专题1.17 勾股定理（全章常考核心知识点分类专题）（培优练）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.17 勾股定理（全章常考核心知识点分类专题）（培优练） 考点目录： 【考点1】勾股数； 【考点2】求直角三角形的第三边或线段和（分类讨论）； 【考点3】勾股定理与等面积法求线段长； 【考点4】直角三角形边长有关的面积问题（勾股树）； 【考点5】用勾股定理解决网格问题； 【考点6】勾股定理与折叠问题； 【考点7】勾股定理解决平方和或平方关系； 【考点8】勾股定理的验证； 【考点9】勾股定理与弦图问题； 【考点10】用勾股定理解决最值问题； 【考点11】运用勾股定理表示数轴上的点； 【考点12】运用勾股定理构造直角三角形解决问题. 1、 选择题 【考点1】勾股数； 1．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期末）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，1， B．，， C．9，12，15 D．1.5，2，2.5 2．（2023八年级上·全国·专题练习）如果正整数满足等式，那么正整数叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（　　）    A．67 B．34 C．98 D．73 【考点2】求直角三角形的第三边（分类讨论）； 3．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三边长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．4或 4．（2024·河北沧州·二模）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为直角三角形时，对角线的长为（    ）    A． B．3 C．5 D．或5 【考点3】勾股定理与等面积法求线段长； 5．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，中，，，，在上取一点M（不与点重合），连接，当的长度为整数值时，符合条件的值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（19-20八年级上·重庆·期中）如图，在中，，于，已知，的周长为，则的长为（  ） A． B． C． D． 【考点4】直角三角形边长有关的面积问题（勾股树）； 7．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 8．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，于点．分别以为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为，那么最小的正方形面积为（） A．5 B．6 C．7 D． 【考点5】用勾股定理解决网格问题； 9．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在的正方形网格中标出了和，则（    ）    A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，为了庆祝祖国70周年大庆，某彩灯工厂设计了一款彩灯，平面上，不同颜色的彩色线段从点发出，恰好依次落到边长为1的小正方形格点上，形成美丽的灯光效果，烘托了快乐的节日氛围．照此规律，的长度为（为正整数）（    ） A． B． C． D． 【考点6】勾股定理与折叠问题； 11．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，把一张长方形纸片按所示方法进行两次折叠，得到．若，则的长度为（    ） A． B． C． D．2 12．（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点与原点重合，点分别在轴和轴上，点，连接，并将沿翻折至长方形所在平面，点的对称点为点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【考点7】勾股定理解决平方和或平方关系； 13．（18-19八年级下·河北石家庄·阶段练习）若直角三角形的一条直角边和斜边的比为，另一条直角边长为，则直角三角形的斜边长为（    ） A．3 B．6 C． D． 14．（19-20八年级上·江苏南通·期末）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为和，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形.若这两个三角形都是等腰三角形，则（  ） A． B． C． D． 【考点8】勾股定理的验证； 15．（2024·山西太原·模拟预测）赵爽是我国东汉末至三国时代的一位数学家，其在为《周髀算经》作注时，解释了《周髀算经》中的勾股定理，并给出了证明（参照如图）：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”这种证明方法所体现的数学思想是（    ） A．转化思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．函数思想 16．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）国是较早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在西周 由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【考点9】勾股定理与弦图问题； 17．（23-24八年级下·广西来宾·期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（    ） A．64 B．81 C．169 D．225 18．（23-24八年级下·北京门头沟·期末）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边， 下列四个推断：①；②；③；④． 其中所有正确推断的序号是（    ）． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【考点10】用勾股定理解决最值问题； 19．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（    ） A．160 B．150 C．140 D．130 20．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（    ）    A．5cm B．4cm C．cm D．15cm 【考点11】运用勾股定理表示数轴上的点； 21．（23-24八年级上·广东佛山·期中）如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，以过原点的对角线为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A为（    ） A． B． C． D． 22．（22-23八年级下·河北唐山·期中）如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2，，若以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【考点12】运用勾股定理构造直角三角形解决问题, 23．（23-24八年级上·山东青岛·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C．6 D． 24．（20-21八年级下·山东临沂·期中）如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（ ） A．15cm B．16cm C．17cm D．18cm 2、 填空题 【考点1】勾股数； 25．（23-24八年级下·云南怒江·阶段练习）观察以下几组勾股数，并寻找规律：①，，；②，，；③，，；④，，…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数为 ． 26．（2023·陕西西安·二模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，观察下列各组勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；，我们发现，当一组勾股数的勾为（，m为正整数）时，它的股、经分别为和．若一组勾股数的勾为26，则经为 ． 【考点2】求直角三角形的第三边（分类讨论）； 27．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）有一直角三角形，其两边分别为12和16，则三角形的第三边是 ． 28．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期中）在中，，，边上的高的长为4，则边的长为 ． 【考点3】勾股定理与等面积法求线段长； 29．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，在中，若，，，则点C到直线的距离为 ． 30．（23-24八年级下·北京·期中）如图，中，，，，，则 ， ． 【考点4】直角三角形边长有关的面积问题（勾股树）； 31．（23-24八年级下·广西防城港·期中）张老师和“数学小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题（）”：如图在中，，分别以的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分面积为 ． 32．（23-24八年级下·广东韶关·期中）如图，某数学兴趣小组在课后一起复习数学知识，首先他们在纸上画出，然后分别以这个三角形的三边为直角边画出三个等腰直角三角形，最后把这个图形剪下来，并折成下图的样子，分别与交于G、H，若的面积分别为4，9，16，则 ． 【考点5】用勾股定理解决网格问题； 33．（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图所示的网格是正方形网格，则 °（点A，B，C是网格线交点）． 34．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，在的方格中，小正方形的边长是，点、、都在格点上，则边上的高为 ． 【考点6】勾股定理与折叠问题； 35．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则 36．（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，在长方形ABCD中，点E是BC上一点，连结AE，以AE为对称轴作△ABE的轴对称图形△AB′E，延长EB′恰好经过点D，过点E作EF⊥BC，垂足为E，交AB′于点F，已知AB＝9，AD＝15，则EF＝ ． 【考点7】勾股定理解决平方和或平方关系； 37．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）如图在中，、分别是、的中点，，，，则的长为 ． 38．（22-23八年级上·福建宁德·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则 ． 【考点8】勾股定理的验证； 39．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 40．（22-23八年级下·河南信阳·期中）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么 ．    【考点9】勾股定理与弦图问题； 41．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是52，每个直角三角形的长直角边与短直角边的比是，则小正方形的面积为 ． 42．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图是我国古代著名的赵爽弦图，其中直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，若，，则的长是 ． 【考点10】用勾股定理解决最值问题； 43．（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图， 在中，，，， P是边上一动点， 将沿折叠，点B落在处， 交于D， 则的最大值为 ． 44．（23-24八年级下·广西防城港·期末）深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形象．如图是某部动作电影中的一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，蜘蛛侠欲从点开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则蜘蛛侠行走的最短距离为 ． 【考点11】运用勾股定理表示数轴上的点； 45．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，是直角三角形，，点A表示的数是3，且，若以点C圆心为半径画弧交于点B以点O为圆心，为半径画弧交x轴于点D．则点D表示的数为 ．    46．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，点，表示的数分别为0，1．则点表示的数为 ．    【考点12】运用勾股定理构造直角三角形解决问题. 47．（2022·广东深圳·一模）如图， 是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为，面积是25的正方形的四个顶点分别在这四条直线上，那么的值是 ． 48．（20-21八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，点是边的中点，点是射线上的一个动点，交的延长线于点，交边于点．当时，的长为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．所以首先排除不都是正整数的项，对于全为正整数的项，只要计算三个数中较小的两数平方和是否等于最大数的平方即可得解． 【详解】解：A、不是正整数，不符合题意； B、三个数计算出来分别为9，16，25，平方后分别为81，，81+256=337≠625，故三数不是勾股数，不符合题意； C、9，12，15三数的平方分别为81，144，225，且81+144=225，三数是勾股数，符合题意； D、1.5，2.5不是正整数，不符合题意； 故选C． 【点拨】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股数的意义及勾股定理的意义是解题关键． 2．C 【分析】依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值． 