专题04 二次根式的50道混合运算专训（5大题型）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题04 二次根式的50道混合运算专训（5大题型） 题型一 利用二次根式的性质化简 题型二 二次根式的乘除法 题型三 二次根式的加减法 题型四 已知字母的值化简求值 题型五 分母有理化 【经典计算题一 利用二次根式的性质化简】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）计算：． 2．（23-24七年级下·吉林四平·期中）计算：． 3．（23-24八年级下·广东肇庆·期中）计算：． 4．（23-24八年级下·北京·期末）已知，求代数式的值． 5．（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知，化简：． 6．（2024·福建福州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 7．（23-24七年级下·重庆开州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 8．（23-24七年级下·河南信阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 9．（24-25九年级上·全国·假期作业）张老师善于对教材习题进行迁移拓展，帮助同学们形成整体的、发展的数学思维．某道教材习题题目为：“要使有意义，求a的值”，张老师根据此题整合所学知识形成了一道探究题，请你解答． (1)问题情境 例：已知，求的值． 解：由，得______，______，______； (2)探究迁移 若x，y为实数，且，计算：； (3)拓展应用 已知，求的值． 10．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）观察下列各式： ； ； ； …… (1)请根据上面式子的规律填空：________（n为正整数）； (2)请证明（1）中你所发现的规律； (3)请直接写出下面式子的结果：_______． 【经典计算题二 二次根式的乘除法】 11．（23-24八年级下·广东肇庆·期中）计算：． 12．（23-24八年级下·吉林·期中）计算：． 13．（2023·山东青岛·模拟预测） 14．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）计算： (1)； (2)． 15．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）（1）计算： （2）解方程组： 16．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 17．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（2024八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． (3)． 19．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 20．（23-24八年级下·江西赣州·期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条． 【经典计算题三 二次根式的加减法】 21．（23-24八年级下·广西柳州·期末）计算： 22．（23-24八年级下·四川自贡·期末）计算：． 23．（23-24八年级下·福建厦门·期末）计算： 24．（23-24七年级下·北京门头沟·期末）计算：． 25．（2024·福建厦门·二模）先化简，再求值：，其中． 26．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）（1）计算： （2）化简： 27．（23-24八年级下·重庆梁平·期末）计算： (1) (2)已知，，求代数式的值． 28．（2024八年级下·全国·专题练习）若，为实数，且．求的值． 29．（2024八年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 30．（2024八年级下·安徽·专题练习）若、互为倒数，且，则 (1)你能直接写出下列各数的倒数吗？ ①；②；③； (2)先化简，再求值：已知，，求的值． 【经典计算题四 已知字母的值化简求值】 31．（23-24八年级下·广东深圳·期末） 先化简， 再求值： ， 其中． 32．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，，求代数式的值． 33．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）先化简，再求值，其中． 34．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）已知 ，求代数式 的值． 35．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 36．（23-24八年级下·广东汕头·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 37．（2024·江西南昌·二模）先化简，再求值：，其中． 38．（23-24八年级下·新疆伊犁·期中）计算 (1) (2) (3)已知，，求的值 39．（23-24八年级下·福建莆田·期中）已知，，，求下列各式的值： (1)； (2)． 40．（2024八年级下·全国·专题练习）已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 【经典计算题五 分母有理化】 41．（23-24八年级下·北京东城·期末）计算：． 42．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）计算：． 43．（2024九年级·上海·专题练习）计算：． 44．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知，，求的值． 45．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）先化简再求值：，其中． 46．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）先化简，再求值： ，其中 ． 47．（2024·浙江台州·二模）先化简，再求值：，其中． 48．（2024·江苏苏州·一模）先化简、再求值：，其中． 49．（23-24八年级下·河南商丘·期中）特例感知 化简：． 解：． (1)请在横线上直接写出化简的结果；①______；②______． 观察发现 (2)第个式子是为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）． 50．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如，的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有理化． 例如： ． (1)用上述方法化简； (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次根式的50道混合运算专训（5大题型） 题型一 利用二次根式的性质化简 题型二 二次根式的乘除法 题型三 二次根式的加减法 题型四 已知字母的值化简求值 题型五 分母有理化 【经典计算题一 利用二次根式的性质化简】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则是解题的关键．根据二次根式的性质、负整数指数幂、完全平方公式分别运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 2．（23-24七年级下·吉林四平·期中）计算：． 【答案】3 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据立方根定义和算术平方根定义进行计算即可． 【详解】解： ． 3．（23-24八年级下·广东肇庆·期中）计算：． 【答案】8 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答的关键． 先化简二次根式，计算绝对值，负整数指数幂，再计算加减即可； 【详解】解：原式． 4．（23-24八年级下·北京·期末）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的运算、完全平方公式、代数式的求值等问题，利用公式进行变形简化计算是解题的关键． 把代入变形后的结果，即可得到答案． 【详解】∵ ∴ ． 5．（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的双重非负性，绝对值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据的取值范围和二次根式的双重非负性，化简式子，合并即可． 【详解】解：∵， ∴，， 根据二次根式的被开方数和开绝对值的结果必须大于等于零， ∴，， 故， 故答案为． 6．