专题01 二次根式重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

专题01 二次根式重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 求二次根式的值 题型二 根据二次根式有意义的条件求参 题型三 利用二次根式被开方数的非负性求值 题型四 根据二次根式是整数求字母的值 题型五 利用二次根式的性质化简 题型六 数轴与二次根式的化简问题 题型七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 题型八 复合二次根式的化简 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【经典例题一 求二次根式的值】 【例1】（22-23八年级下·山东烟台·期末）下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·陕西·阶段练习）下列式子：中，一定是二次根式的是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）当时，二次根式的值是 . 3．（22-23九年级上·四川成都·期中）先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，已知x2+x﹣=0． 【经典例题二 根据二次根式有意义的条件求参】 【例2】（23-24八年级下·广西南宁·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A．1 B． C． D． 1．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）若式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如果有意义，那么x的取值范围是 ． 3．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）已知． (1)求a的值； (2)求的平方根． 【经典例题三 利用二次根式被开方数的非负性求值】 【例3】 （22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）下列二次根式化简后，与被开方数相同的二次根式是（　　） A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）下列根式化简后，被开方数与的被开方数相同的是(      ) A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·湖北襄阳·期中）化简后与最简二次根式的被开方数相等，则 . 3．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果．请利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，求b2﹣2b＋2a的值； （2）若a，b为实数，且，求a＋b的值； （3）已知实数a，b满足，求a＋b的值． 【经典例题四 根据二次根式是整数求字母的值】 【例4】（2023春·八年级单元测试）若是整数，则整数n的所有可能的值为_______． 1．（22-23八年级上·安徽·阶段练习）整数满足，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2023·贵州黔南·二模）在进行实数的化简时，我们可以用“”的方式，如．利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式． （1）已知a为正整数，若是整数，则a的最小值为 ． （2）设b为正整数，若，m是大于1的整数，则m的最大值与m的最小值的积的平方根为 ． 3．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中、为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为，如，所以的“美好区间”为． (1)无理数的“美好区间”是______； (2)若一个无理数的“美好区间”为，且满足，其中是关于，的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数，，满足如下关系式： ，求的算术平方根的“美好区间”． 【经典例题五 利用二次根式的性质化简】 【例5】（23-24八年级下·河北沧州·期中）若，，则（    ） A．5 B．3 C． D． 1．（23-24八年级下·河北·期中）实数a和b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）若，则二次根式化简的结果为 ． 3．（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知，化简：． 【经典例题六 数轴与二次根式的化简问题】 【例6】（23-24八年级下·全国·课后作业）使分式有意义的x的取值范围在数轴上应表示为（　　） A． B． C． D． 1．（20-21八年级上·江西景德镇·期中）实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是（    ） A．4 B．2a C．2b D． 2．（23-24八年级下·广东惠州·期中）若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ． 3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 【经典例题七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 【例7】（2023春·八年级课时练习）一次函数的图象如图所示，化简_______． 1、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若化简的结果是，则x的取值范围是___________ 2、（2023春·山东烟台·八年级统考期中）已知m是的小数部分，则式子___________． 3、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）已知ab＜0，化简______ 【经典例题八 复合二次根式的化简】 【例8】（22-23八年级下·安徽合肥·期中）阅读下面的解题过程：∵①，②．∴③．以上推导过程中开始错误的一步是(　　) A．① B．② C．③ D．