精品解析：福建省福州市福建师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

福建师大附中2023～2024学年下学期期末考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题：连值榕 审核：许丽丽 第Ⅰ卷 选择题（共60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，若，则（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，计算检验，即可得到结果. 【详解】当时，，此时满足. 当时，，此时满足， 故选:C. 2. 据统计2023年“五一”假期哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X服从正态分布，则在此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于1800的概率为（ ） 附：，，， A. 0.4987 B. 0.8413 C. 0.9773 D. 0.9987 【答案】C 【解析】 【分析】根据原则求得正确答案. 【详解】依题意，， . 故选：C 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合观点，子集是全集的充分条件，只有真子集才是全集的充分不必要条件，就可以得到答案. 【详解】由，得，因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件， 故选：A． 4. 已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出每个函数的值域，将原问题转化为子集问题，列出不等式组求解即可. 【详解】易知对称轴为，故，易知，， 可得，而，故在上单调递增， 且， ，故， 故是的子集， 可得，解得，故B正确. 故选：B 5. 已知变量的部分数据如下表，由表中数据得之间的经验回归方程为，现有一测量数据为，若该数据的残差为1.2，则（    ） 21 23 25 27 15 18 19 20 A. 25.6 B. 28 C. 29.2 D. 24.4 【答案】B 【解析】 【分析】求出，将其代入，可得，则得经验回归方程，再将代入，求出，由残差为1.2， 即可得到. 【详解】由题意可知，， 将代入，即，解得， 所以， 当时，， 则，所以. 故选：B. 6. 已知离散型随机变量服从二项分布且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式求得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由，，得，则，， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 7. 已知偶函数的定义域为，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用为偶函数及两个条件来判断函数周期，将转化为时代入函数即可求解. 【详解】因为是偶函数，所以，所以， 即，又，故，即①，用代替得②. 由①②得，故的周期为6，故，又由已知得. 因为当时，，所以，故. 故选：D. 8. 现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ） A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C为互斥事件 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件求出，由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公式进行逐一判断即可 【详解】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有不同的安排方法， 事件“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有种方法； 若跳高比赛安排1人，则有种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有种，则，同理， 若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有种不同的安排方法，所以， 因为，事件A与B不相互独立故A错误； 对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A与C不是互斥事件，故B错误； 对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有种，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于回归分析的说法中正确的是（ ） A. 回归直线一定过样本中心 B. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 C. 甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好 D. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据回归直线过样本中心点可判断A；利用残差平方和与模型拟合效果之间的关系可判断B；利用相关指数与模型拟合效果的关系可判断C；利用残差图与模型的拟合效果的关系可判断D. 【详解】对于A，回归直线一定过样本中心，A选项正确； 对于B，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，B正确； 对于C，甲、乙两个模型的分别约为和，则模型甲的拟合效果更好，C错误； 对于D，残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，D正确. 故选：ABD. 10. 一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（ ） A. 经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为 B. 若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为 C. 经过6次试验后试验停止的概率为 D. 