专题1.18 勾股定理（全章挑战常考综合（压轴）题分类专题）（专项练习）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.18 勾股定理（全章挑战常考综合（压轴）题分类专题） （专项练习） 【题型目录】 第一部分【综合类】 【题型1】勾股数的规律探索（3个题） 【题型2】全等三角形与勾股定理综合（3个题） 【题型3】勾股定理的验证（3个题） 【题型4】勾股定理与折叠问题（3个题） 【题型5】勾股定理几何动点问题（3个题） 【题型6】勾股定理与逆定理综合（3个题） 【题型7】勾股定理的应用（3个题） 第二部分【压轴类】 【题型1】勾股定理与三角形（3个题） 【题型2】勾股定理与矩形（3个题） 【题型3】勾股定理与几何动点问题（3个题） 第一部分【综合类】 【题型1】勾股数的规律探索（3个题） 1．（2024·河北沧州·一模）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数． （1）若a，b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a，b，c为勾股数，且，n为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的b值． （2）当n是大于1的整数时，判断2n， 是否是勾股数，并说明理由． 2．（23-24七年级上·山东淄博·期中）（1）大家知道等都是勾股数，有人说它们中好像一定有一个是偶数，你认为他的观点正确吗？说明你的理由； （2）除此之外，你还能发现具有哪些规律？至少写出一条． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）寻求某些股数的规律 （1）对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：，若把它扩大2倍，3倍就分别是和，····若把它扩大11 倍，就得到________，若把它扩大若把它扩大n倍（n 为正整数），就得到_________ （2）对于任意一个大于1的奇数，存在下列勾股数： 若勾股数为3，4，5，因为 若勾股数为 5，12，13，则有 ①若勾股数为7，24，25，则有__________ ②若勾股数为 17，，根据以上的规律，求a、b的值． 【题型2】全等三角形与勾股定理综合（3个题） 4．（2024·山东济宁·一模）如图，平分，，，垂足分别为B，D.   （1）求证：； （2）连接，若，，求四边形的面积以及线段的长度. 5．（2024·四川南充·三模）如图，中，，，于，于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 6．（23-24八年级下·北京海淀·期中）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得．   （1）试说明：； （2）求的长． 【题型3】勾股定理的验证（3个题） 7．（23-24八年级下·江西赣州·期中）课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理，请证明：． 类比迁移（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，求空白部分的面积． 8．（23-24八年级下·山东滨州·期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： （1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理． （2）如图2，在中，是边上的高，，求的长度； （3）如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长． 9．（23-24八年级下·广西南宁·期中）勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，有资料表明关于勾股定理的证明方法已有500余种．下面给出几种证明勾股定理的图形，请你根据图形及提示证明勾股定理（备注：图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形） （1）毕达哥拉斯的证法（图1）：（补充完整以下证明过程） 证明：正方形①的面积________． 正方形②的面积________． 又正方形①与正方形②的边长相等 ________________ （2）请你写出弦图（图2）的另一种证法： 【题型4】勾股定理与折叠问题（3个题） 10．（23-24八年级下·甘肃白银·期末）如图，在长方形中，是的中点，将沿翻折得到，交于点，延长，相交于点，若，，求的长． 11．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． （1）求证：长方形各内角均为； （2）若，，求的长． 12．（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形中，． （1）若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； （2）如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 【题型5】勾股定理几何动点问题（3个题） 13．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）如图，是边长为2的等边三角形，点C为下方的一动点，．   （1）若，求的长； （2）求点C到的最大距离； （3）当线段的长度最大时，求四边形的面积． 14．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）求边的长； （2）当为直角三角形时，求的值． 15．（23-24八年级下·宁夏中卫·阶段练习）长方形纸片中，，，点是边上一动点，以为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，求的长． 【题型6】勾股定理与逆定理综合（3个题） 16．（23-24八年级上·广东河源·期末）如图，为上一点，，，，，交于点，且． （1）判断线段，，的数量关系，并说明理由； （2）连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理． 17．（23-24八年级上·河南南阳·期末）小明家有一块四边形地（如图），已知其周长为，其中，，且．请帮小明计算一下这块地的面积． 18．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，四边形，，，A是边DE上一点，过点C作交延长线于点B． （1）求证：； （2）设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理． 【题型7】勾股定理的应用（3个题） 19．（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距1000米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为600米，与B地的距离为800米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C 周围半径520米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 20．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）． （1）求水池的深度； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 21．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，沿海城市测得台风中心在东南方向的处，该台风中心始终以的速度沿北偏西的方向移动． （1）填空：，； （2）当台风中心移动到市正东方向的处时，求、之间的距离？（结果保留根号） （3）距台风中心的圆形区域包括边界都属台风影响区，求市受台风影响的时长？ 第二部分【压轴类】 【题型1】勾股定理与三角形（3个题） 22．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，过边长为6的等边的顶点A作直线，点D在直线l上（不与点A重合），作射线，将射线绕点B顺时针旋转后交直线于点E． （1）如图1，点D在点A的左侧，点E在边上，求证：． （2）如图2，点D在点A的右侧，点E在边的延长线上，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明：若不成立，写出你的结论，再证明． （3）如图3，点E在边的反向延长线上，若，请直接写出线段的长． 23．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在中，，；中，，． （1）如图，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，请在图中找出一对全等三角形，并说明理由； （2）如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想线段、、的数量关系，并说明理由； （3）如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为 ． 24．（2024·江苏徐州·一模）如图，在中，以为边向外作等边，以为边向外作等边，连接、．求证：． 【知识应用】如图，四边形中，、是对角线，是等腰直角三角形，，，，求的长． 【拓展提升】如图，四边形中，，，，则________． 【题型2】勾股定理与矩形（3个题） 25．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图，长方形中，，，点P在边上（不含端点B，C），直线与的延长线交于点E． （1）当点P是的中点时， 的长为 ， 的长为 ； （2）将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①在（1）的条件下，求出的长；（小陈不完整的求解过程如下，请你帮他补充完整．） （只需在答题卡对应区域写出剩余求解过程） ②连接，求周长的最小值． 26．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，长方形中，，，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，设点P运动的时间为t（秒）． (1)　　　　．（用含t的代数式表示） （2）连接、，当是以为腰的等腰三角形时，求t的值． （3）作射线．另有一动点Q从点C出发以每秒m个单位的速度沿射线运动，当点P停止时，点Q也随之停止运动，点P与点Q同时开始运动．若以点P、Q、C或P、Q、A为顶点的三角形与全等，请直接写出m与对应t的值． 27．（2023·吉林白城·模拟预测）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图①，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． 【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． 【拓展迁移】如图②，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①猜想：以、、为边的三角形的形状是________； ②当时，直接写出正方形的面积． 【题型3】勾股定理与几何动点问题（3个题） 28．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）【问题呈现】“一直线三等角”，是几何证明的常见模型． （1）如图1，和均为等边三角形，点D为边上一个动点，，点O为边中点，连接，写出图中全等的三角形______．线段的最小值______． 【问题探索】 （2）是等腰直角三角形，，点E是上一点，，交于D． ①如图①试探究数量关系，并给予证明； ②如图②，若，点F是的中点，求的长． 【灵活运用】 （3）如图3，四边形中，对角线相交于点E，，，求四边形的面积． 29．