没有错误 1．（22-23八年级·全国·单元测试）已知为有理数，且满足等式，则的值为(    ). A．2 B．4 C．6 D．8 2．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）已知是整数，则正整数n的最小值为 ． 3．（22-23八年级上·北京门头沟·期中）先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，那么便有．例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即 ． 由上述例题的方法化简： （1）； （2）． 1．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）若，则的值为（    ） A．8 B． C．6 D．9 2．（22-23八年级下·全国·单元测试）已知下列各式：，，，，，其中二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（22-23八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简代数式|a+b|﹣的结果是（　　） A．﹣b B．2a C．a D．﹣2a﹣b 4．（2024·江苏宿迁·二模）已知、是两个连续的偶数（），且，，，则下列对的表述中正确的是（    ） A．总是奇数 B．总是偶数 C．总是无理数 D．可能是有理数可能是无理数 5．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）某校研究性学习小组在学习二次根式之后，研究了如下四个问题，其中错误的是（　　） A．在的条件下化简代数式的结果为 B．当的值恒为定值时，字母的取值范围是 C．的值随变化而变化，当取某个数值时，上述代数式的值可以为 D．若，则字母必须满足 6．（22-23八年级下·湖北荆门·阶段练习）已知，则 ． 7．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）若，化简 ． 8．（22-23八年级下·四川广安·期中）根据下列条件，求字母的取值范围 ． 9．（23-24八年级下·重庆·期中）若，则 ． 10．（22-23七年级下·四川凉山·期末）实数a和b在数轴上所表示的点分别在原点的左右两侧，则 ． 11．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 12．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）若m，n是实数，且，求的算术平方根． 13．（22-23八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若，为实数，且，求的值； (3)已知实数， 满足，求的值． 14．（22-23八年级上·山东枣庄·期中）阅读理解：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如.继续进行以下的探索：设（其中，，，都是正整数），则有.∴，，这样就得出了把类似的式子化为平方式的方法. 请仿照上述方法探索并解决下列问题： （1）当，，，都是正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得__________，___________； （2）利用上述方法，填空：（________-____）； （3）如果，且，，都是正整数，求的值. 15．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）若，化简，某同学的解答过程如图． 解：原式第一步 第二步 第三步 (1)该同学的解答从第______步开始出现错误，错误的原因是用错了性质： 当时，______；当时，______； (2)写出原题正确的解答过程； (3)若实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 求二次根式的值 题型二 根据二次根式有意义的条件求参 题型三 利用二次根式被开方数的非负性求值 题型四 根据二次根式是整数求字母的值 题型五 利用二次根式的性质化简 题型六 数轴与二次根式的化简问题 题型七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 题型八 复合二次根式的化简 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【经典例题一 求二次根式的值】 【例1】（22-23八年级下·山东烟台·期末）下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式可得答案． 【详解】根据二次根式的定义可得中得被开方数a无论为何值都是非负数， 故选C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数． 1．（22-23八年级上·陕西·阶段练习）下列式子：中，一定是二次根式的是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】解题需要分别考虑是否满足二次根式需要同时满足的两个条件：一是含有根号，二是被开方数是非负数. 【详解】根据二次根式的定义可得是二次根式， 故选B. 【点睛】本题考查的是二次根式的定义，熟练掌握这一点是解题的关键. 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）当时，二次根式的值是 . 【答案】 【分析】把代入后化简即可求解. 【详解】把代入得， . 故答案为. 【点睛】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的运算法则把二次根式化为最简二次根式是解决问题的关键. 3．（22-23九年级上·四川成都·期中）先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，已知x2+x﹣=0． 【答案】， 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，由已知确定出，再整体代入即可求出值． 【详解】（x﹣1﹣）÷ ， ∵， 即， ∴原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【经典例题二 根据二次根式有意义的条件求参】 【例2】（23-24八年级下·广西南宁·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、1不是二次根式，不符合题意； B、不是二次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、不是二次根式，不符合题意； 故选：C． 