精品解析：湖北省武汉市汉阳区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023-2024汉阳区七（下）期末数学试卷 一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点P所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，不适合采用抽样调查的是（ ） A. 了解一批灯泡的使用寿命 B. 调查武汉市中学生的睡眠时间 C. 了解某班学生的数学成绩 D. 调查某批次汽车的抗撞能力 5. 已知，则下列四个不等式中，不正确是（ ） A B. C. D. 6. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 若方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 三个整数a，b，c满足，则a的值为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 11. 已知a，b是不为0的常数，若关于x的不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面坐标系xoy中，已知，将线段平移，得到线段（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），线段上任一点在平移后的对应点为，其中，若，且平移后三角形的面积最大，则此时，m，n的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 13. 写出方程的一组整数解为________． 14. 某中学为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，让若干名学生从足球、乒乓球、篮球，排球四种球类运动中选择自己最喜欢的一种，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（如图1，图2，要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类运动；图中用乒乓球、足球，排球、篮球代表喜欢该项目的学生人数）．则在被调查的学生中喜欢排球的同学有________人． 15. 观察表格 a 0.0001 0.01 1 100 10000 … 0.01 0.1 1 10 100 … 按表中规律若已知，用含m式子表示n，则_______． 16. 如图，以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是________． 17. 已知关于x，y的方程组，现有以下结论： ①当时，方程组的解也是方程的解 ②当x为正数，y为非负数时； ③不论a取什么数，值始终不变； ④若，则 其中正确结论的序号为_________． 18. 已知，则的值为__________． 三、解答题（共7小题，共66分） 19. （1）计算； （2）求x的值： 20. 求满足不等式组的非负整数解． 21 （1）解方程组， （2）解方程组 22. 由边长为1的小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C均是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）如图1，画线段的中点E，再连，并直接写出三角形的面积； （2）如图2，先将线段平移，使点B与点C重合，得对应线段，点F为与格线的交点，再在上画点G，使直线平分三角形的面积 23. 【猜想】（1）如图1，，点E在直线之间，连，若，则的大小为 度．（直接写出结果） 【探究】（2）如图2，，交于点E，探究 （均为小于的角）之间的数量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图3，，的平分线与的角平分线的反向延长线交于点F，且，直接写出的大小为 ． 24. 商场销售甲、乙两种商品，它们的进价和售价如表： 进价(元) 售价(元) 甲 15 20 乙 35 43 (1)若该商场购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件； (2)该商场为使销售甲、乙两种商品共100件的总利润(利润=售价–进价)不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案． 25. 【提出问题】在平面直角坐标系xOy中，对于不重合的两点和点，如果当时，有；当时，有，则称点P与点Q互为“进取点”．特别地，当时，点P与点Q也互为“进取点”． 【数学思考】已知点，点． （1）如图1，在平面直角坐标系中画点：，并直接写出其中与点A互为“进取点”的是 ； （2）如果一个点的横，纵坐标都是整数，则称这个点为整点，在满足的所有整点中（如图2） ①已知点为第一象限中的整点，且与点A，B均互为“进取点”，求所有符合题意的点Р坐标； ②在第一象限的整点中取n个点，若这n个点中任意两个点互为“进取点”，直接写出n的最大值为 ； 26. 对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“共联”的，这个整数称为“联点”．例如不等式和不等式是“共联”的，联点为2． （1）不等式和是“共联”的，联点为 ﹔ （2）若和是“共联”的，则a的最大值为 ； （3）若不等式和是“共联”的，直接写出b的取值范围为 ； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024汉阳区七（下）期末数学试卷 一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数的性质，先化简，再根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出结果． 【详解】解：的相反数为：； 故选C． 2. 在平面直角坐标系中，点P所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号特征是解题的关键．