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： （1）猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； （2）如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其他条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 30．（2017·陕西西安·模拟预测）【问题探究】 (1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点，请在AB上找一点F，使EF=AE，并说明理由； （2）如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值； 【问题解决】 （3）如图③，A、B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置，并求出AM的长．（结果保留根号）    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)5 (2)是勾股数，理由见解析 【分析】本题考查了勾股数的定义，完全平方公式，算术平方根的求解，准确理解勾股数的定义，是解答本题的关键． （1）根据勾股数的定义得到，结合都为正整数，求出最小b值即可； （2）分别表示出2n， 的平方，得到即可做出判断． 【详解】（1）解：a，b，c为勾股数，c为斜边长， ， ， ， ，， 都为正整数， 当时，， 最小的b值为5； （2），，， ， 2n， 是勾股数． 2．（1）观点正确，理由见解析；（2）（当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数为奇数）；（当勾股数组中有两个连续的奇数或偶数时，另外一个数的平方必是4的倍数） 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，及平方差公式． （1）根据勾股定理和平方差公式即可求解； （2）根据勾股定理及平方差公式解答即可． 【详解】解：（1）观点正确，理由如下： 若是一组勾股数，则有，所以有， 利用平方差公式，可得， 若为偶数时，观点显然正确；若为奇数，则均为奇数，则和中必有一个偶数， 所以中必定有一个偶数． （2）（当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数为奇数）， （当勾股数组中有两个连续的奇数或偶数时，另外一个数的平方必是4的倍数）． 3．(1)， (2)①；②， 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，勾股数问题，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）先分别求出3，4，5分别扩大11倍和扩大n倍后的数，再根据勾股数的定义可得答案； （2）①仿照题意可得答案；②根据题意找到规律，（m、n都为正整数），则，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵3，4，5分别扩大11倍得到， ∴， 3，4，5分别扩大11倍得到， ∴， 故答案为：，； （2）解：①由题意得， ， 故答案为：； ②，， ，， ，， ……， 以此类推，，（m、n都为正整数）， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握它们是解题的关键． （1）由角平分线的定义和垂直的定义求出，，结合已知条件，利用“”即可求证； （2）由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式求出，再根据四边形的面积，然后根据勾股定理得到，然后根据，求解即可． 【详解】（1）证明：∵ 平分 ， ， ， 在和中， ， ， ∴， （2）解：∵ ， ， 又∵， 平分 ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴．    5．(1)见解析 (2)13 【分析】本题考查了垂直的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键； （1）根据条件可以得出，进而得出； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：，， ， ． ， ． 在和中， ， ； （2）解：， ，， ，， ， ． 6．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）根据垂线性质得到，根据同角的余角相等得到，即可证明，从而得到结论； （2）根据勾股定理求出的长，由（1）可知，利用求出结果即可． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ， 在与中， ， ， ； （2）在中，， ， ． 7．（1）见解析（2）13 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式； （1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； （2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案． 【详解】（1）证明：如图1，∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为． ∴， ∴； （2）解：如图2，则空白部分的面积＝边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积. 8．(1)见解析； (2) (3)3 【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证； （2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到； （3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和， ；；； ，即； （2）解：在中，，， ∴由勾股定理可得， 是边上的高， 由等面积法可得， ，， ∴； （3）解：由已知可得：，即， ， 小正方形的边长为． 【点拨】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键． 9．