（2024·福建福州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的化简，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．先根据分式的混合计算法则化简，然后代入a的值，计算，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 7．（23-24七年级下·重庆开州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了实数的运算． （1）根据立方根，算术平方根的性质化简，再计算加减即可； （2）先根据立方根，算术平方根的性质化简，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（23-24七年级下·河南信阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9 (2)0 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据立方根定义，二次根式性质进行计算即可； （2）根据立方根定义，二次根式性质进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（24-25九年级上·全国·假期作业）张老师善于对教材习题进行迁移拓展，帮助同学们形成整体的、发展的数学思维．某道教材习题题目为：“要使有意义，求a的值”，张老师根据此题整合所学知识形成了一道探究题，请你解答． (1)问题情境 例：已知，求的值． 解：由，得______，______，______； (2)探究迁移 若x，y为实数，且，计算：； (3)拓展应用 已知，求的值． 【答案】(1)2023；2024； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． （1）解不等式组即可求出x、y及的值； （2）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得，，进而化简代数式求值即可； （3）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得，，进而求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：由， 解得:，， ∴ ； （3）解：由， 得，， ∵， ∴． 10．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）观察下列各式： ； ； ； …… (1)请根据上面式子的规律填空：________（n为正整数）； (2)请证明（1）中你所发现的规律； (3)请直接写出下面式子的结果：_______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了规律型-数字的变化类、二次根式的性质与化简，解决本题的关键是根据已知三个等式寻找规律，运用规律． （1）根据题目提供的结果，总结得到一般规律； （2）作出猜想，并对猜想进行计算，即可进行证明； （3）运用（2）中发现规律，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ……， ∴， 故答案为：； （2）证明：左边 ， ∵为正整数， ∴， ∴左边右边； （3）解： ． 故答案为：． 【经典计算题二 二次根式的乘除法】 11．（23-24八年级下·广东肇庆·期中）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【详解】解：原式． 12．（23-24八年级下·吉林·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除，掌握二次根式的乘除的运算法则，是解题的关键．根据二次根式的乘除混合运算法则，即可求解． 【详解】解：原式= =． 13．（2023·山东青岛·模拟预测） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 14．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）直接利用平方差公式进行计算即可； （2）先化简，再计算乘除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）（1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）3；（2） 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）利用代入消元法解方程组即可． 本题主要考查了二次根式的运算和二元一次方程组的解法，熟练掌握二次根式的乘法法则二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】（1） ； （2） 将②式代入①式，得； 解得； 将代入②式，得； ∴原方程组的解为． 16．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简，再进行乘除运算即可； （2）先计算括号内的二次根式的除法，再计算二次根式的乘法即可． 【详解】（1）解： （2） 17．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 18．（2024八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算， （1）根据二次根式的乘法运算即可求出答案． （2）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． （3）根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． （3） ． 19．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． 20．（23-24八年级下·江西赣州·期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条． 【答案】(1)，； (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的乘法运算，加减运算，二次根式的大小比较，理解题意，熟记运算法则是解本题的关键． （1）根据算术平方根的含义可得答案； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得到答案； （3）先计算剩余木条的长为，宽为，再利用，，从而可得答案． 【详解】（1）解：，， （2）矩形的长为，宽为， ∴剩余木料的面积； （3）剩余木条的长为，宽为， ∵，， ∴能截出个木条． 【经典计算题三 二次根式的加减法】 21．（23-24八年级下·广西柳州·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键． 先根据二次根式的性质，然后再进行计算即可； 【详解】解：原式 ． 22．（23-24八年级下·四川自贡·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解． 【详解】解：原式 ． 23．（23-24八年级下·福建厦门·期末）计算： 【答案】2 【分析】此题考查了二次根式的运算，先化简各数，同时计算绝对值，再计算加减法即可，熟练掌握二次根式的加减计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式． 24．（23-24七年级下·北京门头沟·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别计算出各项的结果后再进行加减运算即可 【详解】解： 25．（2024·福建厦门·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了的分式的化简求值，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 先化简分式，再代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 26．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）（1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的加减运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先化简各二次根式，再合并即可； （2）先化简各二次根式，再合并即可； 【详解】解：（1） ； （2） ； 27．（23-24八年级下·重庆梁平·期末）计算： (1) (2)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2)24 【分析】本题考查了二次根式的化简求值． （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后去括号合并即可． （2）先把所求的代数式利用完全平方公式进行变形，然后代入求值． 【详解】（1）原式 ． （2）∵ ∴，， ． 28．（2024八年级下·全国·专题练习）若，为实数，且．