精品解析：青海省海南藏族自治州高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年第二学期高一数学期中试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人： 审题人： 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 下列说法错误的是（ ） A. 长度为0的向量叫做零向量 B. 零向量与任意向量都不平行 C. 平行向量就是共线向量 D. 长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量 2. 已知点是平行四边形的对角线的交点，则（ ） A. B. C. D. 3. 若复数z在复平面内对应的点的坐标为，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为（ ） A. 立方米 B. 立方米 C. 立方米 D. 立方米 6. 如图，在中，，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，，，，则（ ） A. 12 B. 6 C. D. 8. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、多选题（每小题5分，共20分） 9. 已知复数，则（ ） A. z的虚部为 B. z是纯虚数 C. z的模是 D. z在复平面内对应的点位于第四象限 10. 下列命题正确的是（ ） A. 一个棱柱至少有六个面 B. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C. 棱台的各侧棱延长后交于一点 D. 圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 11. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 12. 在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，，，则C的值可以是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 在四边形中，若，且，则四边形是______形. 14. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______． 15. 的内角的对边分别为，则等于______． 16. 设i是虚数单位，则______． 四、解答题（共70分） 17. 复数，其中. （1）若复数为实数，求的值； （2）若复数为纯虚数，求的值. 18. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）求的长； （2）求的正弦值． 19. 已知向量，. （1）若，求实数k的值； （2）若，求实数k的值. 20. 已知的内角的对边分别为． （1）求边； （2）求的面积． 21. 设为两个不共线的向量，若 （1）若，且与的夹角为，求； （2）若与共线，求实数的值； 22. 已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥． （1）求它的表面积； （2）求它的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期高一数学期中试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人： 审题人： 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 下列说法错误的是（ ） A. 长度为0的向量叫做零向量 B. 零向量与任意向量都不平行 C. 平行向量就是共线向量 D. 长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的相关概念判断. 【详解】A. 规定长度为0的向量叫做零向量，故正确； B.规定零向量与任意向量都平行，故错误； C.平行向量就是共线向量，故正确； D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确； 故选：B 2. 已知点是平行四边形的对角线的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的基本概念，结合图象即可得答案. 【详解】为相反向量，故A错误； 为相反向量，故B错误； 方向相反，故，C正确； 因为平行四边形不一定为矩形，所以对角线不一定相等，故D错误. 故选：C 3. 若复数z在复平面内对应的点的坐标为，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的几何意义求得复数，然后由共轭复数相关概念求解即可． 【详解】由题可知，所以． 故选：D 4. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算即可求解. 【详解】由， 得． 故选：D． 5. 如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为（ ） A. 立方米 B. 立方米 C. 立方米 D. 立方米 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式可得. 【详解】圆柱体积为，圆锥体积为， 所以，该组合体的体积为. 故选：D 6. 如图，在中，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 7. 在△ABC中，，，，则（ ） A. 12 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义求解. 【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 8. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设该塔的高度为米，由题意，根据同角的商关系可得，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】设该塔的高度为米， 则． 在中，， 即，由，解得， 即塔高为30米. 故选：A 二、多选题（每小题5分，共20分） 9. 已知复数，则（ ） A. z的虚部为 B. z是纯虚数 C. z的模是 D. z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的有关概念判断AB，根据复数的几何意义判断CD. 【详解】对于A．由虚部定义知z的虚部为．故A错误； 对于B，纯虚数要求实部为0，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确． 故选：CD． 10. 下列命题正确的是（ ） A. 一个棱柱至少有六个面 B. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C. 棱台的各侧棱延长后交于一点 D. 圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据棱柱、正棱锥，棱台、圆锥的定义或性质即可对选项一一判断. 【详解】对于A项，三棱柱只有5个面，故A项错误； 对于B项，因正棱锥的底面时正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心，故侧棱都相等，从而每个侧面都是全等的等腰三角形，故B项正确； 对于C项，因棱台即是用平行于棱锥底面的平面截得的，故各侧棱延长后交于一点，故C项正确； 对于D项，根据圆锥母线的定义可知，圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线必是圆锥的母线，故D项正确. 故选：BCD. 11. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面共线向量的坐标表示，结合基底的定义依次求解即可. 【详解】A：零向量与任意向量共线，所以向量与共线，不能作为基底，故A不符合题意； B：由，得与不共线，能作为基底，故B符合题意； C：由，得与不共线，能作为基底，故C符合题意； D：由，得与不共线，能作为基底，故D符合题意； 故选：BCD． 12. 在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，，，则C的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由正弦定理解三角形，逐项进行判断. 【详解】由正弦定理，有，得， 由且，得或. 故选：BD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 在四边形中，若，且，则四边形是______形. 【答案】矩形 【解析】 【分析】利用向量相等可得四边形是平行四边形，根据可得，从而可得四边形是矩形. 【详解】因为，所以，且，此时，四边形是平行四边形， 又因为，所以， 所以四边形是矩形. 故答案为：矩形 14. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算，以及投影向量的概念与计算公式，即可求解. 【详解】由向量，，可得且， 所以向量在方向上的投影向量为. 故答案为：. 15. 的内角的对边分别为，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】运用正弦定理解三角形即可. 【详解】由正弦定理，得，所以. 故答案为：. 16. 设i是虚数单位，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘法及复数的模计算即可. 【详解】. 故答案为：. 四、解答题（共70分） 17. 复数，其中. （1）若复数为实数，求的值； （2）若复数为纯虚数，求的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由复数为实数列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由纯虚数的定义，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由复数为实数可得， 解得或. 【小问2详解】 由复数为纯虚数可得， 解得. 18. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）求的长； （2）求的正弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即求； （2）利用正弦定理即得. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可知： , 【小问2详解】 在中，由正弦定理可知：， 即： . 19. 已知向量，. （1）若，求实数k的值； （2）若，求实数k的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，然后即可解出； （2）由得到，然后用数量积的坐标运算即可解出. 【小问1详解】 由知，即. 【小问2详解】 由，，知. 由知， 故，即，从而. 20. 已知的内角的对边分别为． （1）求边； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求得，可求得B，进而由正弦定理可求； （2）求得角，进而求得，利用，可求的面积． 【小问1详解】 由余弦定理，因为，所以． 由正弦定理，得，所以． 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以． 所以． 21. 设为两个不共线的向量，若 （1）若，且与的夹角为，求； （2）若与共线，求实数的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把先平方再求算术平方根，代入计算即可； （2）若与共线，则存在实数，使得，根据为两个不共线的向量可列出关于和的方程，求解方程即可. 【小问1详解】 因为， 所以 . 【小问2详解】 若与共线，则存在实数，使得， 即， 则且，解得，. 22. 已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥． （1）求它的表面积； （2）求它的体积. 【答案】（1）； （2）﹒ 【解析】 【分析】(1)四棱锥表面积为四个侧面等边三角形面积和底面正方形面积之和； (2)连接、，AC∩BD＝，连接，则为棱锥的高，求出SO，根据棱锥体积公式即可求解． 【小问1详解】 ∵四棱锥的各棱长均为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形， ∴它的表面积为； 【小问2详解】 连接、，AC∩BD＝，连接，则为棱锥的高， 则， 故棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $