专题3.1 导数的概念及其意义、导数的运算【九大题型】-2025年高考数学一轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题3.1 导数的概念及其意义、导数的运算【九大题型】 【新高考专用】 【题型1 导数的定义及其应用】 2 【题型2 （复合）函数的运算】 3 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 3 【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 4 【题型5 与切线有关的参数问题】 4 【题型6 切线的条数问题】 5 【题型7 两条切线平行、垂直问题】 5 【题型8 公切线问题】 6 【题型9 与切线有关的最值问题】 6 1、导数的概念及其意义、导数的运算 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数 (2)通过函数图象，理解导数的几何意义 (3)能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数 2022年新课标I卷：第15题，5分 2023年全国甲卷（文数）：第8题，5分 2024年新课标I卷：第13题，5分 2024年全国甲卷（文数）：第7题，5分 2024年全国甲卷（理数）：第6题，5分 导数是高考数学的必考内容，导数的概念及其意义、导数的运算是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，主要涉及导数的运算及几何意义，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档. 【知识点1 导数的运算的方法技巧】 1.导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【知识点2 复合函数的导数】 1.复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). 2.复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 3.求复合函数导数的步骤 第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步：相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步：变量回代：把中间变量代回. 【知识点3 切线问题的解题策略】 1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略： (1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). 2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法： (1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； (2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； (3)将已知条件代入②中的切线方程求解. 3.与切线有关的参数问题的解题策略： (1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率； ②切点在切线上，故满足切线方程； ③切点在曲线上，故满足曲线方程. (2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法. 4.公切线问题的解题思路 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般 是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法. 【题型1 导数的定义及其应用】 【例1】（2024·重庆·模拟预测）（   ） A．72 B．12 C．8 D．4 【变式1-1】（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数在处的导数为，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·江西赣州·期中）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1-3】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）若定义在上的函数满足，其导函数满足，则与大小关系一定是（    ） A． B． C． D． 【题型2 （复合）函数的运算】 【例2】（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·山东·二模）已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（    ） A．1 B． C．2 D．2023 【变式2-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设，，，， 则等于（    ） A．0 B． C． D． 【变式2-3】（2024·新疆喀什·二模）已知函数的定义域均为为的导函数，且，，若为偶函数，则（     ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例3】（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·河北唐山·模拟预测）已知曲线在处的切线为，则的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【变式3-2】（2024·新疆阿克苏·一模）若直线与曲线相切，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·贵州·模拟预测）设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 【例4】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·河南洛阳·模拟预测）曲线在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式4-3】（2024·北京东城·一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型5 与切线有关的参数问题】 【例5】（2024·广西贵港·三模）已知曲线在点处的切线方程为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-1】（2024·河南郑州·二模）已知曲线在点处的切线方程为，则（    ） A．－1 B．－2 C．－3 D．0 【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方桯为.则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型6 切线的条数问题】 【例6】（2024·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-2】（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）若过点与曲线相切的直线只有2条，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 两条切线平行、垂直问题】 【例7】（2024·四川遂宁·模拟预测）与曲线和都相切的直线与直线垂直，则=（ ） A．-8 B．-3 C．4 D．6 【变式7-1】（2024·安徽六安·三模）若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·浙江杭州·模拟预测）函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·四川成都·一模）已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且当时，，过点作曲线的两条切线,若这两条切线互相垂直,则该函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型8 公切线问题】 【例8】（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式8-1】（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式8-2】（2024·江苏南通·模拟预测）若曲线与曲线有且只有一个公共点，且在公共点处的切线相同，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数与的图象关于直线对称，直线与的图象均相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【题型9 与切线有关的最值问题】 【例9】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式9-1】（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知函数与存在公切线，则实数a的最小值（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，设曲线在处的切线为，则与两条坐标轴所围成的图形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2024·浙江·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 一、单选题 1．（2024·湖北襄阳·二模）已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 2．（23-24高二下·山东·阶段练习）若，则（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 3．（2024·福建漳州·三模）已知函数是函数的导函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·上海闵行·二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用 的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（   ）    A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标； D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 5．（2024·河南·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山西·模拟预测）已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2024·全国·模拟预测）若过点可作函数图象的两条切线，则必有（    ） A． B． C． D． 8．（2024·辽宁辽阳·二模）若对函数的图象上任意一点处的切线，函数的图象上总存在一点处的切线，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·湖南·二模）下列函数的图象与直线相切的有（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·江苏南通·模拟预测）过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线、，切点为、、不重合，设直线、分别与y轴交于点A、B，则（    ） A．、两点的纵坐标之积为定值 B．直线的斜率为定值 C．线段AB的长度为定值 D．面积的取值范围为 三、填空题 12．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知函数，若，则 . 13．（2024·云南楚雄·模拟预测）曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 . 14．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 四、解答题 15．（23-24高二下·北京延庆·期末）求下列函数的导函数. (1)； (2)； (3)； (4). 16．（23-24高二·全国·随堂练习）（1）已知，用割线逼近切线的方法求； （2）已知，用割线逼近切线的方法求． 17．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数． (1)当时，若直线与曲线相切，求； (2)若直线与曲线恰有两个公共点，求． 