2024年七年级数学暑假预习课讲义第五讲有理数的加法

七年级暑假预习课讲义 第5讲 有理数的加法 1、 专题导航 2、 知识点梳理 知识点1 有理数加法的法则 （1）同号两数相加；取相同的符号，并把绝对值相加。 数学表示：若a>0、b>0，则a+b=|a|+|b|； 若a<0、b<0，则a+b=-(|a|+|b|)； （2）异号两数相加，绝对值相等（相反数）时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值。 数学表示：若a>0、b<0，且|a|>|b|则a+b=|a|-|b|； 若a>0、b<0，则a+b=|b|-|a|； （3） 一个数同0相加，仍得这个数。 例1-1.下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 方法总结：本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键 例1-2 .下列说法：①若某数的相反数的绝对值与其绝对值的相反数相等，则此数为零；②若，，则；③一个有理数的绝对值一定大于这个数；④已知，，则的值为2或4．其中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点2 利用有理数加法的法则计算 在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 例2-1．计算（+2）+（-3）其结果是_____． 例2-2．计算：-（-3）+|-5|=_____． 例2-3.有理数，在数轴上对应的位置如图所示，则的值 （填“大于”、“小于”或“等于”）．    方法总结：：利用有理数加法法则，首先判断这两个数是同号两数、异号两数还是同0相加，然后根据相应法则来确定和的符号和绝对值． 知识点3 有理数加法在生活中的应用 读懂题意列出加法算式，利用有理数加法法则进行计算，得出结论。 例3-1 .手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（    ） A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元 例3-2 .筹算是中国古代的计算方法之一，宋代数学家用白色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数，图中算式一表示的是，按照这种算法，算式二表示的算式是_____________． 方法总结：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，其次是要正确理解题目意图，选择正确的方式解答． 例3-3 .在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4，m这9个数中，m代表一个数，你认为m是多少时，能够使这9个数分别填入图中的9个空格内，使每行的3个数、每列3个数、斜对角3个数个数相加均为零． (1)我认为m＝_______． (2)按要求将这9个数填入如图的空格内． 方法总结：连续整数填三阶幻方步骤：（1）把9个数按从左到右顺次填入。（2）周围数字绕中心数字顺时针转一格，（3）把相对的四个角的数字调换。 例3-4 .对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 知识点4 有理数加法的运算律 1.（1）交换律：a+b=b+a； （2）结合律（a+b）+c=a+（b+c）． 2.运用有理数加法的运算律进行运算 加法运算律是通过重新组合的方式简化运算，为了达到简化目的，通常选用 （1） 相反数结合法；互为相反的两个数结合在一起相加； （2） 同分母结合法：同分母的数结合在一起相加； （3） 凑整法:能凑成整数的几个数一起相加； （4） 同号结合法：符号相同的数一起相加； （5） 同形结合法：整数与整数、小数与小数先相加。 例4-1 .小红解题时，将式子（﹣8）＋（﹣3）＋8＋（﹣4）先变成[（﹣8）＋8]＋[（﹣3）＋（﹣4）]再计算结果，则小红运用了（    ） A．加法的交换律 B．加法的交换律和结合律 C．加法的结合律 D．无法判断 例4-2 .计算，比较合适的做法是（　　） A．把第一、三两个加数结合，第二、四两个加数结合 B．把第一、二两个加数结合，第三、四两个加数结合 C．把第一、四两个加数结合，第二、三两个加数结合 D．把第一、二、四这三个加数结合 例4-3 .计算时运算律用得恰当的是（　　） A． B． C． D． 例4-4 .某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下面是一周中每天的生产情况记录表（超过200辆记为正、不足200辆记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +5 -2 -4 +13 -10 +16 -9 （1）根据记录可知前两天共生产 辆自行车； （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产  辆自行车； （3）该厂实行计件工资制，每生产一辆自行车可得80元．若超额完成任务，则超额部分每辆再奖20元；若没有完成计划工作量，则每少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 方法总结：合理地运用有理数的加法运算律可使计算简化．在进行多个有理数相加时，在下列情况下一般可以用加法交换律和加法结合律简化运算：①有些加数相加后可以得到整数时，可以先行相加；②有互为相反数的两数可以互相消去，和为0，可以先行相加；③有许多正数和负数相加时，可以先把符号相同的数相加，即正数和正数相加，负数和负数相加，再把一个正数和一个负数相加． 3、 易错点剖析 易错1 法则搞混 例5-1.计算的正确过程是（　　） A． B． C． D． 易错2 绝对值符号与括号搞混 例5-2 .计算2+│-3│ 易错3 运算律应用符号出错 例5-3.