1．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）若式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质求即可求解，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件和有理数乘方的应用． 【详解】解：要使式子有意义，则， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如果有意义，那么x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件即可求解，解题的关键在于掌握二次根式中的被开方数是非负数． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）已知． (1)求a的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、求一个数的平方根，关键是熟知二次根式的被开方数为非负数． （1）根据二次根式的被开方数为非负数求解即可； （2）先求得b值和，再根据一个正数有两个平方根，且互为相反数求解即可． 【详解】（1）解：由题意，且，解得， （2）解：∵， ∴，则， ∴， ∴的平方根是． 【经典例题三 利用二次根式被开方数的非负性求值】 【例3】 （22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）下列二次根式化简后，与被开方数相同的二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质化简各二次根式，根据同类二次根式的概念解答即可． 【详解】解：∵，，，， ∴与被开方数相同的二次根式是， 故选项C符合题意，选项A、B、C不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简、同类二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 1．（22-23八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）下列根式化简后，被开方数与的被开方数相同的是(      ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，可得答案． 【详解】A．2与的被开方数不同，故A错误； B．3与的被开方数不同，故B错误； C．2与的被开方数相同，故C正确； D．与的被开方数不同，故D错误． 故选C． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 2．（22-23八年级下·湖北襄阳·期中）化简后与最简二次根式的被开方数相等，则 . 【答案】5 【分析】本题先将化简为最简二次根式，继而利用题干信息“被开方数相同”列方程求解． 【详解】，其中被开方数为6；的被开方数为 ， 故有：，则． 故答案为：5． 【点睛】本题考查最简二次根式的化简以及对二次根式概念的理解，需注意化简原则为被开方数不含分母,也不含能开的尽方的因数或因式． 3．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果．请利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，求b2﹣2b＋2a的值； （2）若a，b为实数，且，求a＋b的值； （3）已知实数a，b满足，求a＋b的值． 【答案】（1）﹣9；（2）﹣1或3；（3）1 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b2-2b，计算即可； （2）根据非负数的性质求出b，进而求出a2，计算即可； （3）根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据非负数的性质计算，得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，a+6=0，b2-2b-3=0， 解得，a=-6，b2-2b=3， ∴b2-2b+2a=3+（-12）=-9； （2）由题意得，b-1≥0，1-b≥0， 解得，b=1， ∴a2=4， 解得，a=±2， ∴a＋b=﹣1或3； （3）∵|2a-4|+|b+2|++4=2a， ∴（a-3）b2≥0， 解得，a≥3， 原式变形为：2a-4+|b+2|＋=2a-4， ∴|b+2|+=0， 则b+2=0，a-3=0， 解得，b=-2，a=3， 则a+b=1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【经典例题四 根据二次根式是整数求字母的值】 【例4】（2023春·八年级单元测试）若是整数，则整数n的所有可能的值为_______． 【答案】1，4，9，36 【分析】是整数，则，且是完全平方数，即可求出n的值． 【详解】解：∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴①，即； ②，即； ③，即； ④，即； 综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36． 故答案是：1，4，9，36． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解是整数的条件是解题的关键． 1．（22-23八年级上·安徽·阶段练习）整数满足，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查无理数估算，涉及二次根式性质等知识，根据题意，利用二次根式性质及无理数估算即可得到答案，熟记二次根式性质是解决问题的关键． 【详解】解：，，整数满足， ，即，则整数的值为， 故选：C． 2．（2023·贵州黔南·二模）在进行实数的化简时，我们可以用“”的方式，如．利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式． （1）已知a为正整数，若是整数，则a的最小值为 ． （2）设b为正整数，若，m是大于1的整数，则m的最大值与m的最小值的积的平方根为 ． 