(1)；；； (2)证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，根据题意找到等量关系是解题的关键． （1）根据面积列式即可； （2）根据大正方形的面积4个三角形的面积小正方形的面积列式即可． 【详解】（1）证明：∵正方形①的面积， 正方形②的面积， 又∵正方形①与正方形②的边长相等， ∴， ∴； （2）证明：由图可知大正方形的面积4个三角形的面积小正方形的面积， ∴ ∴ 10． 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，连结，由E是的中点，可证明，即知，设，在中，可得，即可解得答案． 【详解】解：如图，连接， 由折叠得，， 是的中点， ， ∴ 在长方形中，， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， 的长为． 11．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠问题，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）由折叠的性质知，，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）勾股定理求得，由（）知，根据得出，即可求解． 【详解】（1）证明：由折叠的性质知，，． 四边形是长方形， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是长方形， ，， ， 由（）知， ， ， ， ∴． 12．(1)5 (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理： （1）设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，． 在中，． 则． 在中，， 即． 解得． 即； （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，，． 在中 ． 则． 在中 ，即 解得． 即． ②如图所示，当点在线段的延长线上时． 根据图形折叠的性质可知． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中 ． ∴． 综上所述，或． 13．(1) (2)点到的距离最大为 (3) 【分析】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是熟知等边三角形的性质. （1）根据含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出， 故可得到的长； （2）取的中点，连接，根据直角三角形的性质得到再得到当时， 点到的距离最大为； （3）由（2）可知， 当时线段的长度最大，再求出此时的长，故可求解. 【详解】（1）∵是等边三角形， 又 ， ， ， ， ， ∴的长为； （2）取的中点， 连接，    ， 又点为下方的一动点， ∴当时，点到的距离最大为； （3）连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ， 根据三角形三边关系， 即共线时， 最大， ∴的最大长度为， 此时， 四边形的面积为) ， ∴四边形的面积为：． 14．(1) (2)4或 【分析】本题主要考查了勾股定理： （1）利用勾股定理求解即可得； （2）先求出cm，再分①当，②当两种情况，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：在中，，， ∴由勾股定理得； （2）解：由题意知． ①当时，如图，点P与点C重合，， ∴； ②当时，如图2，，． 在中，， 在中，， ∴， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为或． 15．或 【分析】本题考查折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了长方形的性质，以及勾股定理，解题的关键熟练掌握以上知识点的应用及分类讨论思想． 【详解】解：如图，当共线时，， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即：，解得：， 如图，当落在上时，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 综上可知：的长为或， 故答案为：或． 16．(1)．理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，求四边形的面积，勾股定理的证明， （1）根据证明，可得答案； （2）根据，可得答案． 【详解】（1）解：． 理由如下： 如图， ，， ． 又， ． ，， ． 在和中， ， ． ，． 又， ． （2）， ， ， ． 17．这块地的面积是． 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．连接，根据勾股定理先求出，再利用周长求出，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形即可解答． 【详解】解：连接， ，， 在中，根据勾股定理，得 ， 四边形的周长为， ， ， 在中，， ， ， 为直角三角形， ， 答：这块地的面积是． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定和性质，准确识图，找出面积相等的图形是解决问题的关键． （1）先证和全等得，然后根据可得出结论； （2）由（1）可知，则，，，进而得四边形的面积正方形的面积，即，而，，，据此勾股定理得以证明． 【详解】（1） 证明：如图所示： ，， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 又， ． （2） 证明：由（1）可知：， ，，， 四边形的面积正方形的面积， ， 即， ， ，， 即， 整理得：． 19．(1)山地C距离公路的垂直距离为米 (2)需要封锁的公路长为400米 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，过点C作于点D，再由三角形面积求出的长即可； （2）过C作于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交于点E、F，连接，，根据480米米可以判断有危险，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． 【详解】（1）解：由题意可知，米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，且， 如图1，过点C作于点D， （米） 答：山地C距离公路的垂直距离为米． （2）公路有危险需要暂时封锁，理由如下： 如图2，过C作于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交于点E、F，连接，， 则米，， 由（1）可知，米， ∵480米米， ∴有危险需要暂时封锁， 在中，由勾股定理得： （米） ∴（米）， 即需要封锁的公路长为400米． 20．(1)12尺 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 21．(1)；； (2)、之间的距离为 (3)市受台风影响的时长为 【分析】本题考查勾股定理解直角三角形的应用，方位角的应用； （1）根据题意，即可得到答案； （2）过作于，设，用表示，，再根据列方程，即可求出从而解决问题； （3）过作于，设台风中心移动到点处时，城市开始受影响；移动到点处时，城市正好结束影响，即在中，求出，从而得到，进一步求出市受台风影响的时长． 【详解】（1）解：由题意知，． 故答案为：，； （2）如图，过作于， 由题可得，，， 在中，， 设 ， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， 答：、之间的距离为； （3）如图，过作于， 在中，， ∴km， 设台风中心移动到点处时，城市开始受影响； 移动到点处时，城市正好结束影响，即． 于点， ， 在中， ， ， 答：市受台风影响的时长为． 22．(1)见解析 (2)不成立，,证明见解析 (3) 【分析】(1)根据等边三角形的性质和平行线的性质，得出,, 则, 再得出, 则有, 由,即可得证； （2）根据等边三角形的性质和平行线的性质，得出, 由旋转的性质, 从而证明, 得出, 根据, 即可得证; （3）过作于，根据等边三角形的性质和平行线的性质，得出, 再根据, 从而证明,得出, 由, 得出, 根据勾股定理求得, 再算得, 得为等腰直角三角形，则，即可求出的值. 【详解】（1）证明: 等边三角形， ∴ ， ∵直线 ， ， ， 在和中, ， ∴, ∴, ∴； （2）不成立，,理由如下： ∵直线, ∴, ∴， 又 在和中, ， ， ∴， ； （3）如图所示,过作于, ∵直线 ， 又 ， 在和中, ， ， ∴， ， ， ，， ∴为等腰直角三角形， ， ∴. 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，解题关键是熟练运用以上性质进行求证. 23．(1)，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）利用、互余，、互余可推得，再根据“角角边”即可证明； （2）由、互余，、互余推得，再根据“角角边”即可证明，再根据全等三角形的性质即可推得、、的数量关系； （3）作延长线交于点，同理证明后，求得垂线的长度，根据即可得解． 【详解】（1）解：，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ． （2）解：猜想，证明如下： ， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ． （3）解：作延长线交于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 中，， ， ， ， ． 故答案为． 【点拨】本题考查的知识点是全等三角形的性质与判定、勾股定理，解题关键是熟练掌握一线三等角模型的全等判定方法． 24．证明见解析；； 【分析】（1）要证，由于，是等边三角形，故，，只需要再证明夹角即可． （2）要求的长，根据已知条件以及第一问的启示，需要构造三角形，过点C作且，连接，．证明，可将的长转化为在中求的长，利用勾股定理即可解决． （3）根据前两问的启示，已知，因此需要同样构造三角形，将角和并在一起构造直角三角形．作，且，连接，然后利用三角形全等，以及角度的等量替换即可解决问题． 【详解】（1）证明：，是等边三角形， ，，， ， ． （2）解：过点C作且，连接，，则，. 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在中， ． ． 为直角三角形，在中 , ， ， （3）解：作，且，连接，如图所示， ， ， ， ， ，， ，且，, ， ， ， 在，又， 为等腰直角三角形，， 设，由于，则， ，， 又， ， ． 【点拨】本题综合考查了三角形的全等，勾股定理，根据图中已知条件，尤其已知条件中直角的信息，构造适当的三角形，掌握转化和化归思想是解决问题的关键． 25．(1)，3 (2)①；②6 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据，可得，，利用即可证明，得到； （2）①设，则，，在中，由勾股定理得，即； ②可得的周长，当点恰好位于对角线上时，最小，在中，由勾股定理得，则的最小值，即可得周长的最小值． 【详解】（1）∵当点P是的中点时， ∴， ∴ ， ，， 点是的中点， ， ∴， ∴， 故答案为：；． （2）①由折叠得，，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， 即； ②由折叠得，， 的周长， 连接，， 由两点之间线段最短可知， 当点恰好位于对角线上时，最小． 连接，在中，， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键． 26．