综合练十六空间点、直线、平面之间的位置关系-【育才学案】2023-2024学年高二数学假期综合练(人教版)

综合练十六 综合练十六 空间点、直线、平面之间的位置关系 真题必刷·目 >》》 1,已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜 5.如图，在正四棱柱ABCD-A1BCD1中，AB 边，△ABD为等边三角形，若二面角C一 =2,AA1=4,点A2,B2,C2,D2分别是棱 AB-D为150°，则直线CD与平面ABC所 AA1,BB1,CC1,DD1上，AA,=1,BB2= DD2=2,CC=3. 成角的正切值为 ( (1)证明：BzC2∥A2D2: A号 n (2)点P在棱BB1上，当二面角P-AC2-D 为150时，求B,P. 2.(多选)已知正方体ABCD-A,B,C,D,则 A.直线BC1与DA,所成的角为90 D B.直线BC与CA1所成的角为90 C C.直线BC,与平面BB,D,D所成的角 为45 D.直线BC,与平面ABCD所成的角为45 3.已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上， △ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平 面ABC,则SA= 4.在正方体ABCD一A,BCD中，E,F分别 为CD,AB1的中点，则以EF为直径的球 面与正方体每条棱的交点总数为 典题必刷· 》》 1.已知m,n是不重合的直线，a,B,y是不重合 2.(多选)如图，已知正方体 的平面，下列说法正确的是 ABCD-A1B1CD1,P是棱 A.若a⊥y,3⊥y,则a∥B CC,的中点，以下说法正确 B.若m⊥a,n⊥a,则m⊥n 的是 ) C.若a∥B,Y∥B,则Y∥a A.过点P有且只有一条直线与直线AB, D.若a⊥B,m⊥B,则m∥a A,D都相交 假期综合练高二数学 B.过点P有且只有一条直线与直线AB, 6.如图，四棱锥P-ABCD的 AD都平行 底面是边长为1的正方形， C.过点P有且只有一条直线与直线AB, 点E是棱PD上一点，PE AD都垂直 =3ED,若PF=aPC且满 D.过点P有且只有一条直线与直线AB, 足BF∥平面ACE,则A= AD,所成角均为45 7.如图，AB是圆O的直径， 3.(多选)将正方形ABCD沿对角线BD翻 PA⊥圆O所在的平面，C为 折，使平面ABD与平面BCD的夹角为 圆周上一点，D为线段PC 90°，则下列四个结论中正确的是() 的中点，∠CBA=30°，AB=2PA. A.AC⊥BD (1)证明：平面ABD⊥平面PBC: B.△ACD是等边三角形 (2)若G为AD的中点，AB=4,求点P到 C.直线AB与平面BCD所成的角为弩 平面BCG的距离. D.AB与CD所成的角为 4.(多选)如图，在棱长为2 的正方体ABCD-AB,C D1中，点M在线段BC (不包含端点)上运动，则 下列结论正确的是 A.正方体ABCD-A,B1C1D,外接球的表面 积为48π B.异面直线AM与AD:所成角的取值范 围是（爱，别 C.直线AM∥平面ACD D.三棱锥D1-AMC的体积随着点M的运 动而变化 5.如图，在棱长为2的正方体 ABCD-A1B,C1D1中，点E, F分别是棱BC,CC的中 点，P是侧面四边形BCC B内（不含边界）一点，若AP∥平面AEF 则线段A,P长度的取值范围是 8参考答案 图为BB⊥平面PAC,BBC平面PBB,所以平面PBB⊥ 7.答案28 平面PAC. 又围为平面PBB∩平面PAC=PB,NN”⊥PB,NNC平 解折法一：由于号=士而 面PBB,所以NN⊥平面PAC,且BB∥NN, 载去的正四枚锋的高为3，所 在△PCC'中，周为Mf⊥PA,CC⊥PA. 以原正四校维的高为6， 将以NM/C,片a-芒 3· 所以正四赖维的体积为3 D 在△P中，国为丽/NV,样a器-品-子 (4×4)×6=32, V-rAM 吉Smw·NY 藏去的正四校锥的依积为号 ×(2×2)×3=4. Va-rac 3Sar·BB 所以校台的休权为32一4=28. 言PA·Mr)·NN 法二：棱台的体积为 2 吉（安PA)·服 9 号×3×(16+4+V16x)=28. 故答肇为：28. 故选B 典题必刷·提素养 3.C如图，由已知得该校台的高为 1.C2.C3.C4.D5,D 157.5-148.5=9(m), 所以该棱台的体积 6.BCD7,3130+330 10 V=片×9×(140+V140x180+ 综合练十六空间点、直线、平面 180)×10°=60×(16+3√7)×10 之间的位置关系 ≈60×(16+3×2.65)×10=1.437×10'1.4×10'(m). 