精品解析：四川省广安市邻水县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2024年春义务教育阶段质量监测样卷 七年级数学 注意事项： 1．本样卷分为监测卷（1-6页）和答题卡两部分．监测时间120分钟，满分120分． 2．学生答题前，请先将学校、班级、姓名、考号等信息用黑色墨水笔或黑色签字笔填写在答题卡上的指定位置，待监测教师粘贴条形码后，认真核对条形码上的姓名、考号是否正确． 3．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上相应的位置，非选择题答案用黑色墨水笔或黑色签字笔答在答题卡上的相应位置．超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、监测卷上答题均无效． 4．监测结束，监测教师必须将监测学生和未监测学生的答题卡收回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为（ ） A B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ） A B. C. D. 5. 运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过两点有且只有一条直线 6. 对于命题“如果，那么”能说明它是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图所示，下列条件中，不能判断的是（　　） A. B. C. D. 8. 某校现有学生2000人，为了提高学生防诈骗意识，学校组织全体学生进行了一次防诈骗安全知识测试．现抽取部分1学生的测试成绩作为样本，进行整理后分成五组，并绘制出如图所示的频数分布直方图，则下列说法正确的是（　　） A. 每个小组的组距是5 B. 样本容量是50 C. 抽取的样本中分数在80～90分的有6人 D. 抽取的样本中分数在70～80分的人数最多 9. 我国古代数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各几尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 10. 关于x的一元一次不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将最简答案填写在答题卡相应位置） 11. 为了解天池湖的鱼类品种情况，应采用______的方式．（填“全面调查”或“抽样调查”） 12. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，线段是由线段平移得到的，小颖不小心将墨汁滴到点B的坐标上，已知A，C，D三点的坐标分别为，则点B的坐标为______． 14. 已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的立方根是___________． 15. 若关于的方程组的解满足，则的值为______． 16. 如图，已知，，记，则m的值为__________________． 三、解答题（本大题共4小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分） 17. 计算：． 18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 19. 如图 ，，，， 将求 的过程填写完整． 解：∵（已知）， ∴（_______________________ ）， ∵， ∴（等量代换）， ∴_______ （_______________________）， ∴_______ （______________________）， ∵， ∴_________． 20. 在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将三角形平移，使点与点重合，点，的对应点分别是点，． （1）请画出平移后三角形，并写出点的坐标为______； （2）是三角形内的一点，当三角形平移到三角形后，若点的对应点的坐标为，则点的坐标为______． 四、实践应用题（本大题共4小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分） 21. 《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长，宽的长方形绣布，刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，他能裁出来吗？请说明理由．（取3） 22. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当，时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架的夹角和扶手与靠背的夹角的度数． 23. 随着共享单车的普及，越来越多的居民选择共享单车作为出行的交通工具，为了解某社区居民每周使用共享单车的时间情况，随机对该社区选择共享单车出行的部分居民进行调研，获得了他们每周使用共享单车的时间（单位：）数据，并将收集到的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．该社区居民每周使用共享单车的时间数据的频数分布表如下： 组别 使用时间/ 频数（人数） 第1组 5 第2组 第3组 35 第4组 第5组 15 b．该社区居民每周使用共享单车的时间数据的频数分布直方图及扇形统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调研随机抽取了______名社区居民进行调查，表中的值为______，的值为______； （2）请补全频数分布直方图； （3）第3组居民的人数在扇形统计图中所对应的扇形圆心角的度数是 ． 24. 昆明的蓝花楹在4月中下旬陆续绽放，引来众多游客踏青观赏，拍照留念：小渡计划购进、两种型号的手机自拍杆进行销售，已知购进1个型号和2个型号的自拍杆共需75元，购进2个型号和3个型号的自拍杆共需120元． （1）求购进型号自拍杆和型号自拍杆的单价分别是多少元？ （2）若小渡计划购进，两种型号的自拍杆共100个，并将，两种型号的自拍杆分别以20元个，50元个售出，为了保证全部售完后的总利润不低于1100元，最多购进型号的自拍杆多少个？ 五、推理论证题（9分） 25. 阅读材料并回答下列问题： 当都是实数，且满足，就称点为“可爱点”．例如：点，令得，，所以不是“可爱点”；，令得，，所以是“可爱点”． （1）请判断点是否为“可爱点”：______（填“是”或“否”） （2）若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求的值； （3）若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求正整数的值． 六、拓展探究题（10分） 26. 如图1，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线于点M，且． （1）求证：； （2）点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设． ①如图2，当点G在点F的右侧时，若，求的值； ②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春义务教育阶段质量监测样卷 七年级数学 注意事项： 1．