【答案】 19 【分析】（1）根据题中化简方法可得，再根据是整数，即可求解； （2）根据题意可得当时，m取最大值720；当时，m取最小值1，即可求解． 【详解】解：∵， 又∵是整数， ∴a的最小值为19， 故答案为：19； （2）∵b为正整数，m是大于1的整数， ∴当时，m取最大值720；当时，m取最小值1， m的最大值与m的最小值的积的平方根为， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中、为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为，如，所以的“美好区间”为． (1)无理数的“美好区间”是______； (2)若一个无理数的“美好区间”为，且满足，其中是关于，的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数，，满足如下关系式： ，求的算术平方根的“美好区间”． 【答案】(1) (2)37或161 (3) 【分析】本题主要考查无理数的估算，以及二次根式有意义的条件： （1）根据“美好区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“美好区间”； （2）根据“美好区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求出的值； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相加得，得，，再根据“美好区间”的定义即可求解．． 【详解】（1）∵， ∴， ∴ ∴无理数的“美好区间”是， 故答案为： （2）∵为“美好区间” ∴，为连续的整数 又∵是关于，的二元一次方程的一组正整数解 ∴是一个平方数 又∵ ∴满足题意的，的值为或 当时， ∴ ∴， 当时，， ∴， ∴， 综上所述：的值为37或161． （3）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 两式相加得 ∴ ∴的算术平方根为 ∵ 的算术平方根的美好区间为． 【经典例题五 利用二次根式的性质化简】 【例5】（23-24八年级下·河北沧州·期中）若，，则（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，先将原式根据二次根式的性质化简后再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B 1．（23-24八年级下·河北·期中）实数a和b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴和运用数形结合思想进行绝对值和二次根式的化简能力，解题关键是掌握根据二次根式的性质化简二次根式与根据绝对值的意义化简． 由数轴得出，从而判定出，，再根据二次根式的性质化简二次根式与根据绝对值的意义化简即可． 【详解】解：由数轴可得： ∴，， ∴ ， 故选：A． 2．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）若，则二次根式化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，根据，被开方数，可得，，进而根据化简即可． 【详解】解：，， ，， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的双重非负性，绝对值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据的取值范围和二次根式的双重非负性，化简式子，合并即可． 【详解】解：∵， ∴，， 根据二次根式的被开方数和开绝对值的结果必须大于等于零， ∴，， 故， 故答案为． 【经典例题六 数轴与二次根式的化简问题】 【例6】（23-24八年级下·全国·课后作业）使分式有意义的x的取值范围在数轴上应表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键； 根据二次根式有意义的条件和分式的分母不为0，列出不等式组，求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得． 在数轴上表示出来，如图． 故选：B． 1．（20-21八年级上·江西景德镇·期中）实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是（    ） A．4 B．2a C．2b D． 【答案】A 【分析】由在数轴上的位置可得：再根据化简计算即可． 【详解】解： 故选A 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键． 2．（23-24八年级下·广东惠州·期中）若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】1 【分析】根据数轴得，化简计算即可，本题考查了数轴上数的大小小，二次根式的化简，熟练掌握化简的基本原则是解题的关键． 【详解】根据题意，得， ∴ ． 故答案为：． 3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 【答案】 【分析】根据点在数轴上的位置判断和的正负，再化简绝对值即可． 【详解】解：由图可知，， ∴． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题的关键是利用点在数轴上的位置判断出式子的正负． 【经典例题七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 【例7】（2023春·八年级课时练习）一次函数的图象如图所示，化简_______． 【答案】 【分析】先根据一次函数经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴，可得，，再由图可知，当时，一次函数的值大于0，即有当时，有，据此化简即可． 【详解】∵一次函数经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴， ∴，， 由图可知，当时，一次函数的值大于0， ∴将代入中有， 即： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，二次根式的化简以及绝对值的化简等知识，根据一次函数的图象与性质得出，，是解答本题的关键． 1、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若化简的结果是，则x的取值范围是___________ 【答案】1≤x≤4 【分析】根据可以得到，然后根据x的取值范围去绝对值即可求解. 【详解】解：由题意可知： ∴ ∴， ∴当时 原式不合题意； ∴当时， 原式不合题意； ∴当时， 原式符合题意； ∴x的取值范围为：， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 2、（2023春·山东烟台·八年级统考期中）已知m是的小数部分，则式子___________． 【答案】 【分析】首先确定，再将其代入并化简计算即可． 【详解】解：∵m是的小数部分， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算以及二次根式的性质，解题的关键是求出． 3、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）已知ab＜0，化简______ 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，利用，得，，再根据二次根式的性质得原式，然后去绝对值即可． 【详解】解：， 而，， ，， 原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握． 【经典例题八 复合二次根式的化简】 【例8】（22-23八年级下·安徽合肥·期中）阅读下面的解题过程：∵①，②．∴③．以上推导过程中开始错误的一步是(　　) A．① B．② C．③ D．没有错误 【答案】A 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：∵①，②， ∴③，以上推导错误的一步是：①， 应该为：∵，而， ∴③， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简是解题关键． 1．（22-23八年级·全国·单元测试）已知为有理数，且满足等式，则的值为(    ). A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用完全平方公式将逐步化简为，代入等式得出，从而得出答案. 【详解】∵ ∴ ∴， ，即． ∵，为有理数， ，，即． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键. 2．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）已知是整数，则正整数n的最小值为 ． 【答案】3. 【分析】根据二次根式的性质，对进行化简，只要是整数即可 【详解】解：由题意可知：48n⩾0， ∴n⩾0， ∵是整数， 故是整数， ∴n的最小值为3， 故答案为3. 【点睛】本题考查二次根式的定义，解决此题时要先对根式进行化简将能开方的先开出来，再进行分析比较简单. 3．（22-23八年级上·北京门头沟·期中）先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，那么便有．例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即 ． 由上述例题的方法化简： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的、，即可求解． 【详解】解：（1）； （2）． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用，掌握二次根式的性质以及完全平方公式是解题的关键． 1．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）若，则的值为（    ） A．8 B． C．6 D．9 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件，得出，进而得出，将x和y的值代入即可求解． 【详解】解：∵和有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数． 2．（22-23八年级下·全国·单元测试）已知下列各式：，，，，，其中二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】-，，，是二次根式， 故选D． 【点睛】本题考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解二次根式的性质，本题属于基础题型． 3．（22-23八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简代数式|a+b|﹣的结果是（　　） A．﹣b B．2a C．a D．﹣2a﹣b 【答案】A 【分析】首先开平方，然后再根据负数的绝对值等于它的相反数去绝对值符号，然后再合并同类项即可. 【详解】直接利用数轴得出各项符号，进而化简得出答案． 解：如图所示：a+b＜0，a＜0， 故原式＝﹣a﹣b+a ＝﹣b． 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，以及实数与数轴，解决本题的关键是要熟练掌握二次根式的性质. 4．（2024·江苏宿迁·二模）已知、是两个连续的偶数（），且，，，则下列对的表述中正确的是（    ） A．总是奇数 B．总是偶数 C．总是无理数 D．可能是有理数可能是无理数 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，由题意可知，，，代入，根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵、是两个连续的偶数（）， ∴， ∵，， ∴ ， ∴c是偶数， 故选：B． 5．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）某校研究性学习小组在学习二次根式之后，研究了如下四个问题，其中错误的是（　　） A．在的条件下化简代数式的结果为 B．当的值恒为定值时，字母的取值范围是 C．的值随变化而变化，当取某个数值时，上述代数式的值可以为 D．若，则字母必须满足 【答案】C 【分析】首先将原式变形为，然后再根据，将原式变形为，然后根据绝对值的性质分类化简即可得出结论． 【详解】解：、当时，原式，故正确，与题意不相符； 、，当时，原式，故正确，与题意不相符； 、当时，原式；当时，原式，故错误，与题意相符； 、由，可知正确，故正确，与题意不相符． 故选:． 【点睛】本题主要考查的是化简和绝对值的性质，掌握以及绝对值的性质是解题的关键． 6．（22-23八年级下·湖北荆门·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论 【详解】求解． 