【详解】解：由题可得： ， ， ， ∴当时，， ∴，， ∴， 故选：C． 【点拨】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键． 3．D 【分析】本题考查了勾股定理，注意要分两种情况讨论是解题的关键． 因为没有指明哪个是斜边，所以分两种情况进行分析． 【详解】解：当第三边是直角边时，根据勾股定理，第三边的长，三角形的边长分别为3，4，5能构成三角形； 当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的长，三角形的边长分别为3，5，亦能构成三角形； 综合以上两种情况，第三边的长应为4或． 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了勾股定理，三角形三边关系，分三种情况由勾股定理求出的长，由三角形三边关系可得出答案． 【详解】解：若， ∵， ∴对角线； 若， ∵， ∴对角线的长不符合题意，舍去； 若，不存在， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，垂线段最短． 根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 当时，， ∴ 解得：， ∴， ∴当的长度为整数值时，符合条件的值有2、3、4、5，共4个， 故选：C． 6．D 【分析】由已知条件得出AC+BC=，由勾股定理得出AC2+BC2=AB2=152=225，求出AC×BC=90，由三角形面积即可得出答案． 【详解】如图所示： ∵Rt△ABC的周长为15+，∠ACB=90°，AB=15， ∴AC+BC=，AC2+BC2=AB2=152=225， ∴（AC+BC）2=（）2，即AC2+2AC×BC+BC2=405， ∴2AC×BC=405-225=180， ∴AC×BC=90， ∵AB×CD=AC×BC， ∴CD= =6； 故选：D． 【点拨】此题考查勾股定理，三角形的面积公式，完全平方公式，三角形的周长的计算，熟记直角三角形的性质是解题的关键． 7．C 【分析】本题考查了对勾股定理的理解能力，全等三角形的判定与性质，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键． 根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到的面积的面积的面积． 【详解】解：如图， ，， ， 在和中， ， ， ， 根据勾股定理得，得． 的面积的面积的面积． 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了勾股定理及正方形的面积，熟记勾股定理是解题关键，由正方形的面积公式可得结合勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， ， 三个正方形的面积分别为， ， 在及中，由勾股定理可得： ，， ， ， 故选：C． 9．A 【分析】连接，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，再利用等量代换即可解答． 【详解】解：如图：连接，    由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识点，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 10．A 【分析】本题考查了找规律，以及勾股定理，根据勾股定理分别表示出、、的长度，然后研究之间存在的规律，即可解题． 【详解】解：小正方形的边长为1 ， 根据勾股定理可得： ， ， ， 依此类推， ， 故选：A． 11．A 【分析】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关键． 根据折叠的性质，得出，进而得出，由第二次折叠，得出，进而得出，最后利用线段的关系，即可得出结果． 【详解】解：第一次折叠，如图②， ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，， ∴， 第二次折叠，如图③，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 12．A 【分析】本题考查轴对称，勾股定理，等腰三角形的判定及性质． 设与交点为点D，过点E作轴于点F，由可得，，由长方形与折叠的性质可得，从而，设，则，，在中，根据勾股定理得，代入即可解得，根据的面积可求得，进而在中，根据勾股定理可求得，结合点E的位置可得点E的坐标． 【详解】设与交点为点D，过点E作轴于点F， ∵， ∴，， ∵在长方形中，， ∴， ∵由折叠有， ∴， ∴， 设，则，， ∵在长方形中，， ∴在中，， 即， 解得， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵或， ∴， 即， ∴， ∵轴， ∴在中，， ∴点E的坐标为． 故选：A． 13．A 【分析】设一条直角边为x，斜边为3x，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设一条直角边为x，斜边为3x，依题意有 x2+（）2=（3x）2， 解得x=±1（负值舍去）， 则3x=3． 故选：A． 【点拨】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，关键是熟悉直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方的知识点． 14．B 【分析】作图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得，整理即可求解 【详解】解：如图，    ， ， ． 故选：B． 【点拨】考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，根据勾股定理得到等量关系． 15．B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：题中根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B． 16．C 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据图形面积之间的关系，逐项推理论证判断即可． 【详解】解：A．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意； B．梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意； C．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意； D．图中图形面积等于边长为c的正方形面积，加上两个直角边分别为a、b的长方形面积，即其面积为：，也可看作是一个梯形面积加上一个等腰直角三角形的面积，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意； 故选：C． 17．C 【分析】本题考查了勾股定理和正方形的面积，能正确表示大正方形和小正方形的面积及运用数形结合思想是解题的关键．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，根据小正方形的面积为可解得，则大正方形的面积为，即可求解． 【详解】解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，如下图， 则，， 又∵小正方形的面积为， ∴可解得或（舍去）， ∴， ∴大正方形的面积． 故选：C． 18．B 【分析】本题主要考查了勾股弦图、完全平方公式等知识点，正确运用完全平方公式变形求值成为解题的关键． 由题意可得大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，再结合图形和勾股定理可得、可判定①②；然后通过完全平方公式变形求值可判定③④． 【详解】解：∵大正方形面积为49，小正方形面积为4， ∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2， ∴，，即①、②正确； ∴ ，则：，,即③正确； ∴， ∴，即④错误； 综上，正确的有①②③． 故选B． 19．A 【分析】作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，在根据勾股定理求出线段的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于点，此时，由三角形三边关系可知，故当点P运动到时最大，过点B作由勾股定理求出AB的长就是的最大值，代入计算即可得． 【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线， ∵，，， ∴，，， 在中，根据勾股定理得， ∴， 即PA+PB的最小值是； 如图所示，延长AB交MN于点， ∵，， ∴当点P运动到点时，最大， 过点B作，则， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， ∴， 即， ∴， 故选A． 【点拨】本题考查了最短线路问题和勾股定理，解题的关键是熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系． 20．C 【分析】本题考查勾股定理，理解几何体侧面展开图等．根据题意先画出几何体的侧面展开图，利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：如下图，画出钢管的侧面展开图，作点关于右侧关口的对称点，连接，    ∵钢管横截面的周长为18cm， ∴， ∵由题意得：， ∴， ∴小蜘蛛需要爬行的最短距离为cm． 故选：C． 21．D 【分析】本题考查了勾股定理和数轴的应用．根据勾股定理计算的长度，再由点A的位置，确定点A的符号，从而得出即可． 【详解】解：∵以数轴的单位长线段为边作一个正方形， ∴正方形边长为1， ∴对角线长为， ∵以过原点的对角线为半径作弧，与数轴正半轴交于点A， ∴点A为， 故选：D． 22．B 【详解】根据勾股定理得：，， ∴， ∴， ∴点表示的数为． 故答案为：B． 【点拨】此题主要考查了勾股定理，以及数轴与实数，解题时求数轴上两点间的距离应让较大的数减去较小的数即可,本题的关键是求出AE的长． 23．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设绳索的长是x，则，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】设绳索的长是，则， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即绳索的长是， 故选：B． 24．A 【分析】在侧面展开图中，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可． 【详解】解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， ∵AE＝A′E，A′P＝AP， ∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C， ∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm−4cm＋4cm＝12cm， 在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝ ＝15cm， 故选：A． 【点拨】本题考查了平面展开−最短路径问题，同时也考查了学生的空间想象能力．将图形侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 25． 【分析】本题考查了勾股数的规律题、勾股定理等知识点，发现勾股数与组数的规律是解题的关键． 先根据给出的数据找出规律，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，…，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第6组勾股数的第一个数是13； 又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1， 故设第二个数为x，第三个数为， 根据勾股定理可得：，解得． ∴第6组数是：． 故答案为：． 26． 【分析】根据题干的公式直接进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴经为， 故答案为： 【点拨】本题考查勾股定理，解题的关键是读懂题意，利用题中的结论进行求解． 27．20或4 【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边16既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即16是斜边或角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解． 【详解】解：设第三边为， （1）若16是直角边，则第三边是斜边， 由勾股定理得：， ∴； （2）若16是斜边，则第三边为直角边， 由勾股定理得：， ∴； ∴三角形的第三边是20或． 故答案为：20或． 28．5或/或5 【分析】本题主要考查勾股定理，分两种情形运用勾股定理求出，的和长，再运用勾股定理求出的长即可 【详解】解：如图1，在中， ∴，    ∵ ∴ 在中，； 如图2，在中，    ∴， ∵ ∴ 在中，； 综上，的长为5或， 故答案为：5或 29． 【分析】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答． 根据题意画出图形，然后作于点D，根据勾股定理可以求得的长，然后根据面积法，可以求得的长． 【详解】解：作于点D，如图所示，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 30． / 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法求高，掌握勾股定理，三角形高的计算方法是解题的关键． 根据勾股定理可求出的值，根据等面积法可求出的值． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， ． 31． 【分析】本题考查勾股定理、根据圆的面积公式和直角三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴图中两个“月牙”即阴影部分面积为 ， 故答案为：． 32．11 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先分别表示出，再运用面积的关系得出，然后根据勾股定理列式，代入化简，即可作答． 【详解】解：如图： 设的面积分别为， ∵在，然后分别以这个三角形的三边为直角边画出三个等腰直角三角形， ∴ ∵的面积分别为4，9，16， ∴ ， 整理上式：得， ∵， ∴， 则， ∴， 即， 故答案为：11． 33．