本样卷分为监测卷（1-6页）和答题卡两部分．监测时间120分钟，满分120分． 2．学生答题前，请先将学校、班级、姓名、考号等信息用黑色墨水笔或黑色签字笔填写在答题卡上的指定位置，待监测教师粘贴条形码后，认真核对条形码上的姓名、考号是否正确． 3．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上相应的位置，非选择题答案用黑色墨水笔或黑色签字笔答在答题卡上的相应位置．超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、监测卷上答题均无效． 4．监测结束，监测教师必须将监测学生和未监测学生的答题卡收回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根的定义，理解算术平方根的定义是解题的关键． 利用算术平方根定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故选：C． 2. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解本题的关键． 如图，由平行线的性质可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，由题意可得：， ， 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式、平面直角坐标系中各象限点的坐标特点：第三象限点横坐标、纵坐标均为负；由此特点得不等式，解不等式即可求得m的范围． 【详解】解：由于点在第三象限， 则， 即； 故选：D． 4. 下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的概念，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题关键． 根据二元一次方程组的定义对选项逐一判断：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 【详解】解：A．是二元一次方程组，故不符合题意； B．是二元一次方程组，故不符合题意； C．方程组中的的次数是2，不是二元一次方程组，故符合题意； D．是二元一次方程组，故不符合题意； 故选：C． 5. 运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过两点有且只有一条直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短的实际应用，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：测量的依据是垂线段最短； 故选：B． 6. 对于命题“如果，那么”能说明它是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了举反例说明假命题，举的反例要满足命题的条件，但不满足命题结论，据此判断即可． 【详解】解：显然前三个选项中的例子既符合命题的条件，也符合命题的结论，不是举反例；选项D中例子符合命题条件，即，但，不符合命题结论，故是反例； 故选：D． 7. 如图所示，下列条件中，不能判断的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定即可解答． 【详解】解：∵是直线被第三条直线所截形成的同旁内角， ∵， ∴， 故项不符合题意； ∵不是直线被第三条直线所截形成的同位角，同旁内角，内错角， ∴由不能推出， 故项符合题意； ∵是直线被第三条直线所截形成的同位角， ∵， ∴， 故项不符合题意； ∵是直线被第三条直线所截形成的内错角， ∵， ∴， 故项不符合题意； 故选． 【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定是解题的关键． 8. 某校现有学生2000人，为了提高学生的防诈骗意识，学校组织全体学生进行了一次防诈骗安全知识测试．现抽取部分1学生的测试成绩作为样本，进行整理后分成五组，并绘制出如图所示的频数分布直方图，则下列说法正确的是（　　） A. 每个小组的组距是5 B. 样本容量是50 C. 抽取的样本中分数在80～90分的有6人 D. 抽取的样本中分数在70～80分的人数最多 【答案】D 【解析】 【分析】利用频数分布直方图的性质以及样本容量一一判断即可． 【详解】解：观察图像可知： A．每个小组的组距是10，故错误，不合题意； B．样本容量是，故错误，不合题意； C．抽取的样本中分数在80～90分的有9人，故错误，不合题意； D．抽取的样本中分数在70～80分的有18人，人数最多，故正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查频数分布直方图，总体，个体，样本，样本容量等知识，解题的关键是读懂图像信息，属于中考常考题型． 9. 我国古代数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各几尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键． 由将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺可得，由将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺可得，然后列方程组即可． 【详解】解：由题意知，符合题意的方程组为， 故选：A． 10. 关于x的一元一次不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集为，再根据这个不等式组只有4个整数解，确定，再进行求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 又∵x的一元一次不等式组只有4个整数解， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将最简答案填写在答题卡相应位置） 11. 为了解天池湖的鱼类品种情况，应采用______的方式．（填“全面调查”或“抽样调查”） 【答案】抽样调查 【解析】 【分析】本题主要考查了统计方法的选择，准确判断是解题的关键． 根据全面调查和抽样调查的性质选择即可； 【详解】解：为了解天池湖的鱼类品种情况，适合采用抽样调查． 故答案为：抽样调查． 12. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平角的定义先求得的度数，根据两直线平行，同位角相等，然后求得的度数． 【详解】解：如图， ， ． ， ， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，线段是由线段平移得到的，小颖不小心将墨汁滴到点B的坐标上，已知A，C，D三点的坐标分别为，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据点A和对应点C的坐标得到平移的规律为：向右平移2个单位，再向上平移1个单位，同步进行的是，点B向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点D．根据此平移规律推断点B的坐标． 【详解】解：∵线段是由线段平移得到的， ∴点平移的对应点为，点B平移的对应点为， ∵点C是点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的， ∴点D也是点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的， ∴把点向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到点B的坐标， ∴点B的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化一平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减，熟练掌握此规律是解题的关键． 14. 已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的立方根是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据平方根定义，正数有两个平方根，它们是互为相反数，先求a ，再求这个数，最后求这个数的立方根即可． 【详解】解：一个正数两个平方根分别是和， ， 解得 ∴， 27的立方根是3， ∴的立方根是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查正数的立方根，关键掌握平方根的性质和立方根定义，正数有两个平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，会求一个数的立方根． 15. 若关于的方程组的解满足，则的值为______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了加减法解二元一次方程组；根据方程组中两个方程的特点，两个方程相加可得的值，由已知即可求得k的值． 【详解】解：方程两式相加得：， 即； 由于， 即， 解得：； 故答案为：2025． 16. 如图，已知，，记，则m的值为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】过点F作，则，依据平行线的性质可证明，同理可证明，然后结合已知条件可得到问题的答案． 【详解】解：如图所示：过点F作． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 同理：． ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是平行线的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 三、解答题（本大题共4小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根和立方根，绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算算术平方根和立方根，绝对值，然后计算加减． 【详解】解：原式． 18. 解不等式组，并把解集数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】分别求出两个不等式，找到不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式，可得 解不等式，可得， 不等式组的解集为：， 表示在数轴上为： 【点睛】本题考查了求解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式组的解集，注意“>”和“<”用空心圆点，“≥”和“≤”用实心圆点表示． 19. 如图 ，，，， 将求 的过程填写完整． 解：∵（已知）， ∴（_______________________ ）， ∵， ∴（等量代换）， ∴_______ （_______________________）， ∴_______ （______________________）， ∵， ∴_________． 【答案】两直线平行，同位角相等，，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补， 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴． 故答案为：两直线平行，同位角相等，，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补，． 20. 在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将三角形平移，使点与点重合，点，的对应点分别是点，． （1）请画出平移后的三角形，并写出点的坐标为______； （2）是三角形内的一点，当三角形平移到三角形后，若点的对应点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】（1）图见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查了画图形的平移，确定平移方式，求平移后点的坐标等知识；掌握平面直角坐标系中点平移的规律是解题的关键． （1）由C、的坐标可确定平移方式，由平移确定点A、B的对应点，依次连接即可；也可以写出点的坐标； （2）按照（1）中确定的平移，向相反方向平移，则由点坐标可得到点P的坐标． 【小问1详解】 解：C点坐标为，点的坐标是，则平移是向左平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度；按此平移，点A、B的对应点的坐标分别为、，依次连接，则平移后的三角形如图，点的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由于平移是向左平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度， 则向右平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点P， 故点P的坐标为； 故答案为：． 四、实践应用题（本大题共4小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分） 21. 《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长，宽的长方形绣布，刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，他能裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】他不能裁出来，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，估算无理数的大小的应用．设完整圆形绣布的半径为，依题意，得，进而得出，根据，即可求解． 【详解】解：他不能裁出来． 理由：设完整圆形绣布的半径为． 依题意，得． 取3，， 解得（负值已舍去）． ， ， 他不能裁出来． 22. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当，时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架的夹角和扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．先根据平行线的性质，得出，再根据，即可得到，再根据平行线的性质，即可得到的度数，进而得出的度数． 【详解】解：扶手与底座都平行于地面， ， ， 又， ， ， ， ． 23. 随着共享单车的普及，越来越多的居民选择共享单车作为出行的交通工具，为了解某社区居民每周使用共享单车的时间情况，随机对该社区选择共享单车出行的部分居民进行调研，获得了他们每周使用共享单车的时间（单位：）数据，并将收集到的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．该社区居民每周使用共享单车的时间数据的频数分布表如下： 组别 使用时间/ 频数（人数） 第1组 5 第2组 第3组 35 第4组 第5组 15 b．该社区居民每周使用共享单车的时间数据的频数分布直方图及扇形统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调研随机抽取了______名社区居民进行调查，表中的值为______，的值为______； （2）请补全频数分布直方图； （3）第3组居民的人数在扇形统计图中所对应的扇形圆心角的度数是 ． 【答案】（1）100；25；20 （2）图见解析 （3）126° 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，扇形统计图中所对应的扇形圆心角的度数等知识，从两个统计图中获取相关信息是解题的关键． （1）根据第5组的频数及所占的百分比，即可求得抽取的人数；由频数分布直方图可得n的值；抽取的总数与已知各组频数的差可求得m的值； （2）由（1）中所求即可补充频数分布直方图； （3）与第3组频数所占的百分比的积即为所求扇形圆心角的度数． 【小问1详解】 解：（人），即本次调研随机抽取了100名社区居民进行调查． 由频数分布直方图可知，， ． 故答案为：100；25；20． 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图如图所示． 【小问3详解】 解：第3组居民人数在扇形统计图中所对应的扇形圆心角的度数是． 故答案为：126°． 24. 昆明的蓝花楹在4月中下旬陆续绽放，引来众多游客踏青观赏，拍照留念：小渡计划购进、两种型号的手机自拍杆进行销售，已知购进1个型号和2个型号的自拍杆共需75元，购进2个型号和3个型号的自拍杆共需120元． （1）求购进型号自拍杆和型号自拍杆的单价分别是多少元？ （2）若小渡计划购进，两种型号的自拍杆共100个，并将，两种型号的自拍杆分别以20元个，50元个售出，为了保证全部售完后的总利润不低于1100元，最多购进型号的自拍杆多少个？ 【答案】（1）购进型号自拍杆的单价是15元，购进型号自拍杆的单价是30元 （2）最多购进型号的自拍杆60个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和找准数量列出一元一次不等式． （1）设购进型号自拍杆的单价是元，购进型号自拍杆的单价是元，根据“购进1个型号和2个型号的自拍杆共需75元，购进2个型号和3个型号的自拍杆共需120元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进个型号的自拍杆，则购进个型号的自拍杆，利用总利润每个的销售利润销售数量（购进数量），结合总利润不低于1100元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购进型号自拍杆的单价是元，购进型号自拍杆的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：购进型号自拍杆的单价是15元，购进型号自拍杆的单价是30元； 【小问2详解】 解：设购进个型号的自拍杆，则购进个型号的自拍杆， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为60． 答：最多购进型号的自拍杆60个． 五、推理论证题（9分） 25. 阅读材料并回答下列问题： 当都是实数，且满足，就称点为“可爱点”．例如：点，令得，，所以不是“可爱点”；，令得，，所以是“可爱点”． （1）请判断点是否为“可爱点”：______（填“是”或“否”） （2）若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求的值； （3）若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求正整数的值． 【答案】（1）否 （2）10 （3）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解、二元一次方程的正整数解求法，点的坐标知识； （1）根据“可爱点”的定义分别判断即可； （2）先关于x，y的方程组的解，直接利用“可爱点”的定义得出关于方程，解方程求出的值进而得出答案． （3）先关于x，y的方程组的解，直接利用“可爱点”的定义得出关于、的二元一次方程求出正整数解即可． 【小问1详解】 解：点，令， 得， ， 不是“可爱点”， 故答案为：否． 【小问2详解】 解：方程组的解为， 点“可爱点”， ， ， ， ， 解得 的值为10． 【小问3详解】 解：方程组的解为， 点是“可爱点”， ， ， ， ， 解得， a，b为正整数， 或或或． 六、拓展探究题（10分） 26. 如图1，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线于点M，且． （1）求证：； （2）点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设． ①如图2，当点G在点F的右侧时，若，求的值； ②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；或，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，进而得到，即可推出； （2）①依据平行线的性质可得，再根据平分，，即可得到，再根据三角形内角和定理即可解答； ②分两种情况解答：当点G在点F的右侧时，由（2）①可得结果；当点G在点F的左侧时，同理进行解答即可． 【小问1详解】 证明：平分， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：① ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， 解得； 故答案为：50； ②α和β之间的数量关系为或，理由如下： 当点G在点F的右侧，由（2）①得， 当点G在点F的左侧时，如图2， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴，即， 综上所述，α和β之间的数量关系为或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，掌握相关知识，熟练利用角的和差关系进行运算是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$