18．（2024·湖南郴州·三模）已知函数. (1)若在区间上恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数和有公切线，求实数的取值范围. 19．（23-24高二下·江西·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 导数的概念及其意义、导数的运算【九大题型】 【新高考专用】 【题型1 导数的定义及其应用】 2 【题型2 （复合）函数的运算】 3 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 5 【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 6 【题型5 与切线有关的参数问题】 8 【题型6 切线的条数问题】 9 【题型7 两条切线平行、垂直问题】 11 【题型8 公切线问题】 14 【题型9 与切线有关的最值问题】 16 1、导数的概念及其意义、导数的运算 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数 (2)通过函数图象，理解导数的几何意义 (3)能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数 2022年新课标I卷：第15题，5分 2023年全国甲卷（文数）：第8题，5分 2024年新课标I卷：第13题，5分 2024年全国甲卷（文数）：第7题，5分 2024年全国甲卷（理数）：第6题，5分 导数是高考数学的必考内容，导数的概念及其意义、导数的运算是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，主要涉及导数的运算及几何意义，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档. 【知识点1 导数的运算的方法技巧】 1.导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【知识点2 复合函数的导数】 1.复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). 2.复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 3.求复合函数导数的步骤 第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步：相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步：变量回代：把中间变量代回. 【知识点3 切线问题的解题策略】 1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略： (1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). 2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法： (1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； (2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； (3)将已知条件代入②中的切线方程求解. 3.与切线有关的参数问题的解题策略： (1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率； ②切点在切线上，故满足切线方程； ③切点在曲线上，故满足曲线方程. (2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法. 4.公切线问题的解题思路 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般 是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法. 【题型1 导数的定义及其应用】 【例1】（2024·重庆·模拟预测）（   ） A．72 B．12 C．8 D．4 【解题思路】令，根据导数的概念，可求解. 【解答过程】令，根据导数的概念， ， ，所以. 故选：B． 【变式1-1】（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数在处的导数为，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数的定义即可求出． 【解答过程】， 故选：A． 【变式1-2】（23-24高二下·江西赣州·期中）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】由导数的定义及几何意义即可求解. 【解答过程】解：因为存在导函数且满足， 所以，即曲线上的点处的切线的斜率为， 故选：A. 【变式1-3】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）若定义在上的函数满足，其导函数满足，则与大小关系一定是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据导数的定义，结合题意得出，令，整理化简即可得到正确答案. 【解答过程】∵且， ∴，即. 令，得：， ∴，所以. 故选：C. 【题型2 （复合）函数的运算】 【例2】（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】观察，构造函数，利用导数的四则运算得到，代入即可得解. 【解答过程】设， 则，故， 所以 . 故选：C. 【变式2-1】（2024·山东·二模）已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（    ） A．1 B． C．2 D．2023 【解题思路】根据进行奇偶性和周期性的推导，得到是周期为4的偶函数，从而算出的值. 【解答过程】因为，所以两边求导，得， 即① 因为为定义在上的奇函数，则， 所以两边求导，得，所以是定义在上的偶函数， 所以，结合①式可得，， 所以，两式相减得，， 所以是周期为4的偶函数， 所以. 由①式，令，得，所以. 故选：C. 【变式2-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设，，，， 则等于（    ） A．