024·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出函数的定义域与导函数，再令，解得即可. 【解答过程】函数的定义域为， 且， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 故选：D. 【变式1-1】（2024·上海静安·二模）函数（　　） A．严格增函数 B．在上是严格增函数，在上是严格减函数 C．严格减函数 D．在上是严格减函数，在上是严格增函数 【解题思路】求导后利用导函数的正负判断函数的单调性，并根据严格增减函数的定义即可得到选项. 【解答过程】解：已知，，则， 令，即，解得， 当时，，所以在上是严格减函数， 当时，，所以在上是严格增函数， 故选：D. 【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）下列函数是奇函数且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数奇偶性定义可排除A，利用特殊值法可排除B，利用导数求函数单调性可排除C，根据函数奇偶性定义及复合函数单调性可得结果. 【解答过程】对于A，因为，所以， 即为非奇非偶函数，故排除A． 对于B，因为，，所以， 所以在上不是单调递减的，故排除B． 对于C，对求导，得．令，解得． 令，解得或， 所以在上单调递增，在上单调递减，故排除C． 对于D，易得的定义域为， 且 ，所以为奇函数． 令，则．易知在上单调递增， 在上单调递减．由复合函数的单调性，得 在上单调递减． 故选：D． 【变式1-3】（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先利用导数求出函数在上的单调性，再根据奇函数的性质得到函数在上的单调性，即可判断. 【解答过程】当时，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又函数是定义在上的奇函数， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故选：D. 【题型2 含参函数的单调性】 【例2】（2024·辽宁鞍山·二模）已知函数，． (1)若曲线在处的切线与轴垂直，求实数的值； (2)讨论函数的单调性． 【解题思路】1）求导函数，根据导数的几何意义及切线与y轴垂直建立方程求解即可； （2）求导函数，按照和分类讨论，求出函数的单调性. 【解答过程】（1）依题意，， 则， 因为在处的切线与轴垂直，所以，解得； （2）由（1）知， 当时，由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间， 当时，分以下三种情况： 若，则在定义域内恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令得或，令得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 若，令得或，令得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 综上所述，当时，在区间单调递增，在区间单调递减； 当时，在区间单调递增，无递减区间； 当时，在区间单调递增，在区间单调递减； 当时，在区间单调递增，在区间单调递减. 【变式2-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）设函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若的图象与轴没有公共点，求的取值范围． 【解题思路】（1）求导，根据导函数的正负分析的单调性即可； （2）将的图象与轴没有公共点转化为小于零，解不等式即可. 【解答过程】（1）由题意，的定义域为， ， 则当时，单调递减；当时，单调递增． 故函数在上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）知函数的最大值为，要使的图象与轴没有公共点，只需的最大值恒小于，即恒成立， 故，得，所以的取值范围为. 【变式2-2】（2024·贵州·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论在上的单调性． 【解题思路】（1）求导，计算斜率，再用点斜式求解即可； （2）令，求出，根据、可得使，可得、时的单调性，从而得解. 【解答过程】（1）， ∴，又， ∴曲线在点处的切线方程是， 即； （2）令， 则在上递减，且，， ∴，使，即， 当时，，当时，， ∴在上递增，在上递减， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，显然，等号不成立，故， ∴在上是减函数． 【变式2-3】（2024·陕西榆林·三模）已知函数的导函数为. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 【解题思路】（1）求导，根据判别式分类讨论，即可根据导数的正负确定函数单调性， （2）将所证不等式等价变形后构造，利用导数求解函数的单调性，即可求证. 【解答过程】（1）， 当，即时，此时，，故在上单调递增. 当，即时，令， 则. ①当时，在上单调递增，在上单调递减. ②当时，，在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：当时，， 证原不等式等价于证，令， 则，且，故只需证，即证 令，则， 令，则 ， 由于，令则， 在上单调递增，在上单调递减.又， 当时，，即，当,时，，即， 在上单调递增，在上单调递减， ， 所以，当时，1. 【题型3 根据函数的单调性求参数】 【例3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件得即在上恒成立，构造函数，，由二次函数的性质求出的最值即可解决问题. 【解答过程】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，，变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以. 故选：A． 【变式3-1】（2024·江西宜春·三模）已知，且，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，转化为在上恒成立，令，利用导数求得函数单调递减，得到，得出，即可求解. 【解答过程】由函数，可得 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 令，则， 所以在上单调递减，所以，即， 则，解得，即实数的取值范围是． 故选：D． 【变式3-2】（2024·山东济宁·一模）若函数且在区间内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，利用导数求出函数的单调区间，再分和两种情况讨论，结合复合函数的单调性即可得解. 【解答过程】令，则， 当或时，，当时，， 所以在和上递减，在上递增， 当时，为增函数，且函数在区间内单调递增， 所以，解得， 此时在上递增，则恒成立， 当时，为减函数，且函数在区间内单调递增， 所以，无解， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 【变式3-3】（23-24高三上·河北·期末）设函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据单调性与导数的关系可得在上恒成立，进而即可求解. 【解答过程】依题意，在上恒成立， 记，则在上恒成立， 在上单调递增，所以只需，解得， 故选：A． 【题型4 函数与导函数图象之间的关系】 【例4】（2023·安徽·模拟预测）已知函数为的导函数，则的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】根据函数解析式求导函数,再根据导函数导数正负得出导函数的单调性判断即可. 【解答过程】令函数，定义域为， 函数为偶函数， 又，且， 当时，在单调递增， 则， 函数在单调递增. 故选：C. 【变式4-1】（2024·四川成都·一模）函数的大致图象如图所示，则大小顺序为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】利用复合函数的性质及导数研究单调性结合图象判定大小即可. 【解答过程】令，则， 由得， 因为定义域上单调递增，结合图象知函数在上递增，在递减， 所以且，所以， 又过点， 所以，即， 所以 故选：B. 【变式4-2】（2023·云南曲靖·三模）已知函数与的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，利用函数的导数与单调性的关系分析4个结论是否正确，即可得答案． 【解答过程】由图可知，与在区间上单调递增，所以. 在区间上，的图象比的图象更陡峭，所以. 故选：D. 【变式4-3】（2024·北京海淀·一模）函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】借助函数图象与导数的关系计算即可得. 【解答过程】由，且为偶函数，故， 由导数性质结合图象可得当时，， 当时，，当时，即， 则由，有，解得， 亦可得，或，或，或， 由可得或，即， 由可得，即， 由，可得，即或（舍去，不在定义域内）， 由，可得， 综上所述，关于x的不等式的解集为. 故选：D. 【题型5 函数单调性的应用——比较大小】 【例5】（2024·江西宜春·三模）已知，，，其中为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先将化成统一形式，构造函数 ，研究单调性进而比较大小即可. 【解答过程】由题意得，，； 设，则， 当时，，所以单调递增，又， 所以，即，所以. 故选：A. 【变式5-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】比较大小，构造，结合单调性即可比较大小；比较大小，构造，结合单调性即可比较大小. 【解答过程】令，则，所以单调递增， 又，所以，即， 所以，所以，即，所以， 设，则，所以单调递减， ，即，故，，即，所以， 所以， 故选：A. 【变式5-2】（2024·陕西·模拟预测）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先利用导数判断的单调性，再构造函数，利用导数判断得，从而得解. 【解答过程】因为， 所以， 令，则恒成立， 所以当时，，即， 又在上单调递增，所以， 所以在上恒成立，则在上单调递增， 构造函数，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即，可得，， 所以，， 所以，， 即 所以，， 即 . 故选：D. 【变式5-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，和，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【解答过程】令，，则， 令，则即单调递增，所以，故为增函数，所以，可得，故. 令，则，故为增函数，所以0，即.所以，故，所以b 故选：B. 【题型6 函数单调性的应用——解不等式】 【例6】（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式，再求解即可. 【解答过程】，所以，即为偶函数， 对函数，，则 ， 因为，所以，，所以，故在上恒成立. 所以函数在上单调递增，所以在上单调递增. 所以 ， 所以 ，解得或． 故选：B. 【变式6-1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得，可将转化为，结合导数可得在上单调递增，即可得. 【解答过程】由题可得， 所以， 即有，即， 故不等式等价于， 又， 当时，，故， 当时， ，，故， 即恒成立，故在上单调递增， 故由可得，即. 故选：A. 【变式6-2】（2024·山东聊城·三模）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，根据题意，可证为上的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，又由转化为，即，即可得解. 