暑假预习专题03 两条直线的平行与垂直（5大题型）-2024年暑假数学高一升高二题型专练复习+新课预习（苏教版2019）

专题03 两条直线的平行与垂直 （5大题型） 新课知识点剖析与归纳 1.直线平行的判定 对于两条不重合的直线，其斜率分别为，当 具体关系如下表所示 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 2.直线垂直的判定 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 3.一般式判断直线平行与垂直 已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） （1）若 （2）若 4.直线平行与垂直的注意点 （1）在判断两条不重合的直线是否平行时，先判断两条直线的斜率是否存在，若斜率存在且相等，则两者平行；若斜率都不存在，两者仍然平行． （2）成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； （3）若两条直线中，一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两条直线也垂直． 高频考点题型预习归纳 【题型1 两条直线平行的判定】 【题型2 两条直线平行关系的应用】 【题型3 两条直线垂直的判定】 【题型4 两条直线垂直关系的应用】 【题型5 直线平行、垂直的综合应用】 专项练 【题型1 两条直线平行的判定】 【典例1】“”是“直线与平行”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型训练1】 1.过点和点的直线与直线的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 2．已知，，直线过点且和直线平行，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 3．已知直线，，若，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或4 4.过点且与直线平行的直线方程为 . 【题型2 两条直线平行关系的应用】 【典例2】已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为（　　） A．0 B．1 C．6 D．0或6 【题型训练2】 1.若方程组无解，则实数　 　． 2．张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（　　） A． B． C． D． 3．（多选）已知直角三角形的顶点，且，点在直线上，则点的坐标可能为（　　） A． B． C． D． 4.（多选）已知直线过，且，到直线的距离相等，则的方程可能是（　　） A． B． C． D． 【题型3两条直线垂直的判定】 【典例3】若直线与直线互相垂直，则实数a的值是（　　） A．1 B． C．4 D． 【题型训练3】 1.“”是“直线与直线垂直”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．直线过点且与直线垂直，则的方程是（　　） A． B． C． D． 3．已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（　　） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 4.已知集合，，且，则实数a的值为___________. 【题型4 两条直线垂直关系的应用】 【典例4】已知的倾斜角为45°，经过点．若，则实数m为（　　） A．6 B．－6 C．5 D．－5 【题型训练4】 1.已知直线与直线垂直，则的最小值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（多选）已知直角三角形的顶点，且，点在直线上，则点的坐标可能为（　　） A． B． C． D． 3．已知三角形的三个顶点是，则边上的高所在的直线方程为_________． 4.已知直线过定点A，直线过定点，与相交于点，则 ．   【题型5 直线平行、垂直的综合应用】 【典例5】（多选）直线的斜率是关于k的方程的两个根，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若，则 【题型训练5】 1.已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则D点的坐标为（　　） A．(－1,0) B．(0，－1) C．(1,0) D．(0,1) 2．（多选）已知直线，直线，则下列命题正确的有（　　） A．直线恒过点 B．直线的方向向量为，则 C．若，则 D．若，则 3．在平面直角坐标系中，直线经过两点，经过两点，若，则 ；若，则 ． 4.直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝________. 【专项练】 1.若为实数，则“”是“直线与平行”的（　　）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2.若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为（　　） A．－12 B．－2 C．0 D．10 3.已知直线：，：，若．则的值为（　　） A． B． C．1 D．-2 4.已知，若直线与直线垂直，则的最小值为（　　） A．1 B．3 C．8 D．9 5.（多选）已知直线：,则下列说法正确的是（　　） A．直线与直线平行 B．直线与直线平行 C．直线与直线垂直 D．直线与直线垂直 6.(多选）已知直线 ： .直线 ： ，则下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．直线 过定点 D．直线 过定点 7.(多选）若直线与直线平行，则a的值为（　　） A．1 B．0 C． D． 8.已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为______________． 9.已知直线经过两点，经过两点． (1)若，求的值； (2)若的倾斜角互余，求的值． 10.已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 两条直线的平行与垂直 （5大题型） 新课知识点剖析与归纳 1.直线平行的判定 对于两条不重合的直线，其斜率分别为，当 具体关系如下表所示 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 2.直线垂直的判定 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 3.