锥体讲义-2024年上海市高二数学暑假班

锥体 教学目标 1、理解锥体的定义，理解锥体的构成元素面、棱和顶点的定义； 2、理解棱锥及其底面、侧面、侧棱、高的定义； 3、理解圆锥及其底面、侧面、母线、高的定义； 4、熟记锥体的体积公式，并能准确解决相应的数学问题； 5、熟记锥体的面积公式，会用侧面展开图的思想去求相应柱体的侧面积. 重 点 1、熟记锥体的体积公式，并能准确解决相应的数学问题； 2、熟记锥体的面积公式，会用侧面展开图的思想去求相应柱体的侧面积. 难 点 以锥体为载体来求解点线面之间关系和体积面积比值、最值问题 （一）锥体 1、棱锥 定义：如下图，可以发现它们有如下的共同特征：有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥． 其中，这个三角形或平面多边形称为棱锥的底面； 其余的面称为棱锥的侧面； 不在底面上的棱称为棱锥的侧棱； 所有侧棱的公共点称为棱锥的顶点； 顶点到底面的距离叫做棱锥的高； 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥. ( 棱锥常用表示其顶点的字母与表示其底面多边形的记号之 间加短横来记，例如， 左图第一个可记为 ，左边的 六 棱锥可记为 ． ) 例1、下列几何体中是四棱锥的是　　 A． B． C． D． 例2、下列说法中，正确的是　　 A．棱锥的各个面都是三角形 B．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 C．棱锥的侧棱平行 D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 例3、下面是关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥； ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥； ④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥； 其中，真命题的编号是______________（写出所有真命题的编号）. 1、三棱锥的顶点个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 2、给出下列命题： ①在正方体中任意选择四个不共面的顶点，它们可能是正四面体的四个顶点； ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③一个棱锥可以有两个侧棱和底面垂直 其中正确命题的序号是______________． 3、具有下列性质的三棱锥中，哪一个是正棱锥？　　 A．顶点在底面的射影到底面各顶点的距离相等 B．底面是正三角形，且侧面都是等腰三角形 C．相邻两条侧棱间的夹角相等 D．三条侧棱相等，侧面与底面所成角也相等 2、圆锥 定义： 将直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥．其中，所在直线叫做圆锥的轴，点叫做圆锥的顶点，直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，斜边叫做圆锥的母线，圆锥的顶点到底面间的距离（即犃犗的长度）叫做圆锥的高． ( 圆锥可用表示顶点的字母与表示底面圆心的字母之间加短 横来记，如 左 图圆锥可记为圆锥 ) ( 【性质】 根据圆锥的形成过程易知： ① 圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交于圆锥的顶点； ② 每条母线与轴的夹角都相等. ) 3、台体 定义： 把一个锥体用平行于底面的平面截去含顶点的小锥体后，剩下的几何体称为台体． 如下图所示；大圆锥截去小圆锥后剩下的几何体称为圆台． 由圆锥的形成过程，容易看出圆台是由直角梯形绕直角边旋转一周所形成的几何体． 类似地，如果棱锥被一个平行于底面的平面所截，那么截去一个小棱锥后剩下的多面体称为棱台． 其中，由正棱锥截得的棱台称为正棱台． 与台体有关的问题，我们一方面可以转化为锥体的问题来解决，另一方面也可以把锥体和柱体看作是台体的极端情形. 例4、下列说法正确的是　　 A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 例5、给出下列命题： ①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ②圆锥有无数条母线； ③圆锥的母线是形成圆锥的直角三角形的斜边； ④圆锥的侧面展开图是三角形． 其中正确命题的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 例6、给出下列命题： ①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等； ②棱台的各侧棱不一定相交于一点； ③如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则连结它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台； ④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线． 其中正确的个数为　　 A．3 B．2 C．1 D．0 1、如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是　　 A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④不是棱柱 2、下列关于圆锥的说法中，错误的是　　 A．圆锥的轴截面是等腰三角形 B．圆锥的侧面展开图是扇形 C．以直角三角形一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 D．用平行于圆锥底面的平面截圆锥可以得到圆台 3、有下列说法： ①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台； ②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台； ③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台． 其中正确说法的序号是_______________． （二）锥体的体积和表面积 1、锥体的体积 任一棱锥的体积都是与它同底等高的柱体的体积的三分之一，由此得到棱锥的体积公式： 其中，为棱锥底面的面积，为棱锥的高同理: 利用棱锥的体积公式和祖暅原理，可以进一步得出圆锥的体积公式： 其中，为底面半径 2、锥体的表面积（课本只讨论正棱锥和圆锥的表面积） 正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高，记为．如果棱锥底面多边形的周长是，底面面积是，那么容易求得棱锥的侧面积和表面积分别是： 对于圆锥，我们可以采用求圆柱侧面积的方法，将其沿一条母线剪开，展开在一个平面内．可以看到，圆锥侧面的平面展开图是一个以圆锥母线为半径的扇形，扇形的弧长就等于圆锥底面的圆周长，如图所示．设圆锥的底面圆半径为，则扇形的中心角（弧度）．由扇形的面积公式，可得 所以，圆锥的表面积公式为： 椎体体积 例7、由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21米，底宽34米，则该金字塔的体积为　　 A． B． C． D． 例8、在直角三角形中，，，．以边所在直线为旋转轴，将该直角三角形旋转一周，所得几何体的体积是　　 A． B． C． D． 例9、若一个圆台如图所示，则其体积等于　　 A． B． C． D． 1、已知在三棱锥中，、都是等边三角形，平面平面，，则三棱锥体积为______________． 2、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”若圆周率约为3，则可估算出米堆的体积约为　　 A．9立方尺 B．18立方尺 C．36立方尺 D．72立方尺 3、斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成．若棱台两底面面积分别是，，高为，长方体形凹槽的体积为，斗的密度是．那么这个斗的质量是　　注：台体体积公式是． A． B． C． D． 锥体表面积 例10、侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为时，该三棱锥的表面积是　　 A． B． C． D． 例11、已知圆锥的轴截面为正三角形，且边长为2，则圆锥的表面积为　　 A． B． C． D． 例12、“斗”不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，如图所示，其可近似看作正四棱台，上底面是边长为的正方形，下底面是边长为的正方形，高为．“斗”的面的厚度忽略不计，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为　　 A． B．16 C． D．4 1、已知正六棱锥的底面边长为2，高为1，则此正六棱锥的侧面积为______________． 2、若圆锥的母线与高的夹角为，且底面半径为，则该圆锥的侧面积为______________． 3、圆台的上下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图对应扇形的圆心角为，那么圆台的表面积是　　 A． B． C． D． （三）锥体综合运用 例13、给出命题： （1）三棱锥的四个面都可以是直角三角形； （2）有两个侧面都垂直于底面的四棱柱为直四棱柱； （3）三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直． 其中正确的命题是______________（填正确的命题的序号） 例14、侧棱长为的正三棱锥中，，过点作截面，则截面周长的最小值为______________． 例15、如图，正方体，的棱长为4，动点，在棱上，动点，分别在棱，上．若，，．，，大于零），则四面体的体积　　 A．与，，都有关 B．与有关，与，无关 C．与有关，与，无关 D．与有关，与，无关 例16、在四棱锥中，平面平面，，，，． （1）求证：； （2）若，求三棱锥的高． 例17、如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高． （1）求圆柱的表面积和三棱锥的体积； （2）求点到平面的距离． 1、若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则______________．（写出所有正确结论的编号） ①四面体每个面的面积相等 ②四面体每组对棱相互垂直 ③连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分 ④从四面体每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长 2、如图所示，已知在圆锥中，底面半径，母线长，为母线上的一个点，且，从点拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点，求绳子最短时，顶点到绳子的最短距离______________（用表示）． 3、如图，直线是互相垂直的异面直线和的公垂线，若，，则四面体的体积的最大值为______________． 4、如图，在三棱锥中，底面，是边长为4的正三角形，侧棱与底面所成角为． （1）求三棱锥的体积； （2）若为中点，求异面直线与所成角的大小． 5、如图所示，圆锥的底面半径为2，是圆周上的定点，动点在圆周上逆时针旋转，设，是母线的中点．已知当时，与底面所成角为． （1）求该圆锥的侧面积； （2）若，求的值． 锥体 ( 第 1 页 共 2 页 )—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$