精品解析：湖北省咸宁市咸安区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

咸安区2024年春八年级期末文化素质检测 数学试卷 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 矩形，菱形、正方形都一定具有的性质是（　　） A. 邻角也相等 B. 四个角都直角 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 3. 下列等式成立的是（　　） A. B. C. D. 4. 在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（　　） A. ，， B. C. D. 5. 若平行四边形中两个内角的度数比为1：3，则其中较小的内角是（ ） A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 6. 在一次“我的青春，我的梦”演讲比赛中，五名选手的成绩及部分统计信息如下表，其中被遮住的两个数据依次是　　 组员及项目 甲 乙 丙 丁 戊 方差 平均成绩 得分 91 89 92 90 90 A. 88， B. 88，2 C. 90， D. 90，2 7. 如图，一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于．分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点作射线交于点若则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 甲，乙两人同时登山，两人距地面高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示．且乙提速后的速度是甲的3倍，则下列说法中，正确的有（　　）个 ① 乙提速后每分钟攀登30米 ② 乙攀登到300米时共用时11分钟 ③ 从甲，乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟 ④ 从甲，乙相距100米到乙追上甲时，甲，乙两人共攀登了230米 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．请把答案填在答题卷相应题号的横线上）． 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围为________． 12. 点、是直线y=2x+b上的两点，则___（填“＞”或“=”或“＜”）． 13. 将一组数据按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，x，6，8，若中位数为5，则这组数据的众数为______． 14. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，若平分交于点E，且，连接，则_______度． 15. 如图，在边长为4的正方形中，Q是边上的一点，且，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出下列结论： ①最小值为2；②； ③； ④周长的最小值为6． 其中正确的结论有_____________．（把你认为正确结论的序号都填上） 三、专心解一解（本大题共9小题，满分75分．请认真读题，冷静思考．解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置） 16. 计算： （1）； （2） 17. 如图，，平分，且交于点D，过点D作交于点C．求证：四边形是菱形． 18. 先化简再求值：当时，求的值． 19. 如图，在四边形中，，且． （1）求的度数； （2）若，则四边形面积为_____． 20. 为提高学生安全防范意识和自我防护能力，立德中学开展了以生命安全为主题的教育活动，为了解本次活动效果，进行了生命安全知识测试，并对成绩作出如下统计分析． 【收集数据】从七年级、八年级各随机抽取40名学生的测试成绩．（满分100分，成绩都是整数且不低于80分，90分及以上为优秀） 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩分别进行整理，分成A，B，C，D四组（用x表示测试成绩），A组：，B组：，C组：，D组：． 【描述数据】根据统计数据，绘制成如下统计图． 七年级抽取的学生成绩条形统计图 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 【分析数据】七年级、八年级抽取的学生成绩分析统计如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 91 90 88 八年级 91 91 91 根据以上统计数据，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）假设该校八年级学生有800人，估计该年级在这次测试中成绩为优秀的学生人数； （3）从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 21. 如图是边长为1个单位长度的小正方形纸成的倒格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中B、C，D都是格点，点A是线段（B的绳长线与栅格线的交点，仅用无刻度的度尺在给定的网格中画图． （1）把线段向右平移7个单位长度得到线段，画出线段： （2）作点F，使四边形为平行四边形； （3）在上找一点H，使． 22. 如图中的折线表示某汽车的耗油量y（单位：）与速度x（单位：）之间的函数关系（），已知线段表示的函数关系中，该汽车的速度每增加，耗油量增加． （1）当该汽车的行驶速度为时，汽车的耗油量为______． （2）求线段所对应的函数解析式，无需写出自变量x的取值范围． （3）求该汽车的行驶速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？ 23. 某文具专卖店计划购进A，B两种笔记本共100个，要求B种笔记本数量不低于A种笔记本数量的且不高于A种笔记本数量的，已知A，B两种笔记本的进货价分别是10元/个，15元/个，设购进A种笔记本x个． （1）求该专卖店计划购进这两种笔记本所需总费用y（元）与x之间的函数关系式： （2）求该专卖店按计划购进这两种笔记本有多少种满足条件的方案？ （3）由于市场行情波动，实际进货时，A笔记本单价上调了元/个（a＞0），B笔记本单价下调了元/个，此时专卖店购进这两种笔记本所需的最少费用为1215元，求a的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点C恰好落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D． （1）线段之长为_______； （2）求直线所对应的函数解析式； （3）若点M是直线与直线交点，则在x轴上是否存在点N，使以M，B，N， C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 咸安区2024年春八年级期末文化素质检测 数学试卷 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含有开的尽的因式，被开方数不含有分母，即可判断． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、不是最简二次根式，不符合题意； C、不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 2. 矩形，菱形、正方形都一定具有的性质是（　　） A. 邻角也相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形，菱形，正方形的性质进行分析即可． 【详解】因为矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形， 所以一定具有的性质是对角线互相平分， 故选：Ｄ． 【点睛】本题考查了特殊四边形的性质，熟知以上性质是解题的关键． 3. 下列等式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查二次根式的运算和化简，掌握二次根式的运算法则和性质是解决问题的关键． 根据二次根式的性质化简和运算的法则，逐一计算判定即可． 【详解】解：A、没有同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（　　） A. ，， B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、， 不能组成三角形， 故此选项不符合题意； B、， ， ， 是直角三角形， 故此选项符合题意； C、， 是等腰三角形，不一定是直角三角形， 故此选项不符合题意； D、，， ， 不是直角三角形， 故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 若平行四边形中两个内角的度数比为1：3，则其中较小的内角是（ ） A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】A 【解析】 【分析】首先设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°，由平行四边形的邻角互补，即可得x＋3x＝180，继而求得答案． 【详解】解：∵平行四边形中两个内角的度数之比为1：3， ∴设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°， ∴x＋3x＝180， 解得：x＝45， ∴其中较小的内角是45°． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的邻角互补是解答此题的关键． 6. 在一次“我的青春，我的梦”演讲比赛中，五名选手的成绩及部分统计信息如下表，其中被遮住的两个数据依次是　　 组员及项目 甲 乙 丙 丁 戊 方差 平均成绩 得分 91 89 92 90 90 A. 88， B. 88，2 C. 90， D. 90，2 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案． 【详解】根据题意得： 分， 则丙的得分是88分； 方差． 故选B． 【点睛】本题考查了方差：一般地设n个数据，，，的平均数为，则方差，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键. 7. 如图，一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出点坐标． 首先把代入，求出点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式解集即可． 【详解】解：把点代入得， ， 解得：， ， 不等式的解集为． 故选：A． 8. 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于．分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点作射线交于点若则的长为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如下图，根据作图可得AE与BF相互垂直平分，在Rt△ABO中，利用勾股定理可求得AO的长，从而得出AE的长． 【详解】如下图，AE与BF交于点O，连接EF 由作图可知，AE与BF相互垂直平分 ∵BF=6，∴BO=3 ∵AB=5 ∴在Rt△ABO中，AO=4 ∴AE=8 故选：C． 【点睛】本题考查垂直平分线的画法和勾股定理，解题关键是根据作图，判断出AE与BF相互垂直平分． 9. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对勾股定理的理解能力，全等三角形的判定与性质，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键． 根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到的面积的面积的面积． 【详解】解：如图， ，， ， 在和中， ， ， ， 根据勾股定理得，得． 的面积的面积的面积． 故选：C． 10. 甲，乙两人同时登山，两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示．且乙提速后的速度是甲的3倍，则下列说法中，正确的有（　　）个 ① 乙提速后每分钟攀登30米 ② 乙攀登到300米时共用时11分钟 ③ 从甲，乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟 ④ 从甲，乙相距100米到乙追上甲时，甲，乙两人共攀登了230米 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，函数图象，待定系数法求函数解析式，以及两直线交点问题，读懂题意，理解图象中每个拐点的意义是解题的关键． 根据图象可得甲的速度，进而得出乙提速后的速度可判定①；利用乙提速后的速度可得提速后所用时间，进而得出乙攀登到300米时共用时间可判定②；分别求出甲和乙提速后和之间的函数关系式，进而判断③④． 【详解】解：甲的速度为：（米分）， （米分）， 即乙提速后每分钟攀登30米，故①正确； 乙攀登到300米时共用时：（分钟），故②正确； 设，， 由函数图象得：， 解得， ， 乙提速后，乙的速度是甲登上速度的3倍， 乙提速后的速度为：30米分， 乙从到的时间为：， ， ， ， 解得， ， 当时， 则， 解得， 即从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟，故③正确； 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了：（米，故④正确． 故选：D． 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．请把答案填在答题卷相应题号的横线上）． 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，可得，据此即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 点、是直线y=2x+b上的两点，则___（填“＞”或“=”或“＜”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据k＞0时，y随x增大而增大即可解答． 【详解】解：在直线 y=2x+b中，k=2＞0， ∴ 随x增大而增大， 又∵-1＜2， ∴y1＜y2， 故答案为：＜． 【点睛】本题主要考查一次函数图象的增减性，根据k值判断一次函数图象的增减性是解题的关键． 13. 将一组数据按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，x，6，8，若中位数为5，则这组数据的众数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数的定义，解答本题的关键是掌握众数和中位数的定义．根据中位数的定义，求出x的值，再由一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，可得出答案． 【详解】解：∵这组数据的中位数是5， ∴， 解得：， 这组数据为：1，3，4，6，6，8，因为6出现的次数最多，故众数为6． 故答案为6． 14. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，若平分交于点E，且，连接，则_______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是证明是等边三角形． 由矩形，得到，根据平分，得到等边三角形，，求出，根据三角形的内角和定理求出即可由求出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，，， ，， 平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ∵， ． ∴． 故答案为：45． 15. 如图，在边长为4的正方形中，Q是边上的一点，且，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出下列结论： ①的最小值为2；②； ③； ④周长的最小值为6． 其中正确结论有_____________．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】连接，当时，即时，的最小值等于，即可判定①；延长交于点，由，，即可判定②；延长交于H，证明，即可判定③；连接交于P，此时最小，最小值为长，则周长最小，利用勾股定理求出的长，即可求出周长最小值，即可判定④． 【详解】解：连接， ∵正方形 ∴，， ∴ ∵于点E，于点F， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴当最小时，最小， 则当时，即时， 的最小值等于，故①错误； 延长交于点， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∵于点F， ∴，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， 在和中，，， ； 和中，，， ，故②正确； 延长交于H， ∵正方形， 平分， ∵，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∴， ，故③正确； 连接交于P，如图， ∵正方形， ∴点A与点B关于对称， ∴， ∴ 根据两点之间线段最短可得，此时最小，最小值为长， ∵周长，， ∴最小时，周长最小， 在中，， ∴周长最小值． 故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题为四边形综合题，综合考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，最短路径问题；充分利用正方形是轴对称图形是解题的关键． 三、专心解一解（本大题共9小题，满分75分．请认真读题，冷静思考．解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简二次根式，再计算二次根式的除法运算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的除法运算，二次根式的加减运算，掌握二次根式的加减乘除运算的运算法则是解本题的关键． 17. 如图，，平分，且交于点D，过点D作交于点C．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定．先证明四边形平行四边形，利用平行四边形的性质和角平分线的定义求得，推出，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：∵,， ∴四边形平行四边形， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 18. 先化简再求值：当时，求的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是掌握． 先用化简，再将时代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 19. 如图，在四边形中，，且． （1）求的度数； （2）若，则四边形的面积为_____． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． （1）连接，设、、、分别为、、、，根据等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，计算即可； （2）根据（1）的结论，利用三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：连接， 设、、、分别为、、、， ，， ，， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ，，， 由勾股定理得， 由（1）知： ∴． 20. 为提高学生安全防范意识和自我防护能力，立德中学开展了以生命安全为主题的教育活动，为了解本次活动效果，进行了生命安全知识测试，并对成绩作出如下统计分析． 【收集数据】从七年级、八年级各随机抽取40名学生的测试成绩．（满分100分，成绩都是整数且不低于80分，90分及以上为优秀） 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩分别进行整理，分成A，B，C，D四组（用x表示测试成绩），A组：，B组：，C组：，D组：． 【描述数据】根据统计数据，绘制成如下统计图． 七年级抽取的学生成绩条形统计图 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 【分析数据】七年级、八年级抽取的学生成绩分析统计如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 91 90 88 八年级 91 91 91 根据以上统计数据，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）假设该校八年级学生有800人，估计该年级在这次测试中成绩为优秀的学生人数； （3）从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 【答案】（1）见解析 （2）520人 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形推统计图，用样本估计总体，平均数、中位数、众数、方差的意义等等： （1）先求出七年级组别D的人数，进而补全统计图即可； （2）用800乘以八年级样本中成绩为优秀的人数占比即可得到答案； （3）根据平均数、中位数、众数、方差的意义求解即可． 