经过8次或9次试验后小球全部取出的概率最大 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，分析出需要两次投掷硬币，均正面朝上，且从箱子里抽出的两个小球均为白色，利用独立事件乘法公式计算出概率；B选项，第二次试验需投掷硬币，正面朝上，且从箱子里抽出的小球为红球，从而计算出概率；C选项，前5次有4次投掷硬币，正面朝上，第6次投掷硬币，正面朝上，求出概率；D选项，设经过次试验后小球全部取出的概率最大，求出相应的概率，得到不等式组，求出答案. 【详解】A选项，经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球， 需要两次投掷硬币，均正面朝上，且从箱子里抽出的两个小球均为白色， 故概率为，A正确； B选项，第二次试验需投掷硬币，正面朝上，且从箱子里抽出的小球为红球， 故概率为，B错误； C选项，经过6次试验后试验停止，即前5次有4次投掷硬币，正面朝上， 第6次投掷硬币，正面朝上， 概率为，C错误； D选项，设经过次试验后小球全部取出的概率最大， 此时前次有4次投掷硬币，正面朝上，第次投掷硬币，正面朝上， 故概率为， 令，解得， 又，故经过8次或9次试验后小球全部取出的概率最大，D正确. 故选：AD. 11. 已知，的定义域为，若，，且为奇函数，为偶函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. D. 关于对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】由为偶函数，可得，关于对称，从而判断D；由，可得，即有，从而判断A；用赋值法判断C；用赋值法可求得，又由是定义在R上的奇函数，即可判断B． 【详解】D选项，因为为奇函数，所以， 所以函数关于中心对称，且，； 又因为为偶函数，所以， 所以关于对称，且，故D正确； A选项，又因为， 用替换x，得， 又因为，所以， 用x替换，得，所以是R上的偶函数，故A正确； C选项，由， 可得，即，， 所以，所以函数的周期为8， 在中，令，则有， 又因为，所以， 在中，令，则有， 又因为为偶函数，所以，故C正确； B选项，在中，令，则有， 又因为，所以，又因为的定义域为R，所以不为奇函数，故B错误． 故选：ACD． 【点睛】结论点睛：设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量X服从正态分布，即，若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性分析求解. 【详解】随机变量X服从正态分布且， 则由对称性得，所以． 故答案为：1． 13. 函数的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况，结合幂函数以及指数函数单调性求值域. 【详解】若，则，可知在内单调递减， 当时，；当时，； 所以； 若，则， 对于，可知在内单调递增， 当时，；当时，； 所以当时，； 综上所述：函数的值域为. 故答案为：. 14. 某盒中有12个大小相同的球，分别标号为，从盒中任取3个球，记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量的期望为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出从12个球中任取3个球的方法数，并求出取出的3个球的标号之和能被3整除的方法数，得出的所有可能取值，再求出，，，最后利用数学期望的计算公式求数学期望即可. 【详解】从12个球中任取3个球有种不同的方法， 1到12中能被3整除的有3,6,9,12，除3余1的有1,4,7,10，除3余2的有2,5,8,11， 由题意知的所有可能取值为0，1，2， 取出的3个球的标号之和能被3整除的情况有： ①标号被3整除的球中取3个有； ②标号被3除余数为1的球取3个有； ③标号被3除余数为2的球取3个有； ④标号被3整除和除3余1和除3余2的三类球各取1个有. 则． 取出的3个球的标号之和被3除余1的情况有： ①标号被3除余数为1的球1个和标号被3整除的球2个有； ②标号被3除余数为1的球2个和标号被3除余数为2的球1个有； ③标号被3除余数为2的球2个和标号被3整除的球1个有. 则. 取出的3个球的标号之和被3除余2的情况有： ①标号被3除余数为1的球2个和标号被3整除的球1个有； ②标号被3除余数为1的球1个和标号被3除余数为2的球2个有； ③标号被3除余数为2的球1个和标号被3整除的球2个有， 则， 所以． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题以球的抽取为背景考查排列组合、古典概型、离散型随机变量的数学期望等知识，解题的关键性是分类要不重复不遗漏，考查了学生逻辑思维能力、数据处理能力. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并用定义法证明在上的单调性； （3）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）借助奇函数的性质计算可得、，借助可得，即可得解； （2）借助单调性的定义，令后计算的正负即可得； （3）结合函数定义域，奇函数的性质与函数的单调性计算即可得. 【小问1详解】 由题意可得， 即，即，故，， 又，故，即； 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： 设， 则 ， 由，则，，， 故， 故在上单调递增； 【小问3详解】 由函数为奇函数，故， 又函数在上单调递增，故有， 解得. 所以不等式的解集为. 16. 游乐园推出的西游主题毛绒公仔，具有造型逼真可爱、触感柔软等特点，深受学生喜爱.某调查机构在参观西游乐园的游客中随机抽取了200名学生，对是否有购买西游主题毛绒公仔的意愿进行调查，得到以下的2×2列联表： 有购买意愿 没有购买意愿 合计 男 40 女 60 合计 50 （1）完成上述2×2列联表，根据以上数据，根据小概率值的独立性检验，能否认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关？ （2）某文创商店为了宣传推广西游主题毛绒公仔产品，设计了一个游戏：在三个外观大小都一样的袋子中，分别放大小相同的1个红球和3个蓝球，2个红球和2个蓝球，以及3个红球和1个蓝球.游客可以从三个袋子中任选一个，再从中任取2个球，若取出2个红球，则可以获赠一套西游主题毛绒公仔.现有3名同学参加该游戏，表示3名同学中获赠一套毛绒公仔的人数，求随机变量的数学期望. 附：，其中． 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，没有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关； （2）. 【解析】 【分析】（1）列出列联表，再进行独立性检验即可. （2）先求出一次游戏中取出2个红球的概率，再利用二项分布的期望公式求解即可. 