一般式判断直线平行与垂直 已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） （1）若 （2）若 4.直线平行与垂直的注意点 （1）在判断两条不重合的直线是否平行时，先判断两条直线的斜率是否存在，若斜率存在且相等，则两者平行；若斜率都不存在，两者仍然平行． （2）成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； （3）若两条直线中，一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两条直线也垂直． 高频考点题型预习归纳 【题型1 两条直线平行的判定】 【题型2 两条直线平行关系的应用】 【题型3 两条直线垂直的判定】 【题型4 两条直线垂直关系的应用】 【题型5 直线平行、垂直的综合应用】 专项练 【题型1 两条直线平行的判定】 【典例1】“”是“直线与平行”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，直线与平行； 当直线与平行时， 有且，解得， 故“”是“直线与平行”的充要条件， 故选：C 【题型训练1】 1.过点和点的直线与直线的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 【答案】B 【解析】过点和点的直线方程为，斜率为0， 又因为直线斜率为0，所以两直线平行. 故选：B 2．已知，，直线过点且和直线平行，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以直线的斜率为， 因为直线过点且和直线平行，所以直线的方程为， 即， 故选:A． 3．已知直线，，若，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或4 【答案】A 【解析】已知直线，，且， 则，解得． 故选:A 4.过点且与直线平行的直线方程为 . 【答案】 【解析】设所求直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 故所求直线方程为. 故答案为： 【题型2 两条直线平行关系的应用】 【典例2】已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为（　　） A．0 B．1 C．6 D．0或6 【答案】C 【解析】由直线l的倾斜角为得l的斜率为－1， 因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1. 又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)， 所以l1的斜率为，故＝－1，解得a＝6. 故选:C 【题型训练2】 1.若方程组无解，则实数　 　． 【答案】±2 【解析】因为方程组无解， 所以两直线平行，可得 故答案为：±2 2．张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，则点，所在直线的斜率为， 由题意知，过点，的直线与直线平行， 所以，整理得：. 故选：B 3．（多选）已知直角三角形的顶点，且，点在直线上，则点的坐标可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为点在直线上，可设，根据题意可知，且直线的斜率都存在，故有，即，解得或，故点的坐标为或． 故选:AC． 4.（多选）已知直线过，且，到直线的距离相等，则的方程可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由条件可知直线平行于直线或过线段的中点， 当直线时，的斜率为， 的方程是， 即；当直线经过线段的中点时，的斜率为， 的方程是，即， 故选：AC 【题型3两条直线垂直的判定】 【典例3】若直线与直线互相垂直，则实数a的值是（　　） A．1 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线与直线互相垂直， 所以， 故选：B 【题型训练3】 1.“”是“直线与直线垂直”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，得，即或所以，反之，则不然 所以“”是“直线与直线垂直”的 充分不必要条件. 故选：A 2．直线过点且与直线垂直，则的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的斜率为，则直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故选：C. 3．已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（　　） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 【答案】B 【解析】由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交． 故选：B 4.已知集合，，且，则实数a的值为___________. 【答案】1 【解析】集合，，且， 直线与直线平行，即，且，解得.故答案为：1. 【题型4 两条直线垂直关系的应用】 【典例4】已知的倾斜角为45°，经过点．若，则实数m为（　　） A．6 B．－6 C．5 D．－5 【答案】B 【解析】因为，，且， 所以，解得， 故选：B. 【题型训练4】 1.已知直线与直线垂直，则的最小值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】因为直线与直线垂直， 所以，即，所以， 当且仅当或时等号成立． 即的最小值为4， 故选：B 2．（多选）已知直角三角形的顶点，且，点在直线上，则点的坐标可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为点在直线上，可设，根据题意可知，且直线的斜率都存在，故有，即，解得或，故点的坐标为或． 故选：AC． 3．已知三角形的三个顶点是，则边上的高所在的直线方程为_________． 【答案】 【解析】，所以边上的高所在的直线的斜率为， 所以边上的高所在的直线的方程为，即． 故答案为：. 4.已知直线过定点A，直线过定点，与相交于点，则 ． 【答案】13 【解析】对于直线，即， 令，则，则，可得直线过定点， 对于直线，即， 令，则，则，可得直线过定点， 因为，则，即， 所以. 故答案为：13.    【题型5 直线平行、垂直的综合应用】 【典例5】（多选）直线的斜率是关于k的方程的两个根，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若，则 【答案】AD 【解析】直线，的斜率，是关于的方程的两根，∴， 若，则，得； 若，则，∴，得， 故选：AD 【题型训练5】 1.