【解答过程】因为， 设， 则， 即为上的偶函数， 又当时，， 则，所以在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以， 即，所以，即， 解得. 故选：B. 【变式6-3】（2024·辽宁·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据为奇函数及为偶函数可求，利用导数可判断为上的减函数，从而可求不等式的解. 【解答过程】因为，故， 故， 因为是定义在上的奇函数，故， 故，故，故， 此时，故为上的减函数， 而等价于， 即即，故或 故选：A . 【题型7 导数关系构造函数解不等式】 【例7】（2024·山东潍坊·三模）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【解题思路】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式. 【解答过程】不等式等价于，即， 构造函数，所以， 因为时，，所以对恒成立， 所以在单调递减， 又因为， 所以不等式等价于，所以， 即的解集为. 故选：A. 【变式7-1】（2024·江苏南通·模拟预测）设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先令，判断的单调性及奇偶性，由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式． 【解答过程】因为为偶函数， 所以，所以， 令， 因为为偶函数， 则，即， 即， 所以， 当时，，即在上单调递减，则在上单调递增， 由，即， 所以，即，解得或， 即实数的取值范围是． 故选：A． 【变式7-2】（2024·吉林·二模）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，求导可得在上单调递减，由已知可得，可得，可得不等式的解集. 【解答过程】由题意知，当时，， 令，则， 所以在上单调递减， 不等式等价于， 即为，所以，解得. 故选：A. 【变式7-3】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，根据题意得在上单调递增，不等式可转化为，即，即可求解. 【解答过程】设，则． 因为，所以， 所以，所以在上单调递增． 不等式可转化为， 又，且， 即，所以，解得， 即不等式的解集为． 故选：A． 一、单选题 1．（2024·四川成都·模拟预测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先得出函数的定义域，再令，解不等式即可. 【解答过程】函数的定义域为，，令，解得：， 多取一个端点不影响单调性，所以在上单调递减. 故选：D. 2．（2024·上海·三模）在区间上，是函数在该区间严格增的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【解题思路】在该区间严格增,选出答案. 【解答过程】在该区间严格增，即可能会在该区间内存在导数为0的情况， 比如在R上单调递增，且， 故是函数在该区间严格增的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用切线放缩公式：比较，再由三角函数的单调性，比较. 【解答过程】由，当时等号成立，知，∵，∴，. 故选：B. 4．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先通过特值代入易得A项符合，对于B, C, D项，通过图象观察分析可得，结合两函数图象交点的位置舍去C项. 【解答过程】由可得 对于，当时，在第一象限上递减，对应图象在第四象限且递增，故A项符合； 对于在第一象限上与的图象在上都单调递增，故且，则. 又由可得，即与的图象交点横坐标应大于1，显然C项不符合，B, D项均符合. 故选：C. 5．（2024·江苏泰州·模拟预测）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出函数的导函数，利用换元法将题目条件转化为在上恒成立；再构造函数，判断其函数的单调性，求出最大值即可解答. 【解答过程】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 令， 则， 所以在上恒成立. 又因为在上单调递增， 所以当时， 故. 故选：D. 6．（2024·江西南昌·三模）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】设，由恒成立，在上单调递减，由可得，由单调性解不等式即可. 【解答过程】设，则 ， 对任意，，恒成立，即在上单调递减， 由可得，，解得，即解集为. 故选：A. 7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，令，利用导数判断的单调性，从而可得，进而可得比较函数值的大小． 【解答过程】∵， ∴，∴是偶函数， ， 当时，，故函数在上单调递增， 令，则， 即函数在上单调递减，故， 即可，而， 所以， ∴． 故选：C． 8．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，利用单调性和奇偶性解不等式即可. 【解答过程】令，则， 因为当时，，所以在上单调递增， 又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数， 由，得，解得或 故选：D. 二、多选题 9．（2024·广东茂名·一模）若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【解题思路】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于的不等式组，解出即可． 【解答过程】由题意，， 令，解得，令，解得或， 所以在上单调递减，在，上单调递减， 若函数在区间上单调， 则或或，解得或或， 即或. 故选：CD. 10．