【小问1详解】 由题可得2×2列联表如下： 有购买意愿 没有购买意愿 合计 男 90 40 130 女 60 10 70 合计 150 50 200 提出假设：购买西游主题毛绒公仔与学生的性别无关， 根据列联表中的数据，可以求得 ， 因为当成立时，的概率大于1%， 所以没有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关. 【小问2详解】 一次游戏中取出2个红球的概率， 由题可知，则， 所以. 17. 某小微企业对其产品研发的年投入金额（单位：万元）与其年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下的数据统计表： 1 5 7 8 9 2 3 6 8 11 0.7 1.1 1.8 2.1 2.4 （1）公司拟分别用①和②两种模型作为年销售量关于年投入金额的回归分析模型，根据上表数据，分别求出两种模型的经验回归方程； （2）统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果，若模型①和②的残差的平方和分别为9.9和3.2，请在①和②中选择拟合效果更好的模型，并估计当年投入金额为10万元时的年销售量． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 参考数据：，，． 【答案】（1）， （2）模型②拟合效果更好，11.94万件 【解析】 【分析】（1）求出变量的均值后，根据经验回归方程中的公式计算即可求出系数，得到回归方程； （2）根据残差平方和选择模型，利用模型的回归方程预测时的销售量即可. 【小问1详解】 由题知， 所以， 所以，， 所以模型①的经验回归方程为， 由，两边取自然对数可得，即， 所以，， 所以模型②的经验回归方程为 【小问2详解】 因为，即②的残差平方和较小，所以，模型②的拟合效果更好. 所以当时，， 即当年投入金额为10万元时的年销售量的估计值为11.94万件. 18. 某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客．为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分．假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率． （1）从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的分布列； （2）2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务．已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，如此往复． （i）求甲第二天选择“单车自由行”的概率； （ii）求甲第n（n＝1，2，…，16）天选择“单车自由行”的概率Pn，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数． 【答案】（1）分布列见解析 （2）（i）；（ii），2天 【解析】 【分析】（1）随机抽取三人，用随机变量X表示三人合计得分，则X可能的取值为3，4，5，6，再分别计算概率即可得分布列； （2）（i）分别分析前后两天选择的情况，再分情况求概率即可； （ii）设甲第n（n＝1，2，…，16）天选择“单车自由行”的概率Pn，再根据题意得出递推公式，进而可得通项公式，再根据题意可得，代入通项公式分析即可. 【小问1详解】 由题意，每位游客得1分的概率为，得2分的概率为， 随机抽取三人，用随机变量X表示三人合计得分，则X可能的取值为3，4，5，6， ，， ，， 所以X的分布列为： X 3 4 5 6 P 【小问2详解】 第一天选择“单车自由行”的概率为，则第一天选择“观光电车行”的概率为， 若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为， 若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为， 则后一天选择“单车自由行”的概率为， （i）甲第二天选择“单车自由行”的概率． （ii）甲第n（n＝1，2，…，16）天选择“单车自由行”的概率Pn，有， ，， 又， ∴数列是以为首项，以公比的等比数列， ， 由题意知，，即，， 即， 显然n必为奇数，当n＝1，3，5，…，15时，有即可， n＝1时，成立；n＝3时，成立； n＝5时，，则n＝5时，不成立， n＞5时，不成立． 综上，16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数只有2天． 19. 如果三个互不相同的函数，，在区间 上恒有或，则称为与在区间 上的“分割函数”． （1）证明：函数为函数与在上的分割函数； （2）若函数为函数与在上的“分割函数”，求实数 的取值范围； （3）若，且存在实数，使得函数为函数与在区间上的“分割函数”，求的最大值． 【答案】（1）证明：设，则，当时，在上单调递增， 当时，在单调递减，则在处取得极大值，即为最大值， 即，则当时，； 设，则，当时，在上单调递咸， 当时，在上单调递增，则在处取得极小值，即为最小值， 即，则当时，， 于是当时，， 所以函数为函数与在上的“分割函数”. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义，利用导数证明不等式和恒成立即可. （2）由“分割函数”定义得恒成立，借助导数及二次函数性质求解即得. （3）利用导数求出函数的极值，再利用“分割函数”的定义确定图象的切线及切点横坐标范围，然后求出直线被函数图象所截弦长，利用不等式性质及导数求出最大值即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数为函数与在上的“分割函数”， 则对，恒成立， 而，于是函数在处的切线方程为， 因此函数 的图象在处的切线方程也为，又， 则，解得， 于是对恒成立， 即对恒成立， 因此，解得， 所以实数 的取值范围是. 【小问3详解】 对于函数， 当和时，，当和时，， 则为的极小值点，为极大值点， 函数的图象如图， 由函数为函数与在区间上的“分割函数”， 得存在，使得直线与函数的图象相切， 且切点的横坐标， 此时切线方程为，即， 设直线与的图象交于点， 则消去y得，则， 于是 令，则， 当且仅当时，，所以在上单调递减，， 因此的最大值为，所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建师大附中2023～2024学年下学期期末考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题：连值榕 审核：许丽丽 第Ⅰ卷 选择题（共60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，若，则（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 2. 