直线与平面的位置关系义-2023-2024学年高二下学期暑假数学复习专题

直线与平面的位置关系 教学目标 1、掌握直线与平面平行的定义、判定定理和性质定理，并能运用这些知识进行论证或解题； 2、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理与性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关问题；结合三垂线定理判定两直线是否垂直． 3、理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法； 4、掌握空间中点、直线到平面的距离的概念，能运用这些概念进行论证和解决有关问题。 重 点 1、理解掌握线线平行、线面平行之间的转化以及平行与垂直之间的转化的辩证关系； 2、证明垂直问题常常通过“线线垂直”与“线面垂直”之间的转化来实现，而证明“线线垂直”常常利用三垂线定理． 3、掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”，思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法； 4、空间距离向平面距离的转化过程中，重点是确定垂足，作出辅助图形解三角形。 难 点 1、证明垂直问题常常通过“线线垂直”与“线面垂直”之间的转化来实现，而证明“线线垂直”常常利用三垂线定理． 2、掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”，思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法； 3、空间距离向平面距离的转化过程中，重点是确定垂足，作出辅助图形解三角形。 （一）直线与平面平行 1、直线和平面的位置关系 （1）直线在平面上（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点)； 例1、（1）如图，把空间中直线与平面的位置关系：①直线在平面内；②直线不在平面内；③直线与平面相交；④直线与平面平行，依次填入结构图中的， ， ，中，则正确的填写顺序是（ ） A．①③②④ B．②①③④ C．③②①④ D．①④③② （2）已知空间直线和平面，则“直线在平面外”是“直线∥平面”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 （3）直线平面，直线直线，则直线与平面的位置关系是（ ） A．平行 B．在面内 C．相交 D．平行或相交或在面内 1、如果、是异面直线，且平面，那么与的位置关系是（ ） A． B．与相交 C． D．不确定 2、若直线与平面有两个公共点，则与的位置关系是（ ） A． B． C．与相交 D． 3、以下命题（其中表示直线，表示平面），其中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2、直线与平面平行 判定定理：如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行． 已知：如图，直线不在平面上，直线在平面上，且， 求证：直线。 证明：假设直线不平行于平面，则直线与平面有公共点，设为点P；在平面上，过点P作已知直线的平行线；因为不在上，所以与不重合。另一方面，因为，，所以，这和与交于点P矛盾，所以假设不成立，即直线. 例2、下列四个命题判断正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则a平行于α内所有的直线 D．若，，，则 例3、如图所示，在正方体中，E，F，G，H分别是的中点．求证： （1）； （2）平面： 例4、（1）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是_______________. （1） （2） （3） （4） （2）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是（ ） A．平面平面 B． C．平面 D．与相交 1、设m，n是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 2、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？ (1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系； (2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系； (3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系； (4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系． 3、如图，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P为所在棱的中点，则直线AB与平面MNP的位置关系为（ ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．直线在平面内 4、三个平面，如果，，，且直线， （1）判断c与的位置关系，并说明理由； （2）判断c与a的位置关系，并说明理由. 5、如图，在正方体中，E、F分别为、的中点． （1）作出过点E、F、的截面； （2）求证：平面. 6、如图甲，正方形边长为12，，，，分别交，于点，，将正方形沿，折叠使得与重合，构成如图乙所示的三棱柱，点在该三棱柱底边上．若，证明：平面； 3、直线与平面平行 性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行。 已知直线与平面平行，过直线的一个平面与平面相交于直线. 求证：. 证明：由，故和没有公共点；又因为，所以和没有公共点； 因为和同在平面上，且没有公共点，所以. 例5、（1）已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，直线a与直线b（ ） A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定 （2）已知三个互不重合的平面，，，且直线m、n不重合，由下列三个条件：①，；②，；③，．能推得的条件是________． 例6、（1）图1是由正方形组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿折起使得E与F重合，如图2．设平面平面， 证明：； （2）如图所示，在四面体ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形. 例7、（1）如图所示，在三角形BCD平面外有一点A，连接AB，AC，AD，、、、分别为、、、上的点，，则与（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上皆有可能 （2）若直线a平面α，A∉α，且直线a与点A位于α的两侧，B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF的值为（ ） A．3 B． C． D． 1、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 2、如图所示，已知是所在平面外一点，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）设平面平面，求证：. 3、如图，四边形ABCD是矩形，P平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形. 4、如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________. （二）直线与平面垂直 1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直.就说这条直线与这个平面互相垂直. 如果直线与平面垂直，我们记作.这时，直线叫做平面的垂线（或者法线）.与的交点叫做垂足.画示意图时，通常使直线与表示平面的平行四边形的一边垂直. 2、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面上的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 例8、（1）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（ ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 （2）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是______________. ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，，则 例9、（1）如图①，在菱形中，且，为的中点．将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥．求证：平面． （2）如图，点是以为直径的圆上的动点（异于，），已知，，平面，四边形为平行四边形．求证：平面； 1、如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，EAFC，且EA=FC=AB=4，△EBD､△FBD都是正三角形. 证明：CF⊥平面ABCD； 2、如图1，在平行四边形中，＝60°，，，，分别为，的中点，现把平行四边形沿折起如图2所示，连接，，． 求证：； 3、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 已知：是两条直线，且，求证：. 证明：（反正法）假设与不平行，直线与平面的交点为B，过点B作直线，使得. 由直线与确定的平面记为，设平面与平面的交线为；因为，，所以，；由，又可得出. 直线与都在平面上，都过点B，且都垂直于直线，这与“在同一个平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，由此得到. 推论1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直. 推理2：过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直. 点到平面的距离定义：由推理2，过平面外任意给定的一点M，有且只有一条直线与平面垂直，从而把点M与垂足N之间的距离叫做点M到平面的距离； 备注：如果一条直线平行于一个平面，那么直线上任意两点到平面的距离都相等，从而直线与平面的距离可以转化为直线上任意一点M到平面的距离问题。 例8、（1）已知平面，三条不同直线，，，下列四个选项中，正确的是___________． ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 （2）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ） A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线相交，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面 例9、在棱长为的正方体中求出下列距离： ①点到面的距离； ②线段到面的距离； ③点到面的距离； （2）已知Rt△EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6cm，EF，EG与平面α分别成30°和45°角，则FG到平面α的距离是（ ） A．cm B．cm C．2cm D．2cm 1、已知，，为空间里不重合的三条直线，，为空间里不重合的两个平面，则下列判断正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，，，则 2、在棱长为1的正方体中，点A到平面的距离等于__________；直线DC到平面的距离等于_________；平面到平面的距离等于__________． 3、长方体中，，，那么直线和平面的距离是________． （三）直线与平面所成的角 1、平面的斜线 当直线与平面相交且不垂直时，称为斜交.直线称为平面的斜线； 斜线与平面的交点称为斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段． 2、斜线在平面上的投影（也称射影） 设直线与平面斜交于点，过上任意点，作平面的垂线，垂足为，我们把点叫做点在平面上的射影，直线叫做直线在平面上的射影． 备注：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中： （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短． 3、斜线和平面所成角的定义： 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和平面所成的角. 如图，是平面的一条斜线，点是斜足，是上任意一点，是的垂线，点是垂足，所以直线（记作）是在内的射影，（记作）是与所成的角． 【规定】 （1）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角； （2）一条直线和平面平行，或在平面上，定义它和平面所成的角是角． 【注意】 （1）直线与平面所成的角的大小与点在上的取法无关； （2）直线和平面所成角的范围是； （3）斜线和平面所成角的范围是； （4）斜线与平面所成的角，是这条斜线与平面内任何直线所成角中的最小的角； 例10、（1）若直线与平面所成的角为，直线在平面内，且与直线异面，则直线与直线所成角的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2）在正方体中，与平面所成角是（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° （3）正方体中，为侧面的中心，则与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． B． 1、若一条直线于一个平面成角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于（ ） A． B． C． D． 2、过长方体的一个顶点的平面与这个长方体的十二条棱所在的直线成的角都相等，这样的平面个数为（ ） A．4 B．1 C．0 D．无数多个 3、正方体中直线与平面所成角为（ ） A． B． C． D． 4、如图所示，三角形SBC外有一点A，且∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC．求直线AS与平面SBC所成的角． 5、如图，在中，，，，现将其放置在平面的上面，其中点，在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是（ ） A． B．20 C． D．30 （四）三垂线定理 三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直. 证明（略）. 例11、如图，在长方体中，相交于点，是线段的中点，已知. 求证：； 例12、如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是_____________. （1） （2） （3） （4） 1、在正方体中，设为线段的中点，则下列说法正确的是　　 A． B．平面 C． D．平面 2、已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中不正确的是（ ） A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD 直线与平面的位置关系 ( 第 1 页 共 2 页 )—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$