计算： (1) (2) 4、 针对训练 1. 有理数加法的法则 1.若两个有理数的和等于零，则这两个有理数必定（ ） A．相等 B．都是零 C．互为相反数 D．有一个数是零 2.两数相加，其和小于每个加数，那么这两个数一定是（     ） A．同号且为正 B．互为相反数 C．异号 D．同号且为负 2.利用有理数加法的法则计算 1.计算： -1+3=_____； -+=_____； |-9|-5=_____． 2．绝对值大于1而不大于3的所有整数的和是_____． 3．定义一种运算，设[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.25]=2，[-1.5]=-2，据此规定，[-3.73]+[1.4]=_____． 3.有理数加法在生活中的应用 1.某公路养护小组乘车沿南北方向巡视维修，某天早晨他们从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下．(单位：km) ＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8. (1)B地在A地何方，相距多少千米？ (2)若汽车行驶1km耗油aL，求该天耗油多少L? 2.小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（单位：cm） (1) 小虫最后是否回到出发地O？为什么？ (2) 小虫离开O点最远时是多少？ (3) 在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？ 3.如图，方格中的格子填上数，使得每一行、每一列以及两条对角线所填的数字之和均相等，则x的值为　 　． 4.有理数加法运算律 1.计算，所得的结果是(　　) A．－3 B．3 C．－5 D．5 2.计算： (1)31＋(－28)＋28＋69； (2)16＋(－25)＋24＋(－35)； (3)(＋6)＋(－5)＋(4)＋(1＋1)． 3.阅读下面文字： 对于()＋()＋17＋()， 可以按如下方法计算： 原式＝[(-5)+()]＋[(－9)＋()]＋()＋[(-3)+()] ＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋[()＋()＋＋()] ＝0＋() ＝－1. 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036. 4.拆项法计算： 5.某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）. 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 －3 +5 +2 －10 －6 +17 +3 （1）根据记录可知前四天共生产______辆. （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆. （3）该工厂实行计件工资制，生产一辆车给工人50元，超额完成任务每多生产一辆奖10元，少生产一辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 5、 能力提升 提升1 有理数加法的法则 1．如果两个数的和是正数，那么（　　） A. 这两个加数都是正数 B. 一个加数为正数，另一个加数为0 C. 一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值 D. 以上皆有可能 2．若|a|=1，|b|=4，且ab＜0，则a+b的值为（　　） A. ±3 B. -3 C. 3 D. ±5 提升2 利用有理数加法的法则计算 1.计算： （1）（+21）+（-31）； （2）（-3.125）+（+）； （3）（-）+（+）； （4）（-）+0.3． 2.，，且，则的值为______． 提升3.有理数加法在生活中的应用 1.某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定往东为正，往西为负．�某天自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：，，，，，，，，，． (1)问收工时距A地多远？在哪个方向？ (2)若每千米路程耗油m升，问从A地出发到收工共耗油多少升？ 2.学校为了备战校园足球联赛，一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录为：（单位：米）． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)在练习过程中，守门员离开球门线最远的距离是多少米？ (3)守门员全部练习结束后一共跑了多少米？ 3.小明的爸爸买了一种股票，每股10元，如表记录了在一周内该股票的涨跌的情况（用正数记股价比前一日的上涨数，用负数记股价比前一日的下跌数），该股票这五天中的最高价是（　　） 星期 一 二 三 四 五 股票跌涨（元） 0.2 0.35 ﹣0.15 0.2 ﹣0.3 A．10.6元 B．10.55元 C．10.4元 D．10.35元 4. 幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图2是这种特殊的三角形幻方．    （1）若，则A处的数值为 ； （2）①用含m的代数式表示 ； ②x的值为 5.数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 提升4 有理数加法运算律 1．计算：. 2．阅读下题的计算方法： 计算：. 解：原式 . 上面这种解算方法叫做折项法，请按此方法计算：. 3．计算题： （1）. （2）. 4．定义一种新运算“”满足：，，，求. . 5.爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级暑假预习课讲义 第5讲 有理数的加法（解析版） 1、 专题导航 2、 知识点梳理 知识点1 有理数加法的法则 （1）同号两数相加；取相同的符号，并把绝对值相加。 数学表示：若a>0、b>0，则a+b=|a|+|b|； 若a<0、b<0，则a+b=-(|a|+|b|)； （2）异号两数相加，绝对值相等（相反数）时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值。 数学表示：若a>0、b<0，且|a|>|b|则a+b=|a|-|b|； 若a>0、b<0，则a+b=|b|-|a|； （3） 一个数同0相加，仍得这个数。 例1-1.下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 【答案】C 【分析】根据有理数的加法分别分析各个选项，然后得出结论即可． 【详解】解：A选项，两数相加，其和大于任何一个加数，说法错误，例如：两个负数相加，故不符合题意； B选项，异号两数相加，其和小于任何一个加数，说法错误，如果和为正数，就不满足题干要求，故不符合题意； C选项，绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零，说法正确，故符合题意； D选项，两数相加，取绝对值较大一个加数的符号作为结果的符号，原说法错误，故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键． 方法总结：本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键 例1-2 .下列说法：①若某数的相反数的绝对值与其绝对值的相反数相等，则此数为零；②若，，则；③一个有理数的绝对值一定大于这个数；④已知，，则的值为2或4．其中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据绝对值的定义、相反数的定义、有理数的加减等知识逐项判断即可． 【解析】①若某数的相反数的绝对值大于或等于0，它的绝对值的相反数小于或等于0，根据二者相等，可得此数为零，故原说法正确； ②若当，时，有，故原说法不正确； ③0的绝对值等于0，故原说法不正确； ④根据，，可得，，则的值为或或2或4， 则的值为2或4，故原说法正确． 即正确的个数为2个． 故选：． 知识点2 利用有理数加法的法则计算 在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 例2-1．计算（+2）+（-3）其结果是_____． 【答案】-1 【解析】绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，依此即可求解． 解：（+2）+（-3）=-1． 故答案为：-1． 例2-2．计算：-（-3）+|-5|=_____． 【答案】8 【解析】根据有理数的加法法则以及绝对值的定义计算即可． 解：-（-3）+|-5|=3+5=8． 故答案为：8． 例2-3.有理数，在数轴上对应的位置如图所示，则的值 （填“大于”、“小于”或“等于”）．    【答案】小于 【分析】 本题考查数轴，涉及绝对值的性质，以及有理数的加法性质，掌握有理数的加法性质是解题的关键． 根据数轴，利用有理数加法性质比较和的大小． 【详解】 解：由图可得，且，， 根据有理数加法性质，正数加负数，符号取绝对值大的数，数字用较大数的绝对值减去较小数的绝对值． ． 故答案为：小于． 方法总结：：利用有理数加法法则，首先判断这两个数是同号两数、异号两数还是同0相加，然后根据相应法则来确定和的符号和绝对值． 知识点3 有理数加法在生活中的应用 读懂题意列出加法算式，利用有理数加法法则进行计算，得出结论。 例3-1 .手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（    ） A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元 【答案】B 【分析】根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：（元）， 即小颖当天微信收支的最终结果是收入6元． 故选：B． 【点评】本题考查正负数的意义，掌握有理数的加法运算法则是解题关键． 例3-2 .筹算是中国古代的计算方法之一，宋代数学家用白色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数，图中算式一表示的是，按照这种算法，算式二表示的算式是_____________． 【答案】 【分析】运用有理数的加减法法则，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值即可得出． 【详解】解：图中算式二表示的是， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的加减，在做题时要注意，异号两数相加先判断符号，确定符号之后再进行运算． 方法总结：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，其次是要正确理解题目意图，选择正确的方式解答． 例3-3 .在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4，m这9个数中，m代表一个数，你认为m是多少时，能够使这9个数分别填入图中的9个空格内，使每行的3个数、每列3个数、斜对角3个数个数相加均为零． (1)我认为m＝_______． (2)按要求将这9个数填入如图的空格内． 【答案】(1)0 (2)见解析 【详解】（1）﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4，m这9个数的和为0，则， 故答案为：0 （2）填写如下： 方法总结：连续整数填三阶幻方步骤：（1）把9个数按从左到右顺次填入。（2）周围数字绕中心数字顺时针转一格，（3）把相对的四个角的数字调换。 例3-4 .对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 【答案】②③ 【分析】根据新定义逐项进行分析即可． 【详解】解：①∵， ∴， 故①错误； ∵，； ∴， 故②正确； ∵，，， ∴； 故③正确； ，， 只有当时，， ∴该运算满足交换律不成立． 故④错误， 故答案为：②③ 【点睛】此题考查了新定义运算，读懂题意是解题的关键． 知识点4 有理数加法的运算律 1.（1）交换律：a+b=b+a； （2）结合律（a+b）+c=a+（b+c）． 2.运用有理数加法的运算律进行运算 加法运算律是通过重新组合的方式简化运算，为了达到简化目的，通常选用 （1） 相反数结合法；互为相反的两个数结合在一起相加； （2） 同分母结合法：同分母的数结合在一起相加； （3） 凑整法:能凑成整数的几个数一起相加； （4） 同号结合法：符号相同的数一起相加； （5） 同形结合法：整数与整数、小数与小数先相加。 例4-1 .小红解题时，将式子（﹣8）＋（﹣3）＋8＋（﹣4）先变成[（﹣8）＋8]＋[（﹣3）＋（﹣4）]再计算结果，则小红运用了（    ） A．加法的交换律 B．加法的交换律和结合律 C．加法的结合律 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据有理数混合运算律求解即可． 【详解】解：将式子（﹣8）＋（﹣3）＋8＋（﹣4）先变成[（﹣8）＋8]＋[（﹣3）＋（﹣4）]再计算结果，小红运用了加法的交换律和结合律， 故选：B． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算律． 例4-2 .计算，比较合适的做法是（　　） A．把第一、三两个加数结合，第二、四两个加数结合 B．把第一、二两个加数结合，第三、四两个加数结合 C．把第一、四两个加数结合，第二、三两个加数结合 D．把第一、二、四这三个加数结合 【答案】A 【分析】根据凑整法利用加法运算律把一、三两个加数结合，二、四两个加数结合，计算即可． 【详解】解：计算，比较合适的做法是把第一、三两个加数结合，第二、四两个加数结合， 故选A． 【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握加法运算律是解题关键． 例4-3 .计算时运算律用得恰当的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用加法的运算律，将分母相同的数分别结合在一起，然后再进行计算即可． 【详解】解： 故选：A． 【点评】本题考查有理数的加减运算，合理运用运算律是解题的关键． 例4-4 .某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下面是一周中每天的生产情况记录表（超过200辆记为正、不足200辆记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +5 -2 -4 +13 -10 +16 -9 （1）根据记录可知前两天共生产 辆自行车； （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产  辆自行车； （3）该厂实行计件工资制，每生产一辆自行车可得80元．若超额完成任务，则超额部分每辆再奖20元；若没有完成计划工作量，则每少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】（1）403；（2）26；（3）112900元 【分析】（1）计算出前两天超产或减产量，再根据有理数的加法计算即可得解； （2）先计算出产量最多的一天与产量最少的一天，然后用产量最多的减去产量最少的即可； （3）根据题意先算出总产量，判断是超额完成还是没有按照计划量完成，再计算最终的工资总额即可. 【详解】（1）辆， 故根据记录可知前两天共生产403辆自行车； （2）根据题意生产最多的一天是星期六，产量为辆， 产量最少的一天是星期五，产量为辆， 辆， 故产量最多的一天比产量最少的一天多生产26辆自行车； （3）辆， 元， 故该厂工人这一周的工资总额是112900元. 方法总结：合理地运用有理数的加法运算律可使计算简化．在进行多个有理数相加时，在下列情况下一般可以用加法交换律和加法结合律简化运算：①有些加数相加后可以得到整数时，可以先行相加；②有互为相反数的两数可以互相消去，和为0，可以先行相加；③有许多正数和负数相加时，可以先把符号相同的数相加，即正数和正数相加，负数和负数相加，再把一个正数和一个负数相加． 3、 易错点剖析 易错1 法则搞混 例5-1.计算的正确过程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的加法法则：异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，再用大绝对值减去小绝对值即可． 【详解】解：． 故选：D． 【点评】考查了有理数的加法，关键是熟练掌握异号两数相加的计算法则． 易错2 绝对值符号与括号搞混 例5-2 .计算2+│-3│ 【答案】5 易将绝对值符号当括号计算2与-3的和 【详解】解2+│-3│=2+3=5 易错3 运算律应用符号出错 例5-3.计算： (1) (2) 【答案】(1)0 ，(2) 【分析】（1）原式运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案； （2）原式先将化为，再运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案． 【详解】（1） = = = =0； （2） = = = = 【点睛】本题主要考查了有理数加法的运算，熟练掌握有理数加法的计算方法是解题的关键． 4、 针对训练 1. 有理数加法的法则 1.若两个有理数的和等于零，则这两个有理数必定（ ） A．相等 B．都是零 C．互为相反数 D．