精品解析：广西百色市2023-2024学年高二下学期期末教学质量调研测试数学试题

2024年春季学期百色市普通高中期末教学质量调研测试 高二数学 （试卷满分：150分；考试时长：120分钟） 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效. 3. 考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，设①②③④图对应的相关系数分别为，，，，则，，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图和相关系数的知识即可求解. 【详解】由散点图可知，图①，③是正相关，图②，④是负相关， 且图①，②比③，④的线性相关性更强，所以. 故选：A. 2. 如图，要让电路从A处到B处只有一条支路接通，可有（ ）条不同路径. A. 4 B. 5 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理即可求解. 【详解】走上面需要两步，每步都有两种路径，有种方法， 走下面需要两步，第一步有三种路径，第二步有两种路径，有种方法， 共计有10种方法. 故选：D. 3. 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热.在第时，原油的温度（单位：）为，若，则在第2h时，原油温度的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合导数的定义求出的具体值即可得解 【详解】由导数的定义可知，在第2h时，原油温度的瞬时变化率为在处的导数， 又 所以， 即在第2h时，原油温度的瞬时变化率为. 故选：A. 4. 下列说法中正确的有（ ） ①线性回归方程至少经过一个样本点； ②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大则两个变量的相关程度越强； ③在回归分析中，决定系数的模型比的模型拟合效果要好； ④残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性回归方程和相关系数及残差分析即可判断正误. 【详解】线性回归方程可以不经过任何一个样本点，①错， 值越大则两个变量的相关程度越强，②错， 决定系数越大，模型拟合效果越好，③对， 残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，④对. 故选：B. 5. 若的展开式中二项式系数最大的项仅有第6项，则展开式中的常数项为（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合二项式系数的性质求，再结合展开式通项公式求结论. 【详解】因为的展开式中二项式系数最大的项仅有第6项， 所以， 二项式的展开式的通项公式为， 令，可得， 所以展开式中的常数项为第项. 故选：D. 6. 设是的导函数，已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】由已知， . 7. 在某市的一次质量检测考试中，学生的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可用函数的图象拟合，且，若参加本次考试的学生共有10000人，则数学成绩超过120分的人数约为（ ） A. 600 B. 800 C. 1200 D. 1400 【答案】B 【解析】 【分析】由随机变量的密度函数可求，由条件，利用正态分布的性质可求，由此可求结论. 【详解】依题意可知，，又因为， 所以， 所以数学成绩超过120分的人数约为， 故选：B. 8. 过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 60种 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊元素“失重飞行”进行位置分类方法计算，结合排列组合等计数方法，即可求得总的测试的安排方案种数. 【详解】①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有种安排方法， 此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同； ②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第四、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法， 此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同； ③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第一、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法； 故选拔测试的安排方案有种. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某单位在定点帮扶贫困村村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高村村民.2016，2017，2019，2020年这四年的人均年纯收入y（单位：万元）与年份代号x之间的一组数据如表所示.若y与x线性相关，且求得其线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ） 年份 2017 2019 年份代号x 4 5 7 8 人均年纯收入y 2.1 m n 5.9 A. B. 年村人均年纯收入约为7万元 C. 从年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元 D. 年的人均年纯收入残差值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用回归直线的性质判断A，B，C，利用残差的求法判断D即可. 【详解】易得，代入直线中得到， 所以，所以，故A正确， 而2025年的代号为13，故，故B错误， 由于每增加1，约增加1，得到每经过1年， 村民人均年纯收入约增加1万元，故C正确， 当时，，而残差值为，故D错误. 故选：AC 10. 设，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 展开式的偶数项系数和为64 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出，通过赋值，结合条件求出，即可求解. 【详解】对A，, 出现的只能是，即，故，A正确； 对B，当时，，即， 当时，可以化为 ①式， 又②式， 由①-②得，解得，B错误； 对C，含有的项要从第三个式子才有，所以，C正确； 对D，，展开式的偶数项系数和即为偶数项二项式系数和， 即为二项式系数和的一半，故，D正确. 故选：ACD. 11. 设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 不等式的解集为 C. 若恒成立，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】构造函数，根据条件计算得，利用导数研究其单调性可判定A、B，分离参数结合的单调性与最值可判定C，由题意得出，结合的单调性得出即可判定D. 【详解】因为，所以. 令，则， 所以（c为常数），所以. 因为，所以，即. 对于A，因为， 所以在上单调递减，在上单调递增，故A错误. 对于B,当时，，时，，时， 而，根据单调性知：，故B正确. 对于C，若，则. 当时，恒成立. 当时，等价于，即. 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，故C正确. 对于D，若，即. 因为在恒小于0，在上又单调递增，且， 所以，且，所以， 故D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：根据已知条件先构造函数得出解析式，利用导数研究其单调性即可判定前两个选项，对于恒成立问题经常使用分离参数的方法，计算的最值即可判定C，对于双变量问题常利用转化消元的思想，同构的思想. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为______. 【答案】0 【解析】 【分析】根据组合数的性质和排列数的计算公式即可求解. 【详解】， 或， 解得或，为整数，故， . 故答案为：0. 13. 已知曲线C的方程为，则曲线C在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数公式求出函数导数即可求解. 【详解】，当时，， 因为切线方程过点，所以，化简得. 故答案为：. 14. 阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有20%的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有30%的学生每天阅读时间超过1小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占60%.现从每天阅读时间不超过1小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用全概率公式可构造方程求得所求概率. 【详解】设写作能力被评为优秀等级为事件A，每天阅读时间超过小时为事件， 则，，； ， ， 即从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 新高考“”模式最大的特点就是取消了文理分科，除语文、数学、外语3门必考科目外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门中自主选择3门作为选考科目，为了了解学生对全文（政治、历史、地理）的选择是否与性别有关，某学校从高一年级的学生中随机抽取男、女生各25人进行模拟选科．经统计，选择全文的男生有10人，在随机抽取的50人中选择全文的比不选全文的多10人． （1）请完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为选择全文与性别有关； 选择全文 不选择全文 总计 男生 女生 总计 （2）将样本的频率视作概率，估计在高一年级全体女生中随机抽取两人，恰好一人选择全文的概率． 附表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参公式：，其中 【答案】（1）表格： 选择全文 不选择全文 总计 男生 10 15 25 女生 20 5 25 总计 30 20 50 有关 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题中数据完善列联表，求，并与临界值对比分析； （2）由题意可知：选择全文的概率为，利用独立重复性概率问题分析求解. 【小问1详解】 据题意可知 选择全文 不选择全文 总计 男生 10 15 25 女生 20 5 25 总计 30 20 50 则 因此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为选择全文与性别有关. 【小问2详解】 用样本的频率视作概率，则高一年级女生选择全文的概率为， 抽到两人中恰好一人选择全文的概率为. 16. 每年的6月5日是世界环境日，某校计划在6月5日开展社区垃圾分类宣传活动，学校现从12名志愿者中选调6名志愿者去某社区作宣传，其中这12名志愿者有2名教师、4名高一学生、4名高二学生和2名高三学生.求： （1）若选调的志愿者中恰有1名教师，且不含高三学生，则不同选调方法有多少种？ （2）若选调的志愿者中必有教师，则不同选调方法有多少种？ （3）若选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，则不同选调方法有多少种？ 【答案】（1）112 （2）714 （3）160 【解析】 【分析】（1）先选1名教师，再从高一高二选5人，算出组合数即可. （2）选调的志愿者中必有教师,有两种情况，选1名教师5名学生和2名教师4名学生，算出组合数即可. （3）选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，有两种情况，教师和高三学生各选1名，高一高二各选2名学生和教师和高三学生各选2名，高一高二各选1名学生，算出组合数即可. 【小问1详解】 选调的志愿者中恰有1名教师，先选1名教师，再从高一高二选5人，共有种选法. 【小问2详解】 选调的志愿者中必有教师,有两种情况，选1名教师5名学生和2名教师4名学生， 共有种选法. 【小问3详解】 选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，有两种情况： 教师和高三学生各选1名，高一高二各选2名学生和教师和高三学生各选2名，高一高二各选1名学生， 共有种选法. 17. 已知函数. （1）求在上的最大值； （2）若函数恰有三个零点，求a的取值范围. 【答案】（1）在上的最大值为. （2）的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）求导，再利用导数求出函数的极值及端点的函数值，即可求出函数的最大值； （2）利用导数求出函数的极值，再结合题意列出不等式组即可得解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又，， 所以当时，函数取最大值，最大值为. 所以在上的最大值为. 【小问2详解】 因为， 所以， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取极小值，极小值为， 当时，函数取极大值，极大值为， 且当时，，当时，， 因为函数恰有三个零点， 所以，且， 解得，. 所以的取值范围为. 18. 中国男子篮球职业联赛（CBA）始于1995年，至今已有28个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球（前四个是普通球，最后一个球是花球），前四个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最后一个花球投中得2分，投不中得0分.全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立. （1）记球员甲投完1个普通球的得分为X，求X的方差D（X）； （2）若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投中了花球而得到了2分的概率； （3）在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计2分，摸出一个普通球小模型计1分，求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望. 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】(1)用两点分布的概率公式计算即可. (2)设出事件，分别计算P(A)、P(AB)，用条件概率公式计算得结果. (3)用超几何分布概率公式分别计算出所有可能情况的概率，再计算出数学期望. 【小问1详解】 由题设, 服从参数为 的两点分布, . 【小问2详解】 记 表示事件: “甲投完第一个三分点位的五个球得到了 2 分”; 记 表示事件: “甲投中花球”, 则 于是 【小问3详解】 由题设 值可取 , 则 于是 19. 设，. （1）求函数，的单调区间和极值； （2）若关于x不等式在区间上恒成立，求实数a的值. 【答案】（1）增区间：与；减区间：与. 极小值为，极大值为， （2） 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数，解不等式可得函数的单调递增区间，解不等式可得函数的单调递减区间，解方程，由此确定函数的极值点； （2）令，由已知可得在区间上恒成立，证明当时，函数单调递增，再判断时，不满足要求，由此确定的范围. 【小问1详解】 由题设，有，可得      令可得，所以， 所以函数在区间上单调递增； 令可得，解得，. 函数在区间上单调递增； 令可得，所以， 所以，函数在上的递增区间为：与；递减区间为：. 当时，函数取极大值，极大值为， 当时，函数取极小值，极小值为， 【小问2详解】 关于不等式在区间恒成立， 即：在区间上恒成立. 令， 则，    令 则， 由（1）知：在上的极大值为， 又， 从而在上的最大值为1，即在上恒成立. 于是在上恒成立， 所以在上单调递增； 从而， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增； 从而在上恒成立. 所以，当时在上恒成立. 当时，存在，使得， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以当时，，与已知矛盾， 综合上述，得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春季学期百色市普通高中期末教学质量调研测试 高二数学 （试卷满分：150分；考试时长：120分钟） 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效. 3. 考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，设①②③④图对应的相关系数分别为，，，，则，，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，要让电路从A处到B处只有一条支路接通，可有（ ）条不同路径. A. 4 B. 5 C. 9 D. 10 3. 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热.在第时，原油的温度（单位：）为，若，则在第2h时，原油温度的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中正确的有（ ） ①线性回归方程至少经过一个样本点； ②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大则两个变量的相关程度越强； ③在回归分析中，决定系数的模型比的模型拟合效果要好； ④残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 若的展开式中二项式系数最大的项仅有第6项，则展开式中的常数项为（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 6. 设是的导函数，已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 在某市的一次质量检测考试中，学生的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可用函数的图象拟合，且，若参加本次考试的学生共有10000人，则数学成绩超过120分的人数约为（ ） A. 600 B. 800 C. 1200 D. 1400 8. 过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 60种 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某单位在定点帮扶贫困村村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高村村民.2016，2017，2019，2020年这四年的人均年纯收入y（单位：万元）与年份代号x之间的一组数据如表所示.若y与x线性相关，且求得其线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ） 年份 2017 2019 年份代号x 4 5 7 8 人均年纯收入y 2.1 m n 5.9 A. B. 年村人均年纯收入约为7万元 C. 从年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元 D. 年的人均年纯收入残差值为 10. 设，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 展开式的偶数项系数和为64 11. 设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 不等式的解集为 C. 若恒成立，则 D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为______. 13. 已知曲线C的方程为，则曲线C在点处的切线方程为______. 14. 阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有20%的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有30%的学生每天阅读时间超过1小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占60%.现从每天阅读时间不超过1小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 新高考“”模式最大的特点就是取消了文理分科，除语文、数学、外语3门必考科目外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门中自主选择3门作为选考科目，为了了解学生对全文（政治、历史、地理）的选择是否与性别有关，某学校从高一年级的学生中随机抽取男、女生各25人进行模拟选科．经统计，选择全文的男生有10人，在随机抽取的50人中选择全文的比不选全文的多10人． （1）请完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为选择全文与性别有关； 选择全文 不选择全文 总计 男生 女生 总计 （2）将样本的频率视作概率，估计在高一年级全体女生中随机抽取两人，恰好一人选择全文的概率． 附表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参公式：，其中 16. 每年的6月5日是世界环境日，某校计划在6月5日开展社区垃圾分类宣传活动，学校现从12名志愿者中选调6名志愿者去某社区作宣传，其中这12名志愿者有2名教师、4名高一学生、4名高二学生和2名高三学生.求： （1）若选调的志愿者中恰有1名教师，且不含高三学生，则不同选调方法有多少种？ （2）若选调的志愿者中必有教师，则不同选调方法有多少种？ （3）若选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，则不同选调方法有多少种？ 17. 已知函数. （1）求在上的最大值； （2）若函数恰有三个零点，求a的取值范围. 18. 中国男子篮球职业联赛（CBA）始于1995年，至今已有28个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球（前四个是普通球，最后一个球是花球），前四个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最后一个花球投中得2分，投不中得0分.全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立. （1）记球员甲投完1个普通球的得分为X，求X的方差D（X）； （2）若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投中了花球而得到了2分的概率； （3）在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计2分，摸出一个普通球小模型计1分，求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望. 19. 设，. （1）求函数，的单调区间和极值； （2）若关于x不等式在区间上恒成立，求实数a的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $