精品解析：福建省漳州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

漳州市2023-2024学年（下）期末高中教学质量检测 高二数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 考生注意： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，考生必须将答题卡交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线在原点处的切线斜率为（ ） A. B. 0 C. D. 1 2. 某统计部门对四组数据进行统计，获得如图所示散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 3 已知事件相互独立，且，，那么（ ） A. 0.12 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.75 4. 已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 在一个关于智能助手准确率测试中，有三种不同的模型，，.模型的准确率为0.8，模型的准确率为0.75，模型的准确率为0.7.已知选择模型，，的概率分别为，，.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为（ ） A. 0.56 B. 0.66 C. 0.76 D. 0.86 6. 设函数在附近有定义，且，为常数，则（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式有唯一的整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数，则（ ） A. B. 的增区间为 C. 最大值为1 D. 有两个零点 10. 已知在某次试验中获得数据如下： 2 3 4 10 25 19 15 12 4 与线性相关，且回归方程为，则下列正确的是（ ） A. 与具有负的线性相关关系 B. C. 点落在回归直线下方 D. 估计时的值为 11. 如图，六面体的一个面是边长为2的正方形，，，均垂直于平面，且，，则下列正确的有（ ） A. B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 平面与平面所成角的余弦值为 D. 当时，动点到平面的距离的最小值为1 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点关于平面的对称点坐标为______. 13. 已知，且，则______. 14. 已知关于的不等式恒成立，则的最大值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在一次对外星文明的探索中，科学家发现了一种外星生物，它们具有一种特殊的繁殖方式.科学家记录了这种外星生物在连续8天内的繁殖数量，发现繁殖数量与天数之间存在线性关系. （1）根据记录的数据，得到以下表格： 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 繁殖数量 13 15 18 19 20 20 22 25 请利用最小二乘法求出线性回归方程； （2）科学家从这种外星生物中随机抽取了10个样本进行基因分析，以研究其基因多样性，发现这10个样本中有3个样本具有某种特殊基因.现从这10个样本中随机抽取2个样本进行深入研究，记随机抽取的2个样本中具有某种特殊基因的样本数量为，求的分布列与数学期望. （参考公式与数据：，，，，） 16. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 17. 2024年5月1日，“花样漳州啤酒之夜群星演唱会”在漳州激情开唱，为现场2万名观众带来一场音乐盛宴.现随机抽取200名现场观众，对他们的年龄和是否购买周边产品进行了统计，得到以下数据： 年龄（岁） 购买周边 不购买周边 总计 小于30 40 30及以上 45 80 总计 200 （1）请完成上面列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否购买周边产品有关？ （2）已知现场观众对某首歌曲的喜爱程度得分（单位：分），请估计现场观众对该首歌曲的喜爱程度得分在内的人数约为多少？ （参考公式及表格：，其中. 0.10 0.05 0025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 若，则，，.） 18. 如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为正方形，，，，平面平面. （1）证明：平面； （2）若平面与平面的交线为， （i）作出交线（需要写出必要的作图步骤，保留作图痕迹，无需证明）； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 定义：对于空间向量，，其“导数积”为.已知空间向量，为常数，记. （1）当时，证明：； （2）若为的极大值点，求正实数的取值范围； （3）设，，，且满足，，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 漳州市2023-2024学年（下）期末高中教学质量检测 高二数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 考生注意： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，考生必须将答题卡交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线在原点处的切线斜率为（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义即可求解. 【详解】因，则， 故选：D 2. 某统计部门对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据散点图的集中程度分析相关系数的大小. 【详解】由图可知，从左到右第一幅图、第三幅图是正相关，第二幅图、第四幅图是负相关， 且第一幅图、第二幅图的点相对更加集中，所以更加接近1，更加接近， 所以. 故选：A. 3. 已知事件相互独立，且，，那么（ ） A. 0.12 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.75 【答案】B 【解析】 【分析】利用两事件独立得到，然后用条件概率的定义即可得到结果. 【详解】由于相互独立，故. 而，故. 故选：B. 4. 已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得与不共线，所以由空间向量共面定理可知存在实数，使，然后将坐标代入化简可求出的值. 【详解】因为 所以与不共线， 所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：B 5. 在一个关于智能助手的准确率测试中，有三种不同的模型，，.模型的准确率为0.8，模型的准确率为0.75，模型的准确率为0.7.已知选择模型，，的概率分别为，，.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为（ ） A. 0.56 B. 0.66 C. 0.76 D. 0.86 【答案】C 【解析】 【分析】直接由全概率公式进行计算即可求解. 【详解】由全概率公式可知，所求准确率为. 故选：C. 6. 设函数在附近有定义，且，为常数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知条件化为，然后使用导数的定义即可得到结果. 【详解】在中用替换，知. 所以. 故. 故选：D. 7. 若关于的不等式有唯一的整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】转化为有唯一的整数解，构造函数，利用导数讨论单调性，作出函数图象即可得解. 【详解】不等式有唯一的整数解，等价于有唯一的整数解， 记，则， 当时，；当时，. 所以，在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，取得极大值， 因为，所以，所以，即， 作出函数的图象如图： 因为不等式有唯一的整数解，所以，即. 故选：B 8. 正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律可知，，进一步只需求出即可得解. 【详解】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点， 所以， 则 ， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用球心，将转化为，然后分析点位置即可. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数，则（ ） A. B. 增区间为 C. 最大值为1 D. 有两个零点 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据求导公式判断A；对于B，令，结合定义域求单调增区间；对于C，求出单调性，进而确定最值判断C；对于D，结合单调性和最值判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，因为，所以，故A正确； 对于B，令，解得，故函数的增区间为，故B正确； 对于C，令，解得，故函数的减区间为，结合B选项，所以函数先减后增，有最小值，无最大值，故C错误； 对于D，结合C选项，当时，函数有最小值，最小值为 ，结合单调性，所以无零点，故D错误， 故选：AB. 10. 已知在某次试验中获得数据如下： 2 3 4 10 25 19 15 12 4 与线性相关，且回归方程为，则下列正确的是（ ） A. 与具有负的线性相关关系 B. C. 点落在回归直线下方 D. 估计时的值为 【答案】AD 【解析】 【分析】先求出，再根据经验回归方程的知识求解即可. 【详解】,，故A对； ，经验回归方程经过样本中心点， ，故B错； 把代入经验回归方程得，点落在回归直线上方，故C错； 当时，，故D对. 故选：AD. 11. 如图，六面体的一个面是边长为2的正方形，，，均垂直于平面，且，，则下列正确的有（ ） A. B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 平面与平面所成角余弦值为 D. 当时，动点到平面的距离的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面垂直证明线线垂直判断A，建立空间直角坐标系，利用向量法求线线角判断B，求二面角判断C，利用点面距离判断D. 【详解】对A，由平面，平面，得，又由正方形可得，又平面，所以平面， 由平面，可得，故A正确； 如图，建立空间直角坐标系， 则， 设是平面的法向量，， 由，令，可得， ， ，解得，即， 对B，，，故B错误； 对C，平面的法向量，平面的法向量， 则，故C正确； 对D，由知，在以为球心，半径为1的球面上，， 球心到平面的距离， 到平面的距离的最小值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点关于平面的对称点坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据空间直角坐标系的性质求得结果. 【详解】求一个点关于平面的对称点坐标，就是将轴的分量取相反数，而轴和轴的分量不变. 故点关于平面的对称点坐标就是. 故答案为：. 13. 已知，且，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】由二项分布的期望公式求出，再根据线性关系公式求出. 【详解】，则有， 由，则. 故答案为：5 14. 已知关于的不等式恒成立，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，以及两条曲线在处的的导数值和函数值相等即可求解. 【详解】当时，， 令，则， 所以 当即时，与在处相切，且，满足题意，所以， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题关键在于通过寻找相同导数建立方程求. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在一次对外星文明的探索中，科学家发现了一种外星生物，它们具有一种特殊的繁殖方式.科学家记录了这种外星生物在连续8天内的繁殖数量，发现繁殖数量与天数之间存在线性关系. （1）根据记录的数据，得到以下表格： 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 繁殖数量 13 15 18 19 20 20 22 25 请利用最小二乘法求出线性回归方程； （2）科学家从这种外星生物中随机抽取了10个样本进行基因分析，以研究其基因多样性，发现这10个样本中有3个样本具有某种特殊基因.