45 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 根据网格作出等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：取格点D，则， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：45． 34．/ 【分析】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，易求的面积，再根据勾股定理可求出的长，进而根据面积公式即可求得边上的高的长． 【详解】解：由题意可得， 又， 边上的高为， 故答案为：． 35． /90度 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握翻折的性质与勾股定理解三角形．根据翻折的性质得到，，由，即可得到，由折叠的性质可得：，，设，在中，根据勾股定理即可求出， 【详解】解：由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ∴， 故答案为：；． 36．5 【分析】由轴对称的性质可知：AB′=AB=9，∠AB′E=∠B=90°，B′E=BE，∠B′AE=∠BAE，然后根据勾股定理可得DB，BE的长，进而可得EF的长． 【详解】解：由轴对称的性质可知：AB′=AB=9，∠AB′E=∠B=90°，B′E=BE，∠B′AE=∠BAE， 在Rt△ADB′中，根据勾股定理，得 DB′==12， ∵BC=AD=15， ∴EC=BC-BE=15-BE， 在Rt△DEC中，DE=DB′+B′E=12+BE，DC=AB=9， 根据勾股定理，得 DE2=EC2+DC2， ∴（12+BE）2=（15-BE）2+92， 解得BE=3， ∵EF⊥BC，AB⊥BC， ∴EF∥AB， ∴∠FEA=∠BAE， ∵∠B′AE=∠BAE， ∴∠FEA=∠B′AE， ∴FA=FE， ∴FB′=AB′-AF=9-FE， 在Rt△EFB′中，根据勾股定理，得 EF2=FB′2+EB′2， ∴EF2=（9-FE）2+32， 解得EF=5． 故答案为：5． 【点拨】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 37． 【分析】本题考查了勾股定理，解二元二次方程组，本题中根据和求出、的长度是解题的关键． 设，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方得出，，解方程组可求得、，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：设，，， 在中，， 在中，， 即， 解得：， 在中，， 故答案为：． 38．29 【分析】先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案． 【详解】解：由题意知， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 故答案为：29． 【点拨】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 39． 【分析】 本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键． 先根据勾股定理得出大正方形的面积，再得出三角形的面积，最后根据小正方形的面积=大正方形面积4个三角形面积，即可解答． 【详解】解；大正方形的面积， 三角形的面积， ∴小正方形的面积， 故答案为：． 40．20 【分析】由题意可知:大正方形的边长为，，根据勾股定理和正方形的面积以及题目给出的已知数据即可求的长度． 【详解】解：由题意可知：大正方形的边长为：， 直角三角形边长分别为， 根据勾股定理可得：， 又， 可得：，， ． 故答案为：20 【点拨】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用几何直观和图形面积，本题属于基础题形． 41． 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的长直角边与短直角边的长为，，根据勾股定理得到，解方程求出x的值，然后计算小正方形的面积即可． 【详解】解：设直角三角形的长直角边与短直角边的长为，， 则， 解得：或（舍去） ∴小正方形的面积为， 故答案为：． 42．2 【分析】本题主要考查勾股定理，由图可知四边形是正方形，里面的小四边形也为正方形且边长为，再利用勾股定理求解． 【详解】解：由图可知四边形是正方形， 里面的小四边形也为正方形且边长为， 那么对角线， ，， 所以， 故答案为：． 43．/ 【分析】本题考查勾股定理，折叠问题，根据题意得出当时，最小，最大，再根据面积法求出，根据折叠得：，进而可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 根据折叠可知，， 则， ∴当最小时，最大， ∵垂线段最短， ∴时，最小， 当时，， ∴此时， ∴此时， 故答案为：． 44．130 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．从点如果从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈到达点，行走的最短距离相当于直三角形的斜边的边长，根据展开图，求出，再根据勾股定理求出斜边长即可． 【详解】解：如图，将长方体展开： 是正方形，，， ， ， 从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈到达点，行走的最短距离相当于直三角形的斜边的边长， ， 行走的最短距离为． 故答案为：130． 45．/ 【分析】根据题意得出，，根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：∵点A表示的数是3， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， ∴点D表示的数为． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了勾股定理与无理数，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方． 46． 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴等知识，利用勾股定理依次求出、、的长，从而得出的长，即可得出答案． 【详解】解：在中，， 同理，，， 由题意知，， 点表示的数是． 故答案为：． 47． 【分析】过点作构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到关于正方形面积的方程，然后解方程求解即可． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 在正方形中， 又 ∵正方形的面积为25， 或（舍去） 故答案为： 【点拨】本题主要考查全等三角形及勾股定理和正方形面积的关系，通过辅助线构造全等三角形并利用勾股定理列方程是解决本题的关键． 48．2.5或1 【分析】如图，设BM=x，首先证明BQ=AP，分两种情况，利用勾股定理，构建方程求解即可． 【详解】如图，设BM=x， 在Rt中，AB=10，AC=6， BC=， ， ， O是AB的中点， OA=OB， 在和中， （ASA） PA=BQ=6-1=5，OQ=OP ， MQ=MP， 解得x=2.5． 当点P在AC的延长线时，同法可得， 解得x=1， 综上所述，满足条件的BM的值为2.5或1． 故答案为2.5或1． 【点拨】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$