【小问1详解】 解：七年级组别D的人数为人， 补全统计图如下： 【小问2详解】 解：人， ∴估计该年级在这次测试中成绩为优秀的学生人数为520人； 【小问3详解】 解：平均数表示两个年级40人成绩的平均成绩；众数表示两个年级40人中得分在某个分数的人数最多等等． 21. 如图是边长为1个单位长度的小正方形纸成的倒格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中B、C，D都是格点，点A是线段（B的绳长线与栅格线的交点，仅用无刻度的度尺在给定的网格中画图． （1）把线段向右平移7个单位长度得到线段，画出线段： （2）作点F，使四边形为平行四边形； （3）在上找一点H，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换，勾股定理，平行四边形判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的射线解决问题． （1）利用平移变换的性质作出图形即可； （2）取格点Q，连接，再延长交格线于F，则点F即为所求； （3）取格点P，连接，延长交与点，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图，四边形，点即为所求． 【小问3详解】 解：如图，点即为所求． 22. 如图中的折线表示某汽车的耗油量y（单位：）与速度x（单位：）之间的函数关系（），已知线段表示的函数关系中，该汽车的速度每增加，耗油量增加． （1）当该汽车的行驶速度为时，汽车的耗油量为______． （2）求线段所对应的函数解析式，无需写出自变量x的取值范围． （3）求该汽车的行驶速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？ 【答案】（1） （2） （3）速度是时，该汽车的耗油量最低，最低是． 【解析】 【分析】（1）利用速度为的耗油量为，根据该汽车的速度每增加，耗油量增加进行计算即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出段的函数关系式，再联立段的函数关系式和段的函数关系式求出点B的坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵线段表示的函数关系中，该汽车的速度每增加，耗油量增加， ∵， ∴速度为时，汽车的耗油量为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设段的解析式为：， 把和代入中得：， 解得， ∴段一次函数的解析式为：， 【小问3详解】 解：设的解析式为：， 把和代入中得：， 解得， ∴段一次函数的解析式为：； 联立， 解得， 答：速度是时，该汽车的耗油量最低，最低是． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题关键是读懂题意，能用待定系数法求函数的解析式，能通过联立两个解析式求交点坐标． 23. 某文具专卖店计划购进A，B两种笔记本共100个，要求B种笔记本数量不低于A种笔记本数量的且不高于A种笔记本数量的，已知A，B两种笔记本的进货价分别是10元/个，15元/个，设购进A种笔记本x个． （1）求该专卖店计划购进这两种笔记本所需总费用y（元）与x之间的函数关系式： （2）求该专卖店按计划购进这两种笔记本有多少种满足条件的方案？ （3）由于市场行情波动，实际进货时，A笔记本单价上调了元/个（a＞0），B笔记本单价下调了元/个，此时专卖店购进这两种笔记本所需的最少费用为1215元，求a的值． 【答案】（1） （2）6种 （3）1.2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题目的条件列出函数解析式并准确找到自变量的取值范围和一次函数的性质． （1）根据单价乘以数量等于总价，表示出购买、两种笔记本的总价，然后将其相加就是总共所需要的费用； （2）根据题目条件B种笔记本数量不低于A种的，且不高于A种的，可以构建不等式组，接出不等式组就可以求出的取值范围，从而得到购买方案； （3）根据题目条件，构建购买这两种笔记本所需最少费用为1215元的不等式，然后分情况讨论，最后就可确定出a的值． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 【小问2详解】 解：购进A种笔记本x个，则购进B种笔记本个，根据题意，得 解得： ∵x整数， ∴，76，77，78，79，80． 则25，24，23，22，21，20． 即方案一：种笔记本75个，种笔记本25个， 方案二：种笔记本76个，种笔记本24个， 方案三：种笔记本77个，种笔记本23个， 方案四：种笔记本78个，种笔记本22个， 方案五：种笔记本79个，种笔记本21个， 方案六：种笔记本80个，种笔记本20个， 综上：购买两种笔记本有6种方案． 【小问3详解】 解：由题意，费用 当时，，y随x增大而减小， ∵ ∴当时，有最小值，可得， 解得（舍去）， 当时，，y随x增大而增大， ∵ ∴当时， 有最小值，， 解得 所以当时，购买这两种笔记本所需最少费用为1215元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点C恰好落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D． （1）线段之长为_______； （2）求直线所对应的函数解析式； （3）若点M是直线与直线的交点，则在x轴上是否存在点N，使以M，B，N， C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）10 （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得出点的坐标及线段，的长； （2）设，则，，，利用勾股定理可求出值，进而可得出点的坐标，再根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线所对应的函数表达式； （3）先求出的解析式，从而可求得点M坐标，进而利用平行四边形的性质解答即可． 【小问1详解】 解： 四边形是矩形， ，轴，轴， 的坐标为，的坐标为， 点的坐标为， ∴． 【小问2详解】 解：设，则， 由折叠得：，，， ∴， ， ， ，即， ， ， 点坐标为． 设直线所对应的函数表达式为， 将，代入，得： ， 解得， 直线所对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：过作于， 由（2）可知：，，， 在中，， 即， 解得：， 在中，， 所以点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入解析式得， 解得：， 所以的解析式为：， 把代入的解析式，可得：， 即， ∴， 当以、B、、为顶点的四边形是平行四边形时， ， 所以或， ∴存在，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、平行四边形的性质，三角形面积，点的坐标；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求一次函数的解析式和平行四边形的性质才能得出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$