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴即， ∴， ∴，， ∴ ． 29．（2024八年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握二次根式的加减运算，利用二次根式的性质进行化简，注意是解题的关键． （1）（3）根据二次根式的性质，先对二次根式进行化简，以及乘方运算，再进行加减运算即可． （2）先计算根号里的乘方和绝对值运算，再化简进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 30．（2024八年级下·安徽·专题练习）若、互为倒数，且，则 (1)你能直接写出下列各数的倒数吗？ ①；②；③； (2)先化简，再求值：已知，，求的值． 【答案】(1)①；②；③ (2)10 【分析】本题主要考查了无理数倒数的特点和分式的运算，此类题型的特点是，利用平方差找到无理数的有理化因式；化简求值的题目要把所求的代数式化简后利用分母有理化的方法，把最后结果有理化． （1）直接根据题意可写出各数的倒数； （2）化简后要注意最后结果要分母有理化． 【详解】（1）解： ①， ∴的倒数是； ②， ∴的倒数是； ③， ∴的倒数是； （2）， ， 原式． 【经典计算题四 已知字母的值化简求值】 31．（23-24八年级下·广东深圳·期末） 先化简， 再求值： ， 其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式除法运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 将 代入得： 原式 ． 32．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】先对所求的代数式进行因式分解，然后代入求值；本题考查了二次根式的化简求值．二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 【详解】解： 因为， 原式 ； 33．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）先化简，再求值，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则对分式进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 34．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）已知 ，求代数式 的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，利用二次根式的性质正确化简是解题的关键；先化简二次根式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， 当时，原式． 35．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知二次根式与整式乘法的运算法则．根据乘方公式进行化简，再代入故可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 36．（23-24八年级下·广东汕头·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先根据乘法公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 37．（2024·江西南昌·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，再把的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 38．（23-24八年级下·新疆伊犁·期中）计算 (1) (2) (3)已知，，求的值 【答案】(1)0 (2)14 (3)5 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简，再根据根据二次根式的加减法可以解答本题； （2）根据二次根式的乘法和加减法可以解答本题； （3）根据x、y的值以及完全平方公式即可求得所求式子的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵，， ∴ ． 39．（23-24八年级下·福建莆田·期中）已知，，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平方差公式和完全平方公式因式分解、二次根式的混合运算等知识； （1）根据的值，可以求得的值，然后将所求式子变形，再计算即可； （2）根据的值，可以计算出的值，然后即可求得所求式子的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， （2）解：∵，， ∴，， ∴． 40．（2024八年级下·全国·专题练习）已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)31 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． （1）根据二次根式的加法法则、减法法则分别求出，，再根据平方差公式计算； （2）根据完全平方公式计算． 【详解】（1），， ，， ； （2） ． 【经典计算题五 分母有理化】 41．（23-24八年级下·北京东城·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则和二次根式的性质化简二次根式进而计算得出答案； 【详解】解： ． 42．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算等知识，根据二次根式的性质、绝对值的化简，分母有理化等知识进行化简，再去括号进行二次根式的加减运算即可求解． 【详解】解：原式 43．（2024九年级·上海·专题练习）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了幂的乘方，负指数幂的运算，绝对值的意义以及分母有理化运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．利用幂的乘方的意义，分母有理化，负指数幂的意义，绝对值的性质计算后合并即可． 【详解】解：原式 ． 44．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知，，求的值． 【答案】36 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是熟练掌握分母有理化的方法并灵活运用． 把已知条件进行分母有理化的运算，对所求的式子运用完全平方公式进行整理代入相应的值运算即可． 【详解】解：化简，， 故． 45．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先计算除法，再计算减法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 46．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）先化简，再求值： ，其中 ． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的运算，分母有理化，先计算括号内分式的减法运算，再计算分式的加法运算，最后把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 47．（2024·浙江台州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，分母有理化；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 48．（2024·江苏苏州·一模）先化简、再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键．根据运算法则进行化简，再将数值代入即可得到答案． 【详解】解：原式 当时， 原式 ． 49．（23-24八年级下·河南商丘·期中）特例感知 化简：． 解：． (1)请在横线上直接写出化简的结果；①______；②______． 观察发现 (2)第个式子是为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】本题考查了数字的变化规律，分母有理化： （1）①利用题干中反映的规律解答即可，②利用题干中反映的规律解答即可； （2）利用（1）中的方法解答即可． 【详解】（1）①解：； ②； （2）． 50．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如，的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有理化． 例如： ． (1)用上述方法化简； (2)． 【答案】(1) (2)2024 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据例题的方法，分母有理化即可求解； （2）将每一项都分母有理化，继而即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$