现从这10个样本中随机抽取2个样本进行深入研究，记随机抽取的2个样本中具有某种特殊基因的样本数量为，求的分布列与数学期望. （参考公式与数据：，，，，） 【答案】（1）； （2）分布列见解析，数学期望. 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据公式结合已知数据求出，从而可求出线性回归方程； （2）由题意得，的可能取值为，，，求出相应概率，从而可求得的分布列与数学期望. 【小问1详解】 ，， ， ， 所以，线性回归方程为. 【小问2详解】 依题意，随机变量服从超几何分布，的可能取值为，，. ，，， 的分布列为 0 1 2 的数学期望为. 16. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1），； （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由已知得到，，进而得到方程组，解之即可； （2）由（1）可知，然后对，利用导数得出函数单调性，结合端点值比较大小即可得解. 【小问1详解】 由，知. 而在处取得极值，故，. 故有方程组，即. 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，，故，. ， 当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 而直接计算知，，， 故在上的最大值为，最小值为. 17. 2024年5月1日，“花样漳州啤酒之夜群星演唱会”在漳州激情开唱，为现场2万名观众带来一场音乐盛宴.现随机抽取200名现场观众，对他们的年龄和是否购买周边产品进行了统计，得到以下数据： 年龄（岁） 购买周边 不购买周边 总计 小于30 40 30及以上 45 80 总计 200 （1）请完成上面列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否购买周边产品有关？ （2）已知现场观众对某首歌曲的喜爱程度得分（单位：分），请估计现场观众对该首歌曲的喜爱程度得分在内的人数约为多少？ （参考公式及表格：，其中. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 若，则，，.） 【答案】（1）列联表见解析，没有的把握； （2）16372. 【解析】 【分析】（1）求解卡方，与临界值比较即可求解， （2）根据正态分布的对称性，即可求解概率得解. 【小问1详解】 列联表如下： 年龄（岁） 购买周边 不购买周边 总计 小于30 80 40 120 30及以上 45 35 80 总计 125 75 200 假设年龄与是否购买周边产品无关， 因为，所以没有的把握认为年龄与是否购买周边产品有关. 【小问2详解】 依题意正态分布的均值，标准差， 人， 现场观众对该首歌曲的喜爱程度得分在内的人数约为16372. 18. 如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为正方形，，，，平面平面. （1）证明：平面； （2）若平面与平面的交线为， （i）作出交线（需要写出必要的作图步骤，保留作图痕迹，无需证明）； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）答案见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，得到线线平行，由线面平行判定定理得证； （2）（i）延长和交于一点，连接得到平面交线（ii）证明，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦. 【小问1详解】 如图， 在上取点，使，连接，， 因为，所以， 所以，且， 又在正方形中，， 所以，， 又在三棱台中，， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 （i）延长和交于一点，连接，如图， 则直线即为平面与平面的交线. （ii）由平面平面，平面平面，， 平面， 所以平面，又，所以，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，，， ， 又因为，，所以在中，， 所以， ， 取直线的方向向量为， 设平面的法向量为， 由得，取， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 定义：对于空间向量，，其“导数积”为.已知空间向量，为常数，记. （1）当时，证明：； （2）若为的极大值点，求正实数的取值范围； （3）设，，，且满足，，证明：. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）当时，根据导数积的定义求出，根据导数确定单调性和最值，进而证明； （2）依题意，得在单调递减，在单调递增，分别在，，验证即可； （3）依题意，在上不单调，变形构造函数证明. 小问1详解】 依题意，， 即， 当时，，， 当时，；当时，， 因此，在上单调递减，在上单调递增， 故，得证. 【小问2详解】 当时，，设，， 令，解得，因为在上单调递增，于是， 当时，；当时，， 故在单调递减，在单调递增， 即在单调递减，在单调递增， ①当时，，注意到及在单调递减， 则当时，；当时，， 故在单调递增，在单调递减， 为的极大值点，符合题意； ②当时，，由（1）知，， 在上单调递增，无极值点，不合题意，舍去； ③当时，，注意到及在单调递增， 当时，；当时，， 故在单调递减，在单调递增， 为的极小值点，不合题意，舍去. 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 依题意，在上不单调，由（2）知，且，此时， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增，从而有， 要证，只需证， 由于在单调递减，且，， 故只需证，即证， 设，， ，设，则，， 当时，有，又因为在上单调递增， 于是有，即， 从而在上递增，即在上递增， 于是有，从而在上递增， 于是有，式得证，故原不等式成立. 【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性，极值（最值）最有效的工具，对导数的考查主要从以下几个方面：(1)考查导数的几何意义，求切线方程，(2)利用导数求解函数的单调区间，判断单调性，已知函数的单调性求解参数的范围，(3)用导数求解函数的最最值以及极值，恒成立问题，构造函数求解零点以及最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$