(1) (2)当是以为腰的等腰三角形时，或 (3)以点P、Q、C或P、Q、A为顶点的三角形与全等，则，或，或， 【分析】（1）根据点P运动时间，的长表示出的长即可； （2）分两种情况讨论，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； （3）分三种情况讨论：当以点P、Q、C为顶点的三角形与全等，，时，或，时，当以点P、Q、A为顶点的三角形与全等时，此时只能以Q为直角顶点，即，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动， ∴； 故答案为：． （2）解：∵长方形中，，， 当，如图所示： 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：； 当时，如图所示： 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：； 综上分析可知，当是以为腰的等腰三角形时，或； （3）解：当以点P、Q、C为顶点的三角形与全等时，由，则由“”可知，，或，； 当，时，如图所示： 则，，， ∴，， 解得：，； 当，时，如图所示： 则，，， ∴，， 解得：，； 当以点P、Q、A为顶点的三角形与全等时，此时只能以Q为直角顶点，即，如图所示： 则，， 解得：，； 综上分析可知，以点P、Q、C或P、Q、A为顶点的三角形与全等，则，或，或，． 【点拨】本题主要考查了三角形全等的综合应用，列代数式，一元一次方程的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，注意分类讨论． 27．探究发现：详见解析；拓展迁移：①直角三角形；② 【分析】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识； 【探究发现】如图1，连接，根据等边三角形的性质证明，得，，进而可以得到以、、为边的三角形是钝角三角形； 【拓展迁移】①连接，，得，，再证，得是直角三角形，即可得出结论； ②由勾股定理得，则，再由正方形的性质和勾股定理得，即可得出结论． 【详解】探究发现：证明：如图1，连接， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ， 为钝角三角形， 以、、为边的三角形是钝角三角形； 拓展迁移：①以、、为边的三角形是直角三角形，理由如下： 如图2，连接， 四边形和四边形都是正方形， ，，，， ， ， ， ，， ， 是直角三角形， 即以、、为边的三角形是直角三角形； 故答案为：直角三角形； ②由①可知，，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 正方形的面积为11.5． 28．（1），；（2）①，证明见解析；②；（3）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等： （1）连接，证明，得到，则，可得点E在射线上运动，故当时，有最小值，此时，据此求解即可； （2）①如图所示，过点C作交延长线与F，连接，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，，得到，则，由勾股定理即可得到；②如图所示，过点C作于G，则，进而得到，再求出，由勾股定理得； （3）如图所示，在延长线上截取，连接，过点A作于H证明，得到，在中，，则，可得，，再由即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E在射线上运动， ∴当时，有最小值， ∴此时， ∵点O为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （2）①，证明如下： 如图所示，过点C作交延长线与F，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得， 在中， 由勾股定理得， ∴； ②如图所示，过点C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； （3）如图所示，在延长线上截取，连接，过点A作于H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 29．(1) (2)不变，，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，在中，有，即； （2）作，且截取，连接，连接，先证明，再证明，则，在 中，，即． 【详解】（1）解：， ∵中，， ∴， 将沿折叠，得，连接 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，有，即． （2）解：结论不变， 作，且截取，连接，连接， ∵ ， ∴，， 又， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 在 中，，即． 30．（1）详见解析；（2）；（3）AM=(480−)km． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠BAD=30°，得出EF=AE； （2）根据题意得出C，M，N在一条直线上时，此时AM+MC最小，进而求出即可； （3）作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的一侧作∠CAN=30°，作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求，在Rt△ABD中，求出AD的长，在Rt△MBD中，得出MD的长，即可得出答案． 【详解】解：(1)如图①，作EF⊥AB，垂足为点F，点F即为所求。    理由如下：∵点E是正△ABC高AD上的一定点， ∴∠BAD=30∘， ∵EF⊥AB， ∴EF=AE； (2)如图②,作CN⊥AB,垂足为点N,交AD于点M,此时AM+MC最小，最小为CN的长。 ∵△ABC是边长为2的正△ABC， ∴CN=BCsin60∘=2×= ∴MN+CM=12AM+MC= 即AM+MC的最小值为 (3)如图③,作BD⊥AC,垂足为点D,在AC异于点B的一侧作∠CAN=30 作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求。 在Rt△ABD中,AD=(km) 在Rt△MBD中,∠MBD=∠MAF=30∘,得MD=BDtan30∘=(km)， 所以AM=(480−)km． 【点拨】此题主要考查了正三角形的性质以及锐角三角函数关系和勾股定理等知识，利用特殊角的三角函数关系得出是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$