四个象限的符号特征分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】，， 点P所在的象限是第三象限． 故选C． 3. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式内非负即可． 【详解】要想使得代数式在实数范围内有意义 则a－1≥0 解得:a≥1 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，只需满足使得二次根式内非负即可． 4. 下列调查中，不适合采用抽样调查的是（ ） A. 了解一批灯泡的使用寿命 B. 调查武汉市中学生的睡眠时间 C. 了解某班学生的数学成绩 D. 调查某批次汽车的抗撞能力 【答案】C 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A．了解一批灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意； B．调查武汉市中学生的睡眠时间，所费人力、物力和时间较多，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意； C．了解某班学生的数学成绩，易于调查，适宜采用全面调查，故本选项符合题意； D．调查某批次汽车的抗撞能力，调查具有破坏性，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 5. 已知，则下列四个不等式中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、不等式a＜b的两边都乘以-2，不等号的方向改变，错误，故此选项符合题意； B、不等式a＜b的两边都乘以2，不等号的方向不变，正确，故此选项不符合题意； C、不等式a＜b的两边都减去2，不等号的方向不变，正确，故此选项不符合题意； D、不等式a＜b的两边都加上2，不等号的方向不变，正确，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 6. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，理解题意，掌握数形结合的思想是解题的关键．根据平行线的性质，，即可得到答案． 【详解】解：由平行线的性质可得， ，， ， ， 故选B． 7. 已知是二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将代入，即可转化为关于m的一元一次方程，解答即可．方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】将代入， 得， 解得． 故选：A． 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 【详解】解：设有x人，y辆车， 依题意得： ， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系． 9. 若方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】两式相加，得：3x+3y=4+m，得：x+y=，因为，所以>0,得： 故选A. 10. 三个整数a，b，c满足，则a的值为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解三元一次方程组，将三个式子相加求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 11. 已知a，b是不为0的常数，若关于x的不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和不等式的性质，能求出和是解此题的关键． 根据的解集是得出且，求出，把代入得出根据求出，再求出不等式的解集即可． 【详解】解：的解集是， 且， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 12. 如图，在平面坐标系xoy中，已知，将线段平移，得到线段（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），线段上任一点在平移后的对应点为，其中，若，且平移后三角形的面积最大，则此时，m，n的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标的平移，解题的关键是数形结合，熟练掌握平移规律．根据线段上任一点在平移后的对应点为，其中，得出只能向右平移或向下平移，根据无论如何平移，线段的长度不变，得出当上的高最大时，面积最大，根据点B距离最远时，面积最大，根据，结合图形，得出当向下平移个单位时，水平位置不动时，点B距离最远，面积最大，即可得出答案． 【详解】解：∵线段上任一点在平移后的对应点为，其中， ∴只能向右平移或向下平移， ∵无论如何平移，线段的长度不变， ∴当上的高最大时，面积最大， 即点B距离最远时，面积最大， ∵， ∴当向下平移个单位时，水平位置不动时，点B距离最远，面积最大，如图所示： 此时， 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 13. 写出方程的一组整数解为________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查求二元一次方程的整数解，取，代入方程，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得：， ∴方程的一组整数解为； 故答案为：（答案不唯一） 14. 某中学为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，让若干名学生从足球、乒乓球、篮球，排球四种球类运动中选择自己最喜欢的一种，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（如图1，图2，要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类运动；图中用乒乓球、足球，排球、篮球代表喜欢该项目的学生人数）．则在被调查的学生中喜欢排球的同学有________人． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查折线图和扇形图，用乒乓球的人数除以所占的比例求出样本容量，进而求出篮球的人数，再用样本容量减去其他组的人数求出喜欢排球的人数即可． 【详解】解：样本容量为：， 喜欢篮球的人数为：（人）， ∴喜欢排球的人数为：（人）； 故答案为：10． 15. 观察表格 a 0.0001 0.01 1 100 10000 … 0.01 0.1 1 10 100 … 按表中规律若已知，用含m的式子表示n，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的规律探究，通过表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位， ∵， ∴； 故答案为：． 16. 如图，以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是________． 【答案】##9厘米 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，对应点所连线段的长即为平移的距离，进行求解即可． 【详解】解：∵以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 17. 已知关于x，y的方程组，现有以下结论： ①当时，方程组的解也是方程的解 ②当x为正数，y为非负数时； ③不论a取什么数，的值始终不变； ④若，则 其中正确结论的序号为_________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据方程组的解的情况求参数的范围，先求出方程组的解，然后逐一进行判断即可． 【详解】解：解，得：， 当时，则：，方程，转化为：， 把，代入得：，符合题意；故①正确； 当x为正数，y为非负数时，则：，解得：，故②错误； ，故③正确； 当时，即：，解得：， ∴， ∴，即：；故④正确； 故答案为：①③④ 18. 已知，则值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式的乘法法则、代数式求值，将已知等式化为，，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 三、解答题（共7小题，共66分） 19. （1）计算； （2）求x的值： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，利用立方根解方程： （1）先去绝对值，再合并同类二次根式即可； （2）利用立方根的定义，解方程即可． 【详解】解：（1）解：原式 ； （2）解：原方程可化为，， ∴， 因为， ∴． 20. 求满足不等式组的非负整数解． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的非负整数解，先求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即得到不等式组的解集，再根据不等式组的解集即可求出非负整数解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 详解】解：由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的非负整数解为，． 21. （1）解方程组， （2）解方程组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解方程组： （1）加减消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 由得，， 把代入①得，， ∴是原方程组解； （2）解： 由得，，∴④ 由得，，∴⑤ 由得，，∴， 把代入④得，， 把带入①得，， ∴原方程组的解为． 22. 由边长为1的小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C均是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）如图1，画线段的中点E，再连，并直接写出三角形的面积； （2）如图2，先将线段平移，使点B与点C重合，得对应线段，点F为与格线的交点，再在上画点G，使直线平分三角形的面积 【答案】（1）画图见解析， （2）画图见解析 【解析】 【分析】本题考查平移作图，全等三角形的判定和性质： （1）取的中点，连接，利用三角形的面积公式求解即可； （2）根据平移规则，画出线段，连接，交于点，连接， 取的中点，连接即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 由图可知：的面积为：； 【小问2详解】 如图，，即为所求； 由图可知：，， ∴， ∴． 23. 【猜想】（1）如图1，，点E在直线之间，连，若，则的大小为 度．（直接写出结果） 【探究】（2）如图2，，交于点E，探究 （均为小于的角）之间的数量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图3，，的平分线与的角平分线的反向延长线交于点F，且，直接写出的大小为 ． 【答案】（1）65（2），理由见解析（3） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，解题的关键是过拐点，构造平行线： （1）过点作，进而根据平行公理推论即可得到，再根据平行线的性质得到，，进而结合题意进行角的运算即可求解； （2）过点作，先根据平行公理推论得到，进而根据平行线的性质得到，，再结合题意进行角的运算即可求解； （3）过点作，过点作，则：，根据平行线的性质，角平分线的定义推出，再结合，进行求解即可． 【详解】解：（1）过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：65； （2），理由如下： 过点作，如图所示： ，， ， ，， ， ， 即． （3）过点作，过点作，则：， 同（2）可得：， ∵， ∴， ∵平分线与的角平分线的反向延长线交于点F， ∴，， ∴， 即：， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 24. 商场销售甲、乙两种商品，它们的进价和售价如表： 进价(元) 售价(元) 甲 15 20 乙 35 43 (1)若该商场购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件； (2)该商场为使销售甲、乙两种商品共100件的总利润(利润=售价–进价)不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案． 【答案】（1）商场购进甲种商品40件，乙种商品60件．（2）方案1: 购进甲种商品14件, 购进乙种商品86件.方案2: 购进甲种商品15件, 购进乙种商品85件.方案3: 购进甲种商品16件, 购进乙种商品84件. 【解析】 【分析】（1）设购进甲种商品件, 购进乙种商品件，根据题目中的等量关系（①甲、乙两种商品共100件；②购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元）列出方程组，解方程组即可；（2）设购进甲种商品件, 购进乙种商品件，根据“销售甲、乙两种商品共100件的总利润不少于750元，且不超过760元”列出不等式组，求得不等式组的整数解，即可确定符合条件的进货方案． 【详解】（1）解：设购进甲种商品件, 购进乙种商品件.根据题意，得 ； 解得, ； 答：购进甲种商品40件, 购进乙种商品60件. （2）解：设购进甲种商品件, 购进乙种商品件.根据题意，得 解,得 因为,不小于而不大于的整数有14，15，16． 所以，满足题意的进货方案有三种: 方案1: 购进甲种商品14件, 购进乙种商品86件. 方案2: 购进甲种商品15件, 购进乙种商品85件. 方案3: 购进甲种商品16件, 购进乙种商品84件. 【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出方程组和不等式组是解决问题的关键. 25. 【提出问题】在平面直角坐标系xOy中，对于不重合的两点和点，如果当时，有；当时，有，则称点P与点Q互为“进取点”．特别地，当时，点P与点Q也互为“进取点”． 【数学思考】已知点，点． （1）如图1，在平面直角坐标系中画点：，并直接写出其中与点A互为“进取点”的是 ； （2）如果一个点的横，纵坐标都是整数，则称这个点为整点，在满足的所有整点中（如图2） ①已知点为第一象限中的整点，且与点A，B均互为“进取点”，求所有符合题意的点Р坐标； ②在第一象限的整点中取n个点，若这n个点中任意两个点互为“进取点”，直接写出n的最大值为 ； 【答案】（1）C、D、F （2）①，，，，，，，，，② 7 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义“进取点”，点的平移，解决问题的关键是熟练掌握规定“进取点”的意义，点的平移坐标右加左减，上加下减的规则． （1）根据，，判定点，，互为“进取点”；根据，判定点，互为“进取点”；根据，，判定点，不互为“进取点”；根据，，判定点，互为“进取点”； （2）①当，时，有，，， 当，时，有，，，，，，，均与点、点互为“进取点”； ②在第一象限内，根据任意两个整点都互为“进取点”，把点按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到，第一象限内得到7个点，即可得出结果． 【小问1详解】 解：画图如下： ∵，， ∴，， ∴点A与点C互为“进取点”； ∵，， ∴， ∴点A与点D互为“进取点”； ∵，， ∴，， ∴点A与点E不互为“进取点”； ∵，， ∴，， ∴点A与点F互为“进取点”； 故答案为：C、D、F； 【小问2详解】 解：①∵为第一象限中的整点，点，点， ∴当，时， ，， ∴，，，均与点、点互为“进取点”， 当，时， ，， ∴，，，，，，，均与点、点互为“进取点”， ∴，，，，，，，，，，均与点、点互为“进取点”； ②∵，， ∴，，，， ∵当时，有，则点和点互为“进取点”， ∴，，，， 当，时，取值0，1，2，3，取值1，2，3，4，、取值0，1，2，3，4， ∵任意两个整点都互为“进取点”， ∴把点按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到，（方法不唯一） ∴第一象限内共7个点， ∴n的最大值为， 故答案为：7． 26. 对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“共联”的，这个整数称为“联点”．例如不等式和不等式是“共联”的，联点为2． （1）不等式和是“共联”的，联点为 ﹔ （2）若和是“共联”的，则a的最大值为 ； （3）若不等式和是“共联”的，直接写出b的取值范围为 ； 【答案】（1）2 （2）4 （3） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，理解新定义，是解题的关键． （1）先求出不等式的解集，再根据新定义，进行求解即可； （2）先求出不等式的解集，再根据新定义，进行求解即可； （3）先求出不等式的解集，再根据新定义，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， ∵不等式和是“共联”的， ∴联点为2； 故答案为：2 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵和是“共联”的， ∴联点为1， ∴， ∴， ∴a的最大值为4； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵不等式和是“共联”的， ∴，解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$