解：∵， ∴与同号， ①当，时， 原式 ； ②当，时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件． 7．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）若，化简 ． 【答案】 【分析】根据 进行化简. 【详解】解：由 可知，a＜0，又b＜0， 【点睛】掌握，当a＜0，时，是本题的解题关键. 8．（22-23八年级下·四川广安·期中）根据下列条件，求字母的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的非负性进行求解即可. 【详解】因为 所以1-x≥0 所以 故答案为 【点睛】本题考查二次根式化简，利用非负数性质求解是关键. 9．（23-24八年级下·重庆·期中）若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了不等式的性质，绝对值的非负性，二次根式的性质．熟练掌握不等式的性质，绝对值的非负性，二次根式的性质是解题的关键． 由题意知，，由，可得，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（22-23七年级下·四川凉山·期末）实数a和b在数轴上所表示的点分别在原点的左右两侧，则 ． 【答案】a或 【分析】分两种情况讨论：①当a在原点左侧，b在原点右侧，即时；②当a在原点右侧，b在原点左侧，即时． 【详解】解：①当a在原点左侧，b在原点右侧，即， ； ②当a在原点右侧，b在原点左侧，即， ； 故答案为：a或． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握绝对值的代数意义是解答本题的关键． 11．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 12．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）若m，n是实数，且，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求一个数的算术平方根，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数，以及求一个数的算术平方根的方法． 先根据二次根式有意义的条件得出，求出m的值，进而得出n的值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 13．（22-23八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若，为实数，且，求的值； (3)已知实数， 满足，求的值． 【答案】(1)-2 (2)x+y的值为2或8； (3)m+n的值为1． 【分析】（1）利用非负数的性质，可求a，b的值，从而求得a+b的值为-2； （2）利用二次根式有意义的条件，可得y值，进而求x值，最终得x+y的值； （3）是上两个题目的综合运用，利用（1）（2）可出得m+n的值． 【详解】（1）解：∵， 且≥0，≥0， ∴a-1=0，且3+b=0， ∴a=1，b=-3， ∴a+b=-2； 故答案为：-2； （2）解：∵x2+9， ∴y-5≥0且5-y≥0， ∴y≥5且y≤5， ∴y=5， ∴x2=9， ∴x=±3， 当x=3时，x+y=3+5=8； 当x=-3时，x+y=-3+5=2； 答：x+y的值为2或8； （3）解：∵|2m-4|+|n+2|++4=2m， ∴（m-3）n2≥0， ∴m≥3， ∴2m-4＞0， ∴|2m-4|+|n+2|++4=2m， 2m-4+|n+2|++4=2m， ∴|n+2|+=0， ∵|n+2|≥0，≥0， ∴n+2=0，（m-3）n2=0， ∴n=-2，m=3， ∴m+n=3-2=1． 【点睛】本题考查的非负数的性质，二次根式的性质，关键就是要了解性质的含义，在中考中经常出现． 14．（22-23八年级上·山东枣庄·期中）阅读理解：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如.继续进行以下的探索：设（其中，，，都是正整数），则有.∴，，这样就得出了把类似的式子化为平方式的方法. 请仿照上述方法探索并解决下列问题： （1）当，，，都是正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得__________，___________； （2）利用上述方法，填空：（________-____）； （3）如果，且，，都是正整数，求的值. 【答案】（1），；（2）1，2；（3）14或46 【分析】(1)利用完全平方公式把展开即可得到用含的式子分别表示出； (2)利用(1)中的表达式，令,则可计算出对应的m和n的值即可； (3)利用(1)的结果得到，则，再利用m，n都为正整数得到 或，然后计算对应的a的值即可． 【详解】解：(1)用完全平方公式把展开即可得: , 进而得：，. (2)由(1)可得： ，， 解得：， . (3)由(1)得， ∴，而，都为正整数， ∴，或，. 当，时， 当，时， 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，解题关键是对于题目信息的理解. 15．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）若，化简，某同学的解答过程如图． 解：原式第一步 第二步 第三步 (1)该同学的解答从第______步开始出现错误，错误的原因是用错了性质： 当时，______；当时，______； (2)写出原题正确的解答过程； (3)若实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：．    【答案】(1)二，， (2)，过程见解析 (3) 【分析】（1）根据二次根式的性质解答即可； （2）根据二次根式的性质化简即可； （3）根据数轴先得到，，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：由化简过程可知，从第二步出现错误， 当时，，当时，， 故答案为：二，，； （2）∵， ∴， ； （3）由数轴可知：，，， ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，数轴上的有理数，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$