（2024·河南信阳·模拟预测）已知为上的可导函数，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先构造函数，利用导数判断该函数的单调性；再利用单调性即可判断各个选项. 【解答过程】设，. 则. 因为所以， 则函数在区间上单调递增， 所以，即，； ，即，；而A无法确定；故BD正确，AC错误. 故选：BD. 11．（2024·浙江台州·一模）已知是定义域为的函数的导函数，，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．（为自然对数的底数，） C．存在， D．若，则 【解题思路】由原函数和导函数的对称性判断A；令，结合题设条件判断其单调性后可判断B，C，D. 【解答过程】因为是定义域为的函数的导函数，所以是定义域为的可导函数， 因为，所以的图像关于点对称， 所以，而，故， 所以的图像关于对称， 因为，故时，， 所以，设， 故时，，故在上为增函数， 同理在上为减函数， 对于A，因为，故，故A正确； 对于B，，故，故B正确； 对于C，当时，； 当时，，而时，， 故恒成立，故C错误； 对于D，当时，单调递减， ，， 所以， 故时，，而，故，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（2024·河北邢台·二模）若，，，则a，b，c的大小关系是 （请用“<”连接）． 【解题思路】根据给定条件，构造函数，再利用导数比较大小即可. 【解答过程】令函数，，得， 即函数在上单调递增，，则， 即， 令函数，得， 即即函数在上单调递减，，则， 即 所以a，b，c的大小关系是 故答案为：. 13．（2024·四川·模拟预测）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 . 【解题思路】根据题意可知在区间有变号零点，结合变号零点与给定区间的关系求解即可. 【解答过程】由题意知， 因为在区间上不单调，即在区间有变号零点，又，所以，，， 所以在区间内， 所以，解得，即m的取值范围是. 故答案为：. 14．（2024·新疆·三模）设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是 . 【解题思路】构造函数，根据题意和导数求得函数在上单调递减，再由，得到为偶函数，结合对称性得到在上单调递增，把不等式，转化为，即可求解. 【解答过程】令函数， 因为，时，所以， 所以函数在上单调递减， 又因为， 所以函数，所以为偶函数， 根据偶函数的对称性，可得在上单调递增， 若 则， 整理得，所以， 两边平方可得，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2024·重庆·三模）已知函数 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求实数a的取值范围. 【解题思路】（1）由得到，再利用导数的几何意义求解； （2）求导，根据在区间上单调递增，由恒成立求解. 【解答过程】（1）解：当时，， ， 则，， 所以当时，在点处的切线方程为 （2）， 因为在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 因为当时，， 所以，即a的取值范围是 16．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知R上可导函数的图象如图所示，解不等式.      【解题思路】分析图像出函数的单调性，化简不等式，即可解出不等式的解集. 【解答过程】由题意及图得， 在中， 当，时，， 当时，. 则①或②. 解①得，或，解②得，， 综上，不等式的解集为. 17．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数 (1)求在处的切线； (2)比较与的大小并说明理由. 【解题思路】（1）求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）求得，得到在上单调递增，结合，得到即可得到. 【解答过程】（1）解：因为函数，可得， 可得，且， 所以在处的切线方程为，即. （2）解：由，可得，所以在上单调递增， 又由，所以时，，即在上恒成立， 所以，即. 18．（2024·山东青岛·二模）已知函数. (1)证明曲线在处的切线过原点； (2)讨论的单调性； 【解题思路】（1）可求得切点为，斜率，则切线方程为，则恒过原点； （2）首先求函数的导数，当时，和，可得的单调区间；当时，令，当时由的判别式和，讨论出函数的单调区间；当时，的判别式，讨论出函数的单调区间. 【解答过程】（1）由题设得，所以， 又因为，所以切点为，斜率， 所以切线方程为，即恒过原点． （2）由（1）得， 当时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减； 当时，令，则， 当且时，即时，，在上单调递增， 当时，， 由，则，或，则， 所以在上单调递增，在上单调递增； 由，则，则， 所以在上单调递减； 当时，，则为开口向下的二次函数， 对称轴，，， 由，则，则，所以在上单调递增， 由，则，则，所以在上单调递减； 综上：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 19．（2024·山东·二模）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围． 【解题思路】（1）当时，，求导得，令，求确定的单调性与取值，从而确定的零点，得函数的单调区间； （2）求，确定函数的单调性，从而确定函数的最值，即可得的取值范围． 【解答过程】（1）当时，， 则， 设，则恒成立，又， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的减区间为，增区间为； （2）， 设，则，所以在上单调递增， 又，， 所以存在，使得，即， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，取得极小值，也是最小值， 所以， 所以，即， 设，易知单调递增，且， 所以，解得， 综上，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$