有一个数是零 【答案】C 【分析】根据有理数的加法运算法则解答即可． 【详解】解：两个有理数之和等于零，那么这两个有理数一定互为相反数，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法，相反数，熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． 2.两数相加，其和小于每个加数，那么这两个数一定是（     ） A．同号且为正 B．互为相反数 C．异号 D．同号且为负 【答案】D 【分析】通过举例说明每一选项正确或错误． 【详解】解：A、同号且为正，例如：，故不符合题意； B、互为相反数相加得0，故不符合题意； C、例如：，故不符合题意； D、如：，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法、相反数，掌握有理数的加法运算法则，符号的确定是解题关键． 2.利用有理数加法的法则计算 1.计算： -1+3=_____； -+=_____； |-9|-5=_____． 【答案】(1)2;(2)-1;(3)4; 【解析】原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果；原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果；原式先计算绝对值运算，再计算减法运算即可得到结果． 解：-1+3=2；-+=-1；|-9|-5=9-5=4， 故答案为：2；-1；4 2．绝对值大于1而不大于3的所有整数的和是_____． 【答案】0 【解析】找出绝对值大于1而不大于3的所有整数，求出之和即可． 解：绝对值大于1而不大于3的所有整数为-2，-3，2，3，之和为0． 故答案为：0． 3．定义一种运算，设[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.25]=2，[-1.5]=-2，据此规定，[-3.73]+[1.4]=_____． 【答案】-3 【解析】根据取整函数的知识，可得[-3.73]=-4，[1.4]=1，再相加即可求解． 解：[-3.73]+[1.4]=-4+1=-3． 故答案为：-3． 3.有理数加法在生活中的应用 1.某公路养护小组乘车沿南北方向巡视维修，某天早晨他们从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下．(单位：km) ＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8. (1)B地在A地何方，相距多少千米？ (2)若汽车行驶1km耗油aL，求该天耗油多少L? 解析：(1)首先把题目的已知数据相加，然后根据结果的正负即可确定B地在A何方，相距多少千米；(2)首先把所给的数据的绝对值相加，然后乘以a即可求解． 解：(1)(＋18)＋(－9)＋(＋7)＋(－14)＋(＋13)＋(－6)＋(－8)＝[(＋18)＋(＋7)＋(＋13)]＋[(－9)＋(－14)＋(－6)＋(－8)]＝38＋(－37)＝1(km) 故B地在A地正北，相距1千米； (2)该天共耗油：(18＋9＋7＋14＋13＋6＋8)a＝75a(L)． 答：该天耗油75aL. 2.小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（单位：cm） (1) 小虫最后是否回到出发地O？为什么？ (2) 小虫离开O点最远时是多少？ (3) 在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？ 【答案与解析】 解：（1）(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10) =(5+10+12)+(－3－8－6－10)=27－27=0 0表示最后小虫又回到了出发点O 答：小虫最后回到了出发地O. （2） (+5)+(－3)＝+2； (+5)+(－3)+(+10)＝+12； (+5)+(－3)+(+10)+(－8)＝+4； (+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)＝－2； (+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)＝+10； (+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)＝0. 因为绝对值最大的是+12，所以小虫离开O点最远时是向右12cm; (3) （cm）, 所以小虫爬行的总路程是54 cm， 由 （粒） 答：小虫一共可以得到54粒芝麻. 3.如图，方格中的格子填上数，使得每一行、每一列以及两条对角线所填的数字之和均相等，则x的值为　 　． 【分析】根据每一行、每一列以及两条对角线中所填的数字之和均相等，可求出方格中间、右下以及右上的数，再由每一行、每一列所填的数字之和相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解析】解：6+1+2﹣1﹣5＝3， 6+1+2﹣6﹣3＝0， 6+1+2﹣0﹣5＝4． 根据题意得：6+1+2＝6+x+4， 解得：x＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了有理数的加法和一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4.有理数加法运算律 1.计算，所得的结果是(　　) A．－3 B．3 C．－5 D．5 【答案】C 【分析】利用加法的运算律计算即可． 【详解】原式=， 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算律是解题的关键． 2.计算： (1)31＋(－28)＋28＋69； (2)16＋(－25)＋24＋(－35)； (3)(＋6)＋(－5)＋(4)＋(1＋1)． 