真题必刷·明方向 故选C. 1.C取AB的中点E,连接CE, D 4.A由题意，得正三校台上，下底面的外接圆的来径分别为 DE,国为△ABC是等腰直角 号××3=3.号××4v=4 三角形，且AB为斜边，则有 CELAB, 设诚棱台上，下底面的外接图的圆心分刚为O,,O,连接 父△ABD是等边三角形，则 O,1O,则OO=1,其外接球的球心0在直线OO上， 设琼O的半径为R,当球心O在线段OO,上时，R=3 DE⊥AB,从而∠CED为二面A( 角C一AB一D的平面角，即 OO=4+(1一00)，解得00=4（舍去）： ∠CED=150°， 当琼心O不在线段O,O上时，R=+O=3+(1十 显然CE∩DE=E,CE.DEC (0)),解得(0)=3，所以R=25,所以该琼的表面积为 平而CDE,于是AB⊥平面CDE,义ABC平而ABC, 4πR=100.综上，该球的泰面积为100π 国此平面CDE⊥平面ABC,显然平面CDE∩平面ABC 5,ABD选项A,球直径为0.991，故球体可以放入正方体 -CE. 客君内，故A正确：选项B,法择连接正方体的而对角线，可 直线CDC平面CDE,别查线CD在平面ABC内的射影为 以得到一个正网面体，其校长为v2>1.4,故B正确：选项C, 直线CE, 底面直径0.01m,可以忽略不计，但高为1.8>3W3为正方 从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB=2,则 体的体对角线的长，故C不正确：选项D,底面直径为1,2< CE=1.DE=√3，在△CDE中，由余孩定理得： √3，高为0.01m的园柱体，其高度可以忽略不计，故D正 确.故选ABD CD=√CE+DE-2CE·DEcos∠CED 6答案76 6 =√1+3-2x1xgx(-)-7, 解析如图，将正四被台ABCD-A,BCD,补成正回棱雏， DE CD 由正孩定理得in∠DCE sin/CED' 即sin∠DCE=3sim150°-3 271 显然∠DCE是锐角，cos∠DCE=√VI-sin∠DCE= V-(- 所以直线CD与平面ABC所或的角的三切为复 则A0=√2,5A=22,50=√22)-(w2)=6, 故选C 2,ABD对于A,连接B,C,易得B,C⊥BC,四边形A,BCD 00=9故V-寻(S+s+VSs)h, 为平行四边形， v=吉(@+1+T)·-7故填： .BC∥AD,.BC1⊥AD, .虎线C与DA,所成的角为90°，.A正确 65 假期综合练高二数学 对于B,易得AB,⊥平面BB,C,C, 由题多可知，O为球心，在正方体中，EF=√FG+EG ∴.AB1⊥BC1, √2+2=22，即R=√2， 又B,C⊥BC,,AB,门BC=B,,B,C,AB,C平面ABCD, .BC,⊥平而A1BCD. 尉球心O到BB,的距离为OM=√ON+MN=√个+I 又，CA,C平面A,B,CD,.CA,⊥BC, =2, .直线BC1与CA1所成的商为90°，.B正确. 所以球O与酸BB,相切，球面与棱BB只有1个公共点， 对于C,连接A,C,设AC门BD1=O,连接BO 同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和琼面也只有1个 易得A,C⊥BD1A,C⊥BB,文BD1∩BB=B,,BD1, 公共点， BB,C平面BBDD, 所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的公共点总数 A,C⊥平面BB,DD, 为12. .OB为BC:在平面BB,D1D内的射影， 故答案为：12 .∠C,BO即为直线BC,与平面BB,DD所成的角， 5.解证明：(1)B,C=B,B+B,C+CC 在R△CBO中sm∠CB0-, =DD,+AD+AA=AD,→B,C .∠C1B0=30°，，C错溪. ∥A.D2 对于D,易如(C⊥平面ABCD, (2)法一（向量法）：如图，以C为原点，分 D ∴BC为BC:在平面ABCD内的射影， 别以CD,CB,CC为x,y,e抽建系，则 ·∠C,BC肿为直线BC,与平面ABCD所成的角· Az(2,2,1),C:(0,0,3),D2(2,0,2),P(0 易知∠C,BC-45.∴.D正确. 2,1), D 则AC=(-2,-2,2).A,D,=(0,-2 1D,A,P=(-2,01-1).设m,=(x1 y1,1),n1=(x,y,)分别为平面 A,CD,A,CP的法向量，则 -2r1-2y1+21=0, 则n1=(1,1, 一2y1十1=0， 2),问理m=(1一1,3一1,2)， 3.答案2 9-5xa →2-4r十3=0，则1=1或t=3,别 解析如图，将三校锥S-ABC转化 B2P=2-=1. 为直三枚柱SMN-ABC, 注：第一问地可直接建系 设△ABC的外接国圆心为O,,半 法二（凡何法）：（如图）星然ABCD为荒形，授AC与 径为r, BD2相交于，点E,周为二面角P-AC:-D为150°，所以克 AB 别2r=n2ACB- 3=25.可 冀B,E与平面PAC:所成的角为30 2 得=3， 设三棱锥S-ABC的外接球球心为 0,连提OA.0,则0A=2,O0 =2sA,因为0A=00+0A, 即4=3十是54，解得5M=2 故答紫为：2 4.答案12 解析不妨设正方体棱长为2，EF中点为O,取AB,BB,中 点G,M,侧面BBCC的中心为N,连接下G,EG,OM,ON, D MN,如图， 易知BE=√区，所以点B到平面PAC的距离为d,= BEa30-号 由A1B=A,D=22>A1E⊥BD, 由AC:=A1A:=3→A1E⊥A2C 所以AE⊥平而A:B:C 周为二而角P-A:C2-D2为150 所以A,E与平面PA.C所成的角为60°， 66 参考答案 易知AE=√6， 所以AB=2AC,又AB=2PA,所以PA=AC,又D为线段 PC的中点，所以AD⊥PC,又PC∩BC=C,PC,BCC平面 所以点A到平面PA,C,的距离为d:=A,Ein60°=3y2 2 PBC,所以AD⊥平面PBC,而ADC平面ABD,故平面 专 ABD⊥平而PBC. (2)由(1)得PA=AC,BC⊥平面PAC.CGC平面PAC,则 BC⊥CG,BC⊥平面PCG. 又由于C:到平面PAA和平面PAB:的距离都为2， 由题可知，G为AD的中点，AB=4,剩PA=AC=2,所以 这里，平面PAA和平面PAB:重合 BC=2√3，PC=22,AD=√2， △=3，所以A,A=3B,P=3→B,P=1, 所以S,: G-.cG=√()+6=，由于三维P 也即P为BB的中点P,发者B,B,的中点P, 典题必刷·提素养 B0G的作款等于三校维B-P0G的体叔，而Sa=号C 1.C 2.AC 3.ABD 4.BC 5答案[y同司 G-号×2x-sm=P0=号x2 2 解析在正方体ABCD-A,B,CD,中，分别取棱B,C,BB EX号=1，由于C⊥年面P0G,期点B到平雨PCG的距 的中点M,N,连接AM,MN,A,N,ME,B,如图， 离为BC=2,3,设点P到平面BCG的距商为d, 由Vrm=Vnm释号5am·d=号5am·BC,别了× 1-日×1x2原，解释d-2, 所以点P到平而BCG的距离为2回 5 因为点E,F分别是枚BC.CC的中，点，则MN∥BC∥EF, 综合练十七空间向量与立体几何 EFC平而AEF,MN平面AEF, 典题必刷·提素养 则有MN∥平面AEF,是然四边形BEMB1为矩形，有ME∥ 1.C取线段AC的中点O.尉BO⊥AC,设直三棱柱ABCA BB∥AA,ME=BB=AA1, B,C的掖长为2，以点O为原点，O成，O心，AA的方向分别为 肿有四边形AEMA1为平行四边形，则A1M∥AE,而AEC y轴的正方向，建立如因所示的空间直扇坐标系， 平面AEF,A1M过平面AEF.有AM∥平面AEF,又AM ∩MN=M,AM,MNC平面AMN,圈此，平而A,MN∥平 面AEF, 因为A:P∥平而AEF,则有APC平面A:MN,又点P在平 面BCC,B上.平雨AMN∩平面BCC:B=MN,从而得，点 P在线段MN上（不含瑞点），在△A,MN中，A,M=A:N= √写，MN=√2，等腰△AMN底边MN上的高h= √AM-(合MN-2,于是释<A,P<,所以线 则A(0,-1,0),M(0,0,2),B(w3,0,0),C,(0,1,2). 所以AM=(0,1,2).BC=(-√3,1,2) 度AP长度的取位花国天[号同】 cos(AM.BC)= AM.BC 5 AM1BCI5×22 。所以 6答案号 解析如图，连接BD,交AC于点O, ni.BC√一sa成.BC-tAM与BC斯 连接OE,则BO=OD, 在线授PE上取一点G使得GE=ED,B 或角的正孩值为写 则距-子连接BG,FG,尉BG/OE.又周为0EC本面 2.D如图，以AC的中，点()为坐标原，点建立空间直角坐标 原，设PA=4, ACE,BG正平面ACE,所以BG∥平面ACE.固为BF∥平面 ACE且满足BG∩BF=B. 故平面BGF∥平面ACE.因为平面PCDn平面BGF=GF, 南PDn本香ACE=C,GF/Bx将以既-器 景即以-导 7,解(1)证明：因为PA⊥司O所在的平面，即PA⊥平面 ABC,而CC平面ABC,所以PA⊥BC, 则N(0,0.2),M(3,-1,0),P(0,-2,4),B(2w3,0,0). 国为AB是司O的直径，C为圆周上一点，所以AC⊥BC,又 NM=(W3.-1.-2).Pi=(23,2.-4).os(NM.Pi5 PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,所以BC⊥平面PAC,而 ADC平面PAC,别BC⊥AD,周为AC⊥BC,∠CBA=30°， ·丽=子g直我MN,PB所底角的会技维为三