0 B． C． D． 【解题思路】根据题意分析可知：可知，且，结合周期性分析求解. 【解答过程】由题意可得：， 可知，且， 且，所以. 故选：A. 【变式2-3】（2024·新疆喀什·二模）已知函数的定义域均为为的导函数，且，，若为偶函数，则（     ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【解题思路】由题意分析可得，再推导得的奇偶性和周期性，利用特殊值求出，进而分析得到，计算可得答案. 【解答过程】由题意，可知，①， 令可得，，所以. 又因为为偶函数，所以，两边同时求导可得，② 令可得，，所以， 联立①②可得，，化简可得，所以是周期为2的函数，所以，， 又因为，所以，所以， 所以. 故选：A. 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例3】（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角. 【解答过程】由，则，即直线的斜率为， 根据倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为. 故选：C. 【变式3-1】（2024·河北唐山·模拟预测）已知曲线在处的切线为，则的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【解题思路】由导数的几何意义结合导数运算即可求解. 【解答过程】对求导得，，由题意曲线在处的切线的斜率为. 故选：A. 【变式3-2】（2024·新疆阿克苏·一模）若直线与曲线相切，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据导数的几何意义，求导数的取值范围，即可求解. 【解答过程】， 由导数的几何意义可知，. 故选：A. 【变式3-3】（2024·贵州·模拟预测）设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出，令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围. 【解答过程】∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴或. 故选：B. 【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 【例4】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求导，令，求出，再结合导数的几何意义即可求解. 【解答过程】依题意，，令， 故，解得，故，故． 故选：D． 【变式4-1】（2024·河南洛阳·模拟预测）曲线在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数的几何意义去求曲线在处的切线方程 【解答过程】，则， 当时，，， 所以切线方程为，即． 故选：D． 【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【解题思路】由解析式得为偶函数，故过原点作的两条切线一定关于y轴对称，再由导数几何意义求上的切线，结合偶函数对称性写出另一条切线. 【解答过程】由，得为偶函数， 故过原点作的两条切线一定关于y轴对称． 当时，，则， 设切点为，故，解得或（舍）， 所以切线斜率为1，从而切线方程为． 由对称性知：另一条切线方程为． 故选：A. 【变式4-3】（2024·北京东城·一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设切点坐标为，求得切线方程为，把原点代入方程，得到，解得，即可求得切线方程. 【解答过程】由函数，可得， 设切点坐标为，可得切线方程为， 把原点代入方程，可得，即， 解得，所以切线方程为，即. 故选：A. 【题型5 与切线有关的参数问题】 【例5】（2024·广西贵港·三模）已知曲线在点处的切线方程为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】求出函数的导函数，依题意可得，即可求出，再将切点代入切线方程，即可求出； 【解答过程】解：，， ∴，∴．将代入得，∴． 故选：C． 【变式5-1】（2024·河南郑州·二模）已知曲线在点处的切线方程为，则（    ） A．－1 B．－2 C．－3 D．0 【解题思路】根据导数的几何意义可知切线斜率为，可得，计算出切点代入切线方程即可得. 【解答过程】由题意可得， 根据导数的几何意义可知，在点处的切线斜率为，解得； 所以切点为，代入切线方程可得，解得. 故选：C. 【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方桯为.则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】对函数求导，再求出处的切线方程，即可求得； 【解答过程】解：函数，则，函数的图象在点处的切线方桯为， 所以，解得，则. 故选：C. 【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据导数的几何意义可求得在点处的切线方程，设其与相切于点，由切线斜率可求得，利用两点连线斜率公式构造方程求得. 【解答过程】，，，， 在点处的切线方程为：； 设与相切于点，则，解得：， 又，，解得：. 故选：C. 【题型6 切线的条数问题】 【例6】（2024·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】设切点为，由已知得，则切线斜率， 切线方程为． ∵直线过点，∴， 化简得．∵切线有2条， ∴，则的取值范围是， 故选：D. 【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】设切点为，根据导数的几何意义求得在切点处的切线方程，再将代入，求得的值，即可得解. 【解答过程】解：因为，所以， 设切点为， 所以在切点处的切线方程为， 又在切线上，所以， 即， 整理得，解得或， 所以过点可作曲线的切线的条数为2. 故选：C． 【变式6-2】（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线. 【解答过程】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.    故选：D. 