解析：(1)把互为相反数的两数相加；(2)可把符号相同的数相加；(3)可把相加得到整数的数相加． 解：(1)31＋(－28)＋28＋69＝31＋[(－28)＋28]＋69＝31＋0＋69＝100； (2)16＋(－25)＋24＋(－35)＝16＋24＋(－25)＋(－35)＝(16＋24)＋[(－25)＋(－35)]＝40＋(－60)＝－20； (3)(＋6)＋(－5)＋(4)＋(1＋1)＝(6＋4)＋(－5)＋(2)＝11＋(－3)＝8. 3.阅读下面文字： 对于()＋()＋17＋()， 可以按如下方法计算： 原式＝[(-5)+()]＋[(－9)＋()]＋()＋[(-3)+()] ＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋[()＋()＋＋()] ＝0＋() ＝－1. 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036. 【答案】-2. 【详解】解：原式＝[(-2018)+()]＋[(－2017)＋()]＋[(－1)＋(－)]＋4036 ＝[(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036]＋[(－)＋(－)＋(－)] ＝0＋[(－)＋(－)＋(－)] ＝－2. 4.拆项法计算： 【答案】． 【分析】先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得． 【详解】原式， ， ， ． 【点睛】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键． 5.某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）. 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 －3 +5 +2 －10 －6 +17 +3 （1）根据记录可知前四天共生产______辆. （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆. （3）该工厂实行计件工资制，生产一辆车给工人50元，超额完成任务每多生产一辆奖10元，少生产一辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】（1）394；（2）27；（3）35480元 【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案； （2）周六最多，周四最少，根据有理数的减法，可得答案； （3）先计算一周总产量，再根据有理数的乘法，可得工资与奖金，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：（1）100×4+（-3+5+2-10）=394（辆）； （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产17-(-10)=27； 故答案为394，27； （3）一周产是=700+（-3+5+2-10-6+17+3）=708（辆） 708×50+8×10=35480（元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是35480元． 【点评】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算是解题关键． 5、 能力提升 提升1 有理数加法的法则 1．如果两个数的和是正数，那么（　　） A. 这两个加数都是正数 B. 一个加数为正数，另一个加数为0 C. 一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值 D. 以上皆有可能 【答案】D 【解析】根据有理数的计算得出结论即可． 解：如果两个数的和是正数，可能这两个加数都是正数，如1+1=2， 可能一个数为正数，另一个加数为0，如0+2=2， 可能一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值，如-1+3=2， 故选：D． 2．若|a|=1，|b|=4，且ab＜0，则a+b的值为（　　） A. ±3 B. -3 C. 3 D. ±5 【答案】A 【解析】通过ab＜0可得a、b异号，再由|a|=1，|b|=4，可得a=1，b=-4或者a=-1，b=4；就可以得到a+b的值 解：∵|a|=1，|b|=4， ∴a=±1，b=±4， ∵ab＜0， ∴a+b=1-4=-3或a+b=-1+4=3， 故选：A． 提升2 利用有理数加法的法则计算 1.计算： （1）（+21）+（-31）； （2）（-3.125）+（+）； （3）（-）+（+）； （4）（-）+0.3． 【解析】（1）先判断两个加数的绝对值的大小，然后取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （2）互为相反数的两个数的和为0； （3）先判断两个加数的绝对值的大小，然后取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （4）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 解：（1）原式=-（31-21） =-10； （2）原式=-3.125+3.125 =0； （3）原式=+（-） =； （4）原式=-（-0.3） =-3． 2.，，且，则的值为______． 【答案】或/或 【分析】根据绝对值的性质，可求出的值，再根据确定的值，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查绝对值的知识，掌握绝对值的性质，有理数的加减法运算法则是解题的关键． 提升3.有理数加法在生活中的应用 1.某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定往东为正，往西为负．