据统计2023年“五一”假期哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X服从正态分布，则在此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于1800的概率为（ ） 附：，，， A. 0.4987 B. 0.8413 C. 0.9773 D. 0.9987 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知变量的部分数据如下表，由表中数据得之间的经验回归方程为，现有一测量数据为，若该数据的残差为1.2，则（    ） 21 23 25 27 15 18 19 20 A. 25.6 B. 28 C. 29.2 D. 24.4 6. 已知离散型随机变量服从二项分布且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知偶函数的定义域为，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ） A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C为互斥事件 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于回归分析的说法中正确的是（ ） A. 回归直线一定过样本中心 B. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 C. 甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好 D. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适 10. 一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（ ） A. 经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为 B. 若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为 C. 经过6次试验后试验停止的概率为 D. 经过8次或9次试验后小球全部取出的概率最大 11. 已知，的定义域为，若，，且为奇函数，为偶函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. D. 关于对称 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量X服从正态分布，即，若，则______． 13. 函数的值域为________． 14. 某盒中有12个大小相同的球，分别标号为，从盒中任取3个球，记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量的期望为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并用定义法证明在上的单调性； （3）解关于x的不等式． 16. 游乐园推出的西游主题毛绒公仔，具有造型逼真可爱、触感柔软等特点，深受学生喜爱.某调查机构在参观西游乐园的游客中随机抽取了200名学生，对是否有购买西游主题毛绒公仔的意愿进行调查，得到以下的2×2列联表： 有购买意愿 没有购买意愿 合计 男 40 女 60 合计 50 （1）完成上述2×2列联表，根据以上数据，根据小概率值的独立性检验，能否认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关？ （2）某文创商店为了宣传推广西游主题毛绒公仔产品，设计了一个游戏：在三个外观大小都一样的袋子中，分别放大小相同的1个红球和3个蓝球，2个红球和2个蓝球，以及3个红球和1个蓝球.游客可以从三个袋子中任选一个，再从中任取2个球，若取出2个红球，则可以获赠一套西游主题毛绒公仔.现有3名同学参加该游戏，表示3名同学中获赠一套毛绒公仔的人数，求随机变量的数学期望. 附：，其中． 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17. 某小微企业对其产品研发的年投入金额（单位：万元）与其年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下的数据统计表： 1 5 7 8 9 2 3 6 8 11 0.7 1.1 1.8 2.1 2.4 （1）公司拟分别用①和②两种模型作为年销售量关于年投入金额的回归分析模型，根据上表数据，分别求出两种模型的经验回归方程； （2）统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果，若模型①和②的残差的平方和分别为9.9和3.2，请在①和②中选择拟合效果更好的模型，并估计当年投入金额为10万元时的年销售量． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 参考数据：，，． 18. 某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客．为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分．假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率． （1）从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的分布列； （2）2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务．已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，如此往复． （i）求甲第二天选择“单车自由行”的概率； （ii）求甲第n（n＝1，2，…，16）天选择“单车自由行”的概率Pn，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数． 19. 如果三个互不相同的函数，，在区间 上恒有或，则称为与在区间 上的“分割函数”． （1）证明：函数为函数与在上的分割函数； （2）若函数为函数与在上的“分割函数”，求实数 的取值范围； （3）若，且存在实数，使得函数为函数与在区间上的“分割函数”，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $