平面与平面的位置关系讲义-2024年上海市高二数学暑假班

平面与平面的位置关系 教学目标 1、掌握平面与平面平行的定义、判定定理和性质定理，并能运用这些知识进行论证或解题； 2、掌握二面角平面角的定义及作法求值． 3、掌握平面与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用这些知识进行论证或解题； 重 点 1、理解线线平行、面面平行之间的转化以及平行与垂直之间的转化的辩证关系； 2、体会求二面角的过程就是将空间的角转化为平面上的角的“化归”思想． 难 点 1、理解线线平行、面面平行之间的转化以及平行与垂直之间的转化的辩证关系； 2、体会求二面角的过程就是将空间的角转化为平面上的角的“化归”思想． （一）平面与平面平行 1、平面与平面位置关系 位置关系 定义 符号表示 平行 平面与平面没有公共点 ∥ 相交 平面与平面有且仅有一条公共直线 例1、（1）设，是不同的直线，，，是三个不同的平面，则正确命题是___________. ①若，，，则 ②若，，，则 ③若，，则 ④若，，，则 （2）已知，表示两条直线，，，表示三个不重合的平面，给出下列命题： ①若，，且b，则； ②若，相交且都在，外，，bβ，则； ③若，β，则； ④若⊂，，，则b. 其中正确命题的序号是________. 1、已知直线m⊂平面α，则“平面α∥平面β”是“m∥β”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2、如图，在正方体中，分别为的中点，则下列命题中错误的是（ ） A． B．与是异面直线 C．平面平面 D．平面 2、平面与平面平行的判定定理： 如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 图形语言： 符号语言：且，那么 证明：（反证法）假设不平行于，那么与相交于直线.由直线与平面平行的性质定理可知，直线及均平行于，从而．这样与已知与相交相矛盾。故假设不成立，即. 例2、以下四个命题中，正确的命题个数为（ ） ①在平面内有两条直线和平面平行，那么这两个平面平行； ②在平面内有无数条直线和平面平行，那么这两个平面平行； ③平面内的三个顶点在平面的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行； ④平面内有无数个点到平面的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例3、（1）如图所示，四边形ABCD为平行四边形，且点P在平面ABCD外，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD．求证：平面MNQ平面PBC． （2）在长方体中，已知，为的中点；在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由； 例4、在棱长为2的正方体中，为的中点.当点在平面内运动时，有平面，则线段的最小值为（ ） A．1 B． C． D． 1、如图所示，在正方体中，E，F，G，H分别是的中点．求证： （1）； （2）平面： （3）平面平面． 2、如图是空间四面体的展开图，且每个棱长都相等，，.若且，则下列结论不正确的有（ ） A．平面平面 B．与的夹角为 C． D．与是异面直线 3、如图，四边形ABCD是边长为的菱形，DD1⊥平面ABCD，BB1⊥平面ABCD，且BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点．证明：平面BDEF∥平面CB1D1； 3、两个平面平行的性质定理： 如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 图形语言： 符号语言：若，，则 证明：设平面与平面相交与直线，平面与平面相交与直线，因为，所以交线与无交点，又因为与都在平面上，所以. 4、几个重要结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行 （2）如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另外一个 （4）夹在两个平行平面中的平行线段相等 （5）经过平面外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 注：①两个平面平行的判定定理中必须是“两条”“相交”直线才能得出面面平行，把条件改成“一条”、“两条”、“无数条”都不一定成立 ②面面平行则面内的所有直线都平行与另一个平面，但是分别在两个平行平面内的两条直线不一定平行 例5、（1）已知 ， ， ， 且 ，则 ________. （2）如图所示，P是所在平面外一点，平面平面，分别交线段于，若，则________. 例6、在长方体中，，，，则直线BC到面的距离为________；直线到面的距离为________；面与面的距离为________. 1、已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是 （ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，且，，则 2、如图，已知平面α平面β，点P为α，β外一点，直线PB，PD分别与α，β相交于A，B和C，D，则AC与BD的位置关系为（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 3、已知平面平面，过点的直线与，分别交于，两点，过点的直线与，分别交于，两点，且，，，则的长为___________. 4、如图，空间四边形中，点P是VA的中点，且，过点P作 截面PFED，使截面PFED平行于VB和AC，则截面 PFED的形状 为___________________ . 5、已知是长方体，且，，. （1）写出点A到平面的距离； （2）写出直线AB到平面的距离； （3）写出平面与平面之间的距离. （二）二面角 1、半平面的定义 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面 2、二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，棱AB，两平面为的二面角，记作：二面角或者二面角（其中） 3、画法 第一种是卧式法，也称为平卧式： 第二种是立式法，也称为直立式： 4、二面角的平面角： （1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角 （2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角 5、平面与平面垂直定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 表示方法：平面与垂直，记作. 画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直. 如图： 　 ( 【说明】 （1）二面角的平面角范围是 ； （2）二面角平 面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 ； （3）二面角的求法：① 几何定义法；② 空间向量法；③射影面积法 . ) 例7、如图，在底面是正方形的四棱锥中，，点在上，且;求二面角的平面角的大小. 例8、把边长为的正三角形沿边上的高线折成的二面角，此时点到直线的距离是（ ） A． B． C． D． 例9、已知底面为正方形的四棱锥，点的射影在正方形内，且到的距离等于的长，记二面角的平面角为，二面角的平面角为，二面角平面角为，则下列结论可能成立的是（ ） A． B． C． D． 1、下列说法： ①两个相交平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角； ③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系． 其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2、已知在正方体ABCD-中，点MN分别为BC，C1D1的中点，点P在线段AB上，记二面角N-PM-D的平面角大小为a，则当点P从A向B运动的过程中，角a的变化情况是（ ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大 3、如图，矩形ABCD中，DC=，AD=1，在DC上截取DE=1，将△ADE沿AE翻折到D1点，点D1在平面ABC上的射影落在AC上时，二面角D1—AE—B的平面角的余弦值是________. 4、如图，四边形ABCD与是互相平行且全等的等腰梯形，，所在两平面互相平行，且与上下四边形都垂直，，，，、、分别是棱、、的中点． （Ⅰ）证明：直线平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值． （三）平面与平面垂直 1、 平面与平面垂直的判定定理 2、 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 3、 符号语言： 4、 图形语言： 5、 6、 特征：线面垂直面面垂直 7、 注：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可. 2、平面与平面垂直的性质 性质定理：如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面垂直. 符号语言： 图形语言： 例10、（1）已知直线，及平面，，下列命题中正确的是（ ） A．若，，且，则 B．若，，且，则 C．若，，且，则 D．若，，且，则 （2）下列说法中有错误的个数是（ ） ①．垂直于同一个平面的两条直线平行 ②．若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直 ③．一个平面内的两条直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行 ④．一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例11、如图，△ABC是正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，求证：AE平面BCD. 例12、如图，在三棱柱中，平面平面 （1）证明：平面平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 1、如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l=βγ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有（ ） A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ 2、已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题中正确的是（ ） ①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β. A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①③ 3、在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则ABC的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 4、已知表示直线，表示平面．定义：若把命题P中的直线改为平面，平面改为直线，得到的命题为真命题，则命题P叫做对偶命题．下列命题不是对偶命题的是（ ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 5、如图，是菱形所在平面外的一点，且，的长为，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，与平面所成的角为，则____.  6、如图，在长方体中，底面是正方形，，为的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求二面角的大小. 7．如图，在多面体中，底面为正方形，四边形是矩形，平面平面 （1）求证：平面平面； （2）若过直线的一个平面与线段和分别相交于点和（点与点 均不重合），求证：； （3）判断线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在， 平面与平面的位置关系 ( 第 1 页 共 2 页 )—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$