【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）若过点与曲线相切的直线只有2条，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求得，求得切线方程,结合题意，转化为方程有2个不等实根，根据二次函数的性质，即可求解. 【解答过程】设过点的直线与曲线相切于点， 由，可得，所以切线的斜率， 整理得， 因为切线有2条，所以切点有2个，即方程有2个不等实根， 则，解得或， 所以的取值范围是． 故选：D． 【题型7 两条切线平行、垂直问题】 【例7】（2024·四川遂宁·模拟预测）与曲线和都相切的直线与直线垂直，则=（ ） A．-8 B．-3 C．4 D．6 【解题思路】由题可得切线斜率为2，分别设出切点，利用斜率求出切点即可得出. 【解答过程】因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为2， 设直线与相切于， 因为，所以，解得，故直线与相切于， 设直线与相切于， 因为，则，解得，则， 所以直线的方程为，即， 在直线上，则，解得. 故选：A. 【变式7-1】（2024·安徽六安·三模）若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数（     ） A． B． C． D． 【解题思路】设函数图象上切点为，求出函数的导函数，根据求出切点坐标与切线方程，设函数的图象上的切点为 ，根据，得到，再由，即可求出，从而得解； 【解答过程】解：设函数图象上切点为，因为，所以，得， 所以，所以切线方程为，即，设函数的图象上的切点为 ，因为，所以，即，又，即，所以，即，解得或（舍），所以． 故选：A. 【变式7-2】（2024·浙江杭州·模拟预测）函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，由导函数的几何意义和直线垂直的条件可得方程一定有解，再由根的判别式和余弦函数的值域可得选项. 【解答过程】因为，所以， 因为函数的图象上存在两条相互垂直的切线，所以不妨设在和处的切线互相垂直， 则，即①， 因为a的值一定存在，即方程①一定有解，所以， 即，解得或， 又，所以有或，，所以方程①变为，所以， 故选：B. 【变式7-3】（2024·四川成都·一模）已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且当时，，过点作曲线的两条切线,若这两条切线互相垂直,则该函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】当时，，可得函数在为增函数，结合函数的对称性可得函数的最小值为,进而分析可得点作曲线的两条切线的斜率，设右侧的切点为，求出函数的导数，由导数的几何意义可得，即，结合两点间连线的斜率公式可得，即，联立两式求出的值，代入函数的解析式可得结果. 【解答过程】根据题意，分析可得当时，， 则函数在为增函数， 又由函数的图象关于直线对称，函数在为减函数， 所以函数的最小值为， 点作曲线的两条切线， 则两条切线的关于直线对称，即两条切线的斜率互为相反数， 若两条切线互相垂直，切线的斜率， 设右侧的切点为， 因为，所以导数， 则有，即，① 又由切线过点，可得， 即，解可得，② 联立①②可得， 则函数的最小值为， 故选B. 【题型8 公切线问题】 【例8】（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可. 【解答过程】设直线与曲线的切点为且， 与曲线的切点为且， 又，， 则直线与曲线的切线方程为，即， 直线与曲线的切线方程为，即， 则，解得，故， 故选：A. 【变式8-1】（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【解题思路】设直线的方程为，先根据直线和圆相切算出，在根据导数的几何意义算. 【解答过程】依题意得，设直线的方程为， 由直线和圆相切可得，，解得， 当时，和相切， 设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得， 即和相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位， 和仍会保持相切状态，即时，， 综上所述，或. 故选：A. 【变式8-2】（2024·江苏南通·模拟预测）若曲线与曲线有且只有一个公共点，且在公共点处的切线相同，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】 利用导数的几何意义得出其公切线，计算即可. 【解答过程】易得,设公共点为, 则由题意可得,即 且 令,则上式可化为: 记，则恒成立，即在上单调递增，而，故满足的根只有，即. 故选：C. 【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数与的图象关于直线对称，直线与的图象均相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据与的图象关于直线对称，得到，设直线与函数的图象的切点坐标为，与函数的图象的切点坐标为，由斜率相等得到，然后再利用斜率和倾斜角的关系求解. 【解答过程】解：因为函数与的图象关于直线对称， 所以与互为反函数，所以， 则．由，得， 设直线与函数的图象的切点坐标为， 与函数的图象的切点坐标为， 则直线的斜率，故， 显然，故， 所以直线的倾斜角为， 故选：B． 【题型9 与切线有关的最值问题】 【例9】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（    ） A．2 B． C．1 D． 【解题思路】先利用三角恒等变换公式化简函数，根据题意得函数在上存在对称轴，利用整体代换列不等式，解不等式即可求出最值. 【解答过程】 ， 因为使得的图象在点处的切线与轴平行， 所以函数在上存在最值，即函数在上存在对称轴， 令，得， 因为，所以， 即，则， 又，故时，取最小值为. 故选：D. 【变式9-1】（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知函数与存在公切线，则实数a的最小值（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别求出函数与的导数，设出切点写出切线方程，利用对应系数相等列出方程，构造函数，利用导数判断出单调性求出最值，可得实数a的最小值． 【解答过程】， 设和的切点分别为，则和切线方程分别为， 即与存在公切线，则方程有解，即， 在上递减，在递增，在处取到最小值，∴的最小值为，即a的最小值为． 故选：B． 【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，设曲线在处的切线为，则与两条坐标轴所围成的图形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数求出直线的方程，求出直线与两坐标轴的交点，利用基本不等式可求得与两条坐标轴所围成的图形面积的最小值. 【解答过程】对求导，得，当时，，， 所以曲线在处的切线的方程为． 在直线的方程中，令，可得；令，可得. 故与两条坐标轴的交点分别为、， 所以与两坐标轴所围成的图形为， 其面积， 当且仅当时，即当时取等号， 所以，与两条坐标轴所围成的图形面积的最小值为. 故选：C． 【变式9-3】（2024·浙江·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】设切点为，曲线求导得到切线斜率，利用斜率相等求得切点坐标，代入直线方程后得，构造新的函数，应用导数求函数的最值即可. 【解答过程】由，知定义域为， 设切点为，，， 所以，故切点为，代入直线方程， 则， ， 令，， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则， 故的最小值为1. 故选：B. 一、单选题 1．（2024·湖北襄阳·二模）已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【解题思路】由题意，根据求导公式和运算法则可得，结合导数的定义即可求解. 【解答过程】由题意知，，则. 所以. 故选：B. 2．（23-24高二下·山东·阶段练习）若，则（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【解题思路】根据导数的定义以及给出的极限值可得答案. 【解答过程】 ， 所以. 故选：B. 3．（2024·福建漳州·三模）已知函数是函数的导函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】计算的导数，得到，代值即可. 【解答过程】因为， 所以， 即， 所以， 所以. 故选：D. 4．（2024·上海闵行·二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用 的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（   ）    A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标； D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 【解题思路】根据题目中的数学模型建立关系，比较甲乙企业的污水治理能力. 【解答过程】设甲企业的污水排放量与时间t的关系为，乙企业的污水排放量与时间t的关系为. 对于A选项，在这段时间内，甲企业的污水治理能力， 乙企业的污水治理能力.由图可知，， 所以,即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误； 对于B选项，由图可知， 在时刻的切线斜率小于在时刻的切线斜率， 但两切线斜率均为负值，故在时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误； 对于C选项，在时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量， 故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误； 对于D选项，由图可知，甲企业在，，这三段时间中， 在时的差值最大，所以在时的污水治理能力最强，故D选项正确， 故选：D. 5．（2024·河南·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数的几何意义，求切点和斜率，即可求切线方程. 【解答过程】，故切点为，，，即切线的斜率为1， 所以切线方程为，即. 故选：D. 6．（2024·山西·模拟预测）已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】求得，根据题意转化为为偶函数，即可求解. 【解答过程】由函数， 可得， 因为曲线在点和处的切线互相平行或重合， 可得为偶函数，所以，解得. 故选：C. 7．（2024·全国·模拟预测）若过点可作函数图象的两条切线，则必有（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设切点为，，求导，根据导数的几何意义可得有两个正根，利用判别式及根与系数关系列不等式可得解. 【解答过程】设切点为，， 又，所以切线斜率， 所以切线方程为， 又切线过点， 则，， 即， 由过点可作两条切线， 所以有两个正根， 即，整理可得， 故选：C. 8．（2024·辽宁辽阳·二模）若对函数的图象上任意一点处的切线，函数的图象上总存在一点处的切线，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导得到范围A，再分，，三种情况讨论得范围B，最后根据条件得A与B包含关系，计算得到答案. 【解答过程】由，得，所以， 由，得，设该导函数值域为B， (1)当时，导函数单调递增，， 由题意得 故，解得； (2)当时，导函数单调递减，，同理可得，与矛盾，舍去； （3）当时，不符合题意. 综上所述：的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 9．（2024·湖南·二模）下列函数的图象与直线相切的有（    ） A． B． C． D． 【解题思路】假设选项中的曲线与直线相切，利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，求得切点进行逐一判断即可得出结论. 【解答过程】选项A中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得，即切点为，切线为，A正确； 选项B中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得，切点为，切线方程为，即B错误； 选项C中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得， 当时，切点为，切线方程为，C正确； 选项D中，易知与有三个交点，， 又，显然在三个交点处的斜率均不是1，所以不是切线，D错误. 故选：AC. 10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由为偶函数，得，两边求导化简后可得 为奇函数，然后逐个赋值分析判断即可. 【解答过程】对于，∵为偶函数，则 两边求导得: , ∴ ， 为奇函数，, 令，则，，所以不正确 对于，令，可得，则,  所以正确;     对于，， 可得，，两式相加的 令，即可得，所以正确; 对于，∵，则， 又，可得，所以是以为周期的函数， 所以，所以正确. 故选：. 11．（2024·江苏南通·模拟预测）过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线、，切点为、、不重合，设直线、分别与y轴交于点A、B，则（    ） A．、两点的纵坐标之积为定值 B．直线的斜率为定值 C．线段AB的长度为定值 D．面积的取值范围为 【解题思路】根据切线方程的定义，利用分类讨论的思想，可得整理切线方程，根据直线垂直可得切点横坐标的乘积，进而可得纵坐标的乘积，利用直线斜率公式，等量代换整理，可得其值，利用切线方程，求得的坐标，可得答案. 【解答过程】由函数，则， 设，， 当，时，由题意可得，，化简可得，符合题意； 当时，由题意可得，，化简可得，显然不成立； 当时，由题意可得，，化简可得，显然不成立； 对于A，，故A错误； 对于B，直线的斜率，故B正确； 对于C，易知直线，直线， 令，则，即，同理可得， ，故C正确； 对于D，联立，整理可得，解得， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增，则当时，， 所以，，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知函数，若，则 . 【解题思路】求出导函数，利用列式求解即可. 【解答过程】由得，因为，所以. 故答案为：. 13．（2024·云南楚雄·模拟预测）曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 . 【解题思路】先求出切线方程，后求围成的三角形面积即可. 【解答过程】易知的定义域为，而，故切点为， 设切线斜率为，且，故， 切线方程为，化简得， 当时，，当时，， 易知围成的图形是三角形，设面积为，故. 故答案为：. 14．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 【解题思路】设公共点为 ，即可得到，再由导数的几何意义得到，从而求出，即可求出切点坐标，从而求出，再求出切线方程. 【解答过程】设公共点为 ，则，即， 所以，所以， 由，，所以，， 又在公共点处有相同的切线，所以，即， 所以，则，所以， 所以公共点坐标为. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高二下·北京延庆·期末）求下列函数的导函数. (1)； (2)； (3)； (4). 【解题思路】（1）利用求导法则求导即得； （2）利用分式函数的求导法则求导即得； （3）利用分式函数的求导法则求导即得； （4）利用复合函数的求导法则求导即得. 【解答过程】（1）； （2）； （3） ； （4） . 16．（23-24高二·全国·随堂练习）（1）已知，用割线逼近切线的方法求； （2）已知，用割线逼近切线的方法求． 【解题思路】根据题意结合导数的定义运算求解. 【解答过程】（1）因为， 则， 所以； （2）因为， 则， 所以. 17．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数． (1)当时，若直线与曲线相切，求； (2)若直线与曲线恰有两个公共点，求． 【解题思路】（1）此类问题，通过设切点坐标，求导数，利用切点处的导数等于切线斜率，以及切点在切线上也在曲线上，解联立方程组即可； （2）由已知问题等价于方程，即方程有两个不等实根，显然是方程的一个根，所以当时，方程可化为（*），它还有不等于的唯一根，根据一元二次方程的根的性质即可解决问题． 【解答过程】（1）当时，，， 因为直线与曲线相切， 设切点为，则切线斜率， 可得，解得或， 所以或． （2）因为直线与曲线恰有两个公共点， 所以方程， 即方程有两个不等实根， 因为是方程的一个根； 当时，方程可化为（*）， 依题意，方程（*）有不等于的唯一根， 因为，若，则（*）即，，满足条件； 若，则由，解得：． 综上所述，或． 18．（2024·湖南郴州·三模）已知函数. (1)若在区间上恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数和有公切线，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）设，用导数法解即可； （2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线， 由，化简得到，然后将问题转化为关于的方程有解求解. 【解答过程】（1）由题意，当时，设， 则， ， 令，得（舍负） 在上单调递减，在上单调递增， . 根据题意的取值范围为. （2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线， 则， ，代入 得. 问题转化为：关于的方程有解， 设，则函数有零点， ，当时， . 问题转化为：的最小值小于或等于0. ， 设，则 当时，，当时，. 在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为. 由知， 故. 设， 则， 故在上单调递增， 当时，， 的最小值等价于. 又函数在上单调递增， . 19．（23-24高二下·江西·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）根据导数的几何意义，先求导数得到切线的斜率，利用点斜式可得方程； （2）先求两个函数的导数，利用公切线建立等量关系，求解方程可得答案. 【解答过程】（1）当时，，，. 曲线在处的切线方程为，即. （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，，. 曲线在点A处的切线为， 与曲线相切于点， 则且（*）， 由，则， 代入（*）得， 解得或. 当时，直线.当时，，直线. 故存在直线与曲线和都相切，直线的方程为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$