随机现象与样本空间及古典概率讲义-2024年上海市高二数学暑假班

随机现象与样本空间及古典概率 教学目标 1、区分随机现象与确定性现象； 2、理解样本空间、基本事件、事件概念及它们间关系； 3、掌握古典概率模型满足两个条件及其求概率公式； 4、了解事件间的关系：包含、互斥、对立关系；事件间的运算：、； 5、掌握概率的可加性：如果，那么； 重 点 1、掌握古典概率模型满足两个条件及其求概率公式； 2、掌握概率的可加性：如果，那么； 难 点 对概率模型的判定，合理选用概率公式 （一）随机现象 1、确定性现象：具确定性的现象，对其可以预见确切的结果称为确定性现象. 2、随机现象：具不确定性的现象称为随机现象，或者说具有随机性. 3、随机现象的分类：（1）可随意重复的，比如掷硬币、掷骰子、抽签等，称为随机试验；（2）不可随意重复的，比如天气、动物寿命等. 例1、（1）以下现象中，随机现象有____________，确定性现象有_____________. ①在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两次，正反两面都出现； ②明天下雨； ③同种电荷相互排斥； ④平面四边形的内角和是360°； 1、下列现象:①连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点；②抛一石块；③明年小米又大一岁；④走到十字路口，遇到红灯，下落.其中是随机现象的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 （二）样本空间与事件 1、样本空间 定义：一个随机现象中依某个角度观察其所有可能出现（发生）的结果所组成的集合称为一个样本空间（sample space）.用表示，其中的元素称为基本事件（elementary event）或者样本点（sample point）. 说明：（1）样本空间中的基本事件须是互斥的，即任何两个均不会同时发生； （2）样本空间可以是有限集，也可以是无限集； 2、事件 定义：一个事件是指满足所述条件的所有基本事件的集合；如果其中某个基本事件发生，就说这个事件发生；因为样本空间是基本事件的全体，所以事件是样本空间的一个子集. 例2、选择合适的表示方法，写出下列随机试验的样本空间： ①种下一粒种子，观察是否发芽； ②甲、乙两队进行一场足球比赛，观察比赛结果（可以是平局）； ③连续掷一颗骰子，直到出现5点，观察掷的次数． 例3、（1）掷一个骰子，观察朝上的面的点数，写出下列事件的集合表示： ①A：出现奇数点； ②B：点数大于3. （2）从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对，其中x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字. ①写出样本空间； ②写出“第1次取出的数字是2”这一事件的集合表示. 1、抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的基本事件是(　　) A．一颗是3点，一颗是1点 B．两颗都是2点 C．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 D．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点 2、连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.（与先后顺序有关） （1）写出这个试验的样本空间及样本点的个数； （2）写出事件“恰有两枚正面向上”的集合表示. 3、从含有5件次品的100件产品中任取3件，观察其中的次品数. （1）选择合适的表示方法，写出样本空间； （2）写出事件A：“取到的3件产品中没有次品”的集合表示； （3）说明事件所表示的实际意义. 3、必然事件与不可能事件： 必然发生的事件称为必然事件，它对应的子集就是样本空间；不可能发生的事件称为不可能事件，对应的子集是空集；其中必然事件与不可能事件统称为确定事件，其余的称为不确定事件. 例4、给出下列四个命题： ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件；③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件． 其中正确命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 1、如果随机试验的样本空间是，且A是一个必然事件，B是一个不可能事件. （1）写出A与的关系； （2）写出B与的关系. 2、下列给出五个事件: ①某地2月3日下雪；②函数y=ax(a>0，且a≠1)在定义域上是增函数；③实数的绝对值不小于0； ④在标准大气压下，水在1℃结冰；⑤若a，b∈R，则ab=ba. 其中确定的事件是_____________；不确定的事件是_____________. （三）等可能性与概率 1、等可能性：若一个随机试验的所有结果出现的可能性一样，则称之为具有等可能性； 2、古典概率模型：（1）包含有限个可能出现的结果（基本事件）；（2）这些结果出现是等可能的； 3、古典概率模型公式：.（其中表示事件A中的基本事件个数，而表示样本空间中的基本事件个数） 说明：上式中A事件的概率是事件A中元素个数与样本空间中元素个数的比值. 4、概率性质1：必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 即 注意：概率是1不一定是必然事件，概率是0也不一定是不可能事件，这个在大学里会有详细的解释. 概率性质2：设是一个事件，那么. 例5、下列试验是古典概率模型的是（ ） A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球} B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0 C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面 D．某人射击中靶或不中靶 例6、（1）若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（ ） A． B． C． D． （2）先后三次抛掷同一枚硬币，若正面朝上，则记为1；若反面朝上，则记为0． ①试写出这个试验的样本空间； ②写出“三次结果对应数字之和为1”所包含的样本点； ③记事件为“三次结果对应数字之和不小于2”，求． 例7、按照国务院应对新型冠状病毒肺炎疫情联防联控机制医疗救治组的安排，某市组派医疗小组援助湖北开展新冠肺炎防治医疗救治工作，其中A医院推荐了2名医护人员，B医院推荐了4名医护人员，从这6名医护人员中随机抽取3人组建医疗小组参与新冠肺炎防治医疗救治工作. （1）求恰有2名医护人员来自B医院的事件数； （2）求A医院至少有1名医护人员入选医疗小组的概率. 例8、甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． （1）设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间； （2）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，则乙胜．你认为此游戏是否公平？说明你的理由． 1、一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球． （1）共有多少个样本点？ （2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？ 2、在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________． 3、从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是________．若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是________． （四）事件关系和运算 设事件A对应于子集A，事件B对应于子集B： 1、事件间的包含关系：如果A的基本事件都在B中，那么A发生必然B发生，或等价于B不发生则A也不发生；此时，称B包含A或者A包含于B，即. 2、事件间的运算： （1）两个事件A、B至少有一个发生，记为； （2）两个事件A、B同时发生，记为； 3、事件间的互斥关系：如果A与B没有共同的基本事件，即两个子集不相交，记为，那么这两个事件不可能同时发生，或者说互斥. 4、事件间的对立关系：“事件A发生”的否定就是“事件A不发生”，称“事件A不发生”为“事件A发生”的对立事件，简称为“非A”，记为；显然A与不会同时发生，但肯定有一个会发生，即 . 5、，. 例9、（1）抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A＝{出现奇数点}，事件B＝{出现2点}，事件C＝{出现奇数点或2点}，则下列成立的是___________. ①AC ② ③ ④B∩C＝ （2）一个射手进行一次射击，事件A:命中环数大于8;事件B:命中环数大于5，则（ ） A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件 C．AB D．AB 例10、（1）抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，则（ ） A． B． C．表示向上的点数是1或2或3 D．表示向上的点数是1或2或3 （2）柜子里有3双不同的鞋，分别用表示6只鞋,如果从中随机地取出2只，那么 （I）写出试验的样本空间; （II）求下列事件的概率，并说明它们的关系; ①A=“取出的鞋不成双” ②B=“取出的鞋都是左脚的”； ③C=“取出的鞋都是一只脚的”； ④D=“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”. 1、对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（ ） A． B． C． D． 2、一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件： 事件A：恰有一件次品； 事件B：至少有两件次品； 事件C：至少有一件次品； 事件D：至多有一件次品. 并给出以下结论： ①；②是必然事件；③；④. 其中正确结论的序号是（ ） A．①② B．③④ C．①③ D．②③ 3、抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：=“点数为i”，其中；=“点数不大于2”，=“点数大于2”，=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确. （1）与互斥；（2），为对立事件；（3）；（4）；（5），； （6）；（7）；（8）E，F为对立事件；（9）；（10） 4、用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.设事件“三个圆的颜色全不相同”，事件“三个圆的颜色不全相同”，事件“其中两个圆的颜色相同”，事件“三个圆的颜色全相同”. （1）写出试验的样本空间. （2）用集合的形式表示事件. （3）事件与事件有什么关系？事件和的交事件与事件有什么关系？并说明理由. （五）可加性 设事件A、B不同时发生，即； 1、概率的可加性：两个不可能同时发生的事件至少有一个发生的概率是这两个事件的概率之和；换言之， 如果，那么. 特殊地，取，由于，则有下面性质； 对任一给定事件，其发生的概率与不发生的概率的和总是1；换言之有，. 2、如果是个两两互斥的事件，那么. 例11、（1）高二某班的50名同学参加了2020年《学业水平测试》化学科目的考试，考试分A，B，C，D四个等级．考试结果如下：获得D等级的同学的概率为0.02，获得B等级以下的同学的概率为0.7.则获得C等级的同学的概率是（ ） A．0.3 B．0.68 C．0.7 D．0.72 （2）现有8名翻译人员，其中A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语、韩语的翻译人员各一人组成一个翻译小组，则B1和C1不全被选中的概率为________． 例12、在一个袋子中放入大小相同的3个白球，1个红球，摇匀后随机摸球． （1）摸出的球不放回袋中，求第1次或第2次摸出红球的概率； （2）摸出的球放回袋中，连续摸2次，求第1次或第2次摸出的球都是红球的概率． 1、高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则正确的有________. （1）恰有一名参赛学生是男生的概率为 （2）至少有一名参赛学生是男生的概率为 （3）至多有一名参赛学生是男生的概率为 （4）两名参赛学生都是男生的概率为 2、袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 随机现象与样本空间及古典概率 ( 第 1 页 共 2 页 )—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$