�某天自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：，，，，，，，，，． (1)问收工时距A地多远？在哪个方向？ (2)若每千米路程耗油m升，问从A地出发到收工共耗油多少升？ 【答案】(1)在正东方向，距离A地2千米 (2)升 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）求出运动的总路程，然后根据每千米路程耗油m升，求出从A地出发到收工共耗油量即可． 【详解】（1）解：（千米） 答：收工时在正东方向，距离A地2千米． （2）解：从A地出发到收工行驶的总路程为： （千米）， ∴从A地出发到收工共耗油升． 【点睛】本题主要考查了有理数加法在生活中的应用，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则，准确计算． 2.学校为了备战校园足球联赛，一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录为：（单位：米）． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)在练习过程中，守门员离开球门线最远的距离是多少米？ (3)守门员全部练习结束后一共跑了多少米？ 【答案】(1)是 (2)12米 (3)56 【分析】（1）将所有数据相加，根据和的情况进行判断即可； （2）求出每一次离开球门线的距离，即可得出结果； （3）将所有数据的绝对值进行相加即可得出结论． 【详解】（1）解：， ∴守门员回到了球门线的位置； （2）解：守门员每次离开球门的距离为：7米，米，米，米，米，米，米， ∴离开球门的最远距离为米； 答：守门员离开球门的位置最远是12米； （3）解：（米）， 答：守门员一共跑了56米． 【点评】本题考查正负数的意义，有理数加法的实际应用．理解并掌握正负数的意义，熟练掌握有理数的加法法则，是解题的关键． 3.小明的爸爸买了一种股票，每股10元，如表记录了在一周内该股票的涨跌的情况（用正数记股价比前一日的上涨数，用负数记股价比前一日的下跌数），该股票这五天中的最高价是（　　） 星期 一 二 三 四 五 股票跌涨（元） 0.2 0.35 ﹣0.15 0.2 ﹣0.3 A．10.6元 B．10.55元 C．10.4元 D．10.35元 【分析】根据有理数的加法法则，可得每天的价格，根据有理数的大小比较法则，可得答案． 【解析】解：一10+0.2＝10.2元，二10.2+0.35＝10.55元，三10.55﹣0.15＝10.4元，四10.4+0.2＝10.6元，五10.6﹣0.3＝10.3元， 10.6＞10.55＞10.4＞10.3＞10.2， 最高价格是10.6元， 故选：A． 【点评】本题考查了正数和负数，利用了有理数的加法，有理数的大小比较． 4. 幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图2是这种特殊的三角形幻方．    （1）若，则A处的数值为 ； （2）①用含m的代数式表示 ； ②x的值为 【答案】 1 【分析】（1）由题意得，再将代入，即可得答案； （2）先根据每个三角形三个顶点处的数之和相等求出A、B，即可得到答案． 【详解】（1）由图可知，每个三角形三个顶点处数的和是， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）① ； ② ． 故答案为：①，②． 【点评】本题考查有理数的加法，解题的关键是利用每个三角形三个顶点处的数之和相等解决问题． 5.数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是加法运算的新定义，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据题干运算中的实例总结运算法则即可； （2）利用新定义先计算括号内的运算，再进一步的计算即可； （3）分三种情况归纳交换律，再举例说明即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 归纳（星加）运算的运算法则：两数进行（星加）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行（星加）运算，或任何数和0进行（星加）运算，都等于这个数的绝对值； （2）； （3）当同号时，，， ∴， 当异号时，， ∴， 当有1个为0，或两个都为0也满足， ∴新运算“”具有交换律； 如，． 提升4 有理数加法运算律 1．计算：. 答案： 解析：观察分数，，，，，， . 2．阅读下题的计算方法： 计算：. 解：原式 . 上面这种解算方法叫做折项法，请按此方法计算：. 答案：-1 解析：原式, , , . 3．计算题： （1）. （2）. 答案：（1） （2） 解析：（1）原式 ； （2）原式 . 4．定义一种新运算“”满足：，，，求. 答案： 解析：由，，，可得： . 5.爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查有理数的加法，根据,且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，得出横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都是，设小圈上的数为c，大圈上的数为d，得出，，，，进而分情况得出a的值，然后计算即可. 【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d， ∵，且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴内外两个圈的4个数字之和都是，横、竖的4个数字之和也是， 则，得， ，得， ，， 当时，，， 当时，，， 故答案为：或. 学科网（北京）股份有限公司 $$