已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则D点的坐标为（　　） A．(－1,0) B．(0，－1) C．(1,0) D．(0,1) 【答案】D 【解析】　设D(x，y)， 则kCD＝＝，kAD＝. kAB＝＝3，kCB＝＝－2， 又CD⊥AB，CB∥AD， ∴∴ ∴∴即D(0,1)． 故选：D 2．（多选）已知直线，直线，则下列命题正确的有（　　） A．直线恒过点 B．直线的方向向量为，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】把代入直线的方程，等式不成立，A选项错误； 直线的方向向量为，则直线斜率，得，B选项正确； 直线方向向量为，直线的方向向量为，若，则有，解得，当时，与重合，C选项错误； 若，则有，即，D选项正确 故选：BD 3．在平面直角坐标系中，直线经过两点，经过两点，若，则 ；若，则 ． 【答案】 【解析】由已知， 当时，所以，解得， 当时，，解得， 经验证：当时，不重合. 故答案为： 4.直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝________. 【答案】4＋ 【解析】如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， ∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝. 由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝. ∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－. ∴＝＝－， 解得m＝4＋. 故答案为：4＋ 【专项练】 1.若为实数，则“”是“直线与平行”的（　　）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解析】若“直线与平行”， 则，解得或， 当时，直线，，此时//，符合题意； 当时，直线，即，， 此时，重合，不符合题意； 综上所述：“直线与平行”等价于. 所以“”是“直线与平行”的充要条件. 故选：C. 2.若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为（　　） A．－12 B．－2 C．0 D．10 【答案】A 【解析】由2m－20＝0，得m＝10. 由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得p＝－2， ∴垂足坐标为(1，－2)． 又垂足在直线2x－5y＋n＝0上，代入得n＝－12. 故选：A. 3.已知直线：，：，若．则的值为（　　） A． B． C．1 D．-2 【答案】A 【解析】，显然两直线的斜率存在且都不为0， ，解得． 故选:A 4.已知，若直线与直线垂直，则的最小值为（　　） A．1 B．3 C．8 D．9 【答案】D 【解析】由题可知，两条直线斜率一定存在， 又因为两直线垂直，所以斜率乘积为，即，即， 整理可得， 所以，当且仅当时，等号成立； 因此的最小值为. 故选：D 5.（多选）已知直线：,则下列说法正确的是（　　） A．直线与直线平行 B．直线与直线平行 C．直线与直线垂直 D．直线与直线垂直 【答案】ABC 【解析】直线：的斜率为，纵截距为， 直线的斜率为，纵截距为， 直线的斜率为，纵截距为， 都与直线l的斜率相等，纵截距不相等，故都与直线l平行． 所以A，B正确； 直线的斜率为，与l的斜率互为负倒数， 直线的斜率为，与l的斜率乘积不是． 故答案为C正确，D错误． 故选：ABC． 6.(多选）已知直线 ： .直线 ： ，则下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．直线 过定点 D．直线 过定点 【答案】BCD 【解析】A. 若 ，则 或 ，经检验此时两直线平行，所以该选项错误； B. 若 ，则 ，所以该选项正确； C. 直线 当 时，无论 取何值， 恒成立，所以此时直线 过定点 ，所以该选项正确； D. 直线 当 时，无论 取何值， 恒成立，所以直线 过定点 ，所以该选项正确. 故选：BCD 7.(多选）若直线与直线平行，则a的值为（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】BD 【解析】若，则和平行，满足题意； 若，则，解得，即的值为0，， 故选:BD 8.已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为______________． 【答案】1或0 【解析】l1的斜率k1＝＝a. 当a≠0时，l2的斜率k2＝＝. 因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1， 即a·＝－1，解得a＝1. 当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(－2,0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2. 综上可知，实数a的值为1或0. 故答案为：1或0 9.已知直线经过两点，经过两点． (1)若，求的值； (2)若的倾斜角互余，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 因为，所以，得， 经检验，符合题意，所以； （2）因为的倾斜角互余， 设的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 所以，得 10.已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)． 【答案】(3,3)或 【解析】设所求点D的坐标为(x，y)， 如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0， ∴kAB·kBC＝0≠－1， 即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰． (1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD， ∵kBC＝0，∴直线CD的斜率不存在，从而有x＝3. 又kAD＝kBC， ∴＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行， 故所求点D的坐标为(3,3)． (2)若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD， ∵kAD＝，kCD＝， ∴解得 ∴D点坐标为. 综上，D点坐标为(3,3)或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$