精品解析：四川省绵阳市安州区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年春季期末测试 八年级数学试题 本试卷分试题卷和答题卡两部分．满分100分，考试时间90分钟． 注意事项: 1.答题前考生务必将自己的姓名、准考证号用0. 5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、学校． 2.选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应目标号的位置上，非选择题答案使用0. 5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应题号位置上．超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效． 3.考生结束后，将答题卡交回． 一.选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题的四个选项，只有一符合题目要求． 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象经过第二象限 B. 当时， C. 图象一定经过点 D. 值随着值增大而减小 3. 若数据2，，4，8的平均数是4，则这组数据的中位数和众数是（ ） A. 2和3 B. 3和2 C. 2和2 D. 2和4 4. 一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，燃烧时剩下的长度为与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（ ） A B. C. D. 5. 一次函数的图象如图所示，则使式子有意义的的值可能为（ ） A. －3 B. －1 C. －2 D. 2 6. 如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP．再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．当AD＝CP时，则的值为（　　） A. B. 2 C. 2 D. 7. 若的三边长分别为a，b，c，且满足，则是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 8. 在平面直角坐标系中，若直线与直线（）相交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，已知菱形的一条对角线上一点O，到菱形一边的距离为2，那么点O到（　　） A. 距离也为2 B. 的距离也为2 C. 的距离也为2 D. 的距离也为2 10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为（ ）． A. B. 2 C. D. 11. 已知一次函数的图象沿着x轴或y轴平移m个单位长度得到的图象与原图象关于原点对称，则m的值为（　　） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 12. 如图，点D在的直角边上（与点B，C不重合），，以为边作正方形，过点F作，交的延长线于点G，连接，交于点Q．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二.填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分．将答案直接填写在答题卡的相应位置． 13. 已知，则的值为_________． 14. 2022年冬奥会在北京市和张家口市联合举行，北京成为奥运史上第一个既举办夏季奥运会又举办冬季奥运会的城市．为了激发同学们对冬奥会的热情，某校开设了滑冰选修课，12名同学被分成甲、乙、丙三组进行训练，经过6次测试，甲、乙、丙三组的平均成绩相同，方差分别为，，要从中选择一组状态稳定的参加全区中学生滑冰联谊赛，则应选择___组（填“甲”，“乙”或“丙”）． 15. 已知点在一次函数的图象上，则______． 16. 甲、乙两施工队分别从两端修一段长度为315米的公路．在施工过程中，甲队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与乙队共同按期完成任务．下表根据每天工程进度制作而成的． 施工时间/天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 累计完成施工量/米 25 50 75 100 115 155 195 235 275 315 甲队技术改进后比技术改进前每天多修路______米． 17. 如图，在矩形中，，E为上一点，连接，将沿折叠，点A落在处，连接，若F、G分别为、的中点，则的最小值为 __． 18. 如图，在中，，点M，N分别是边的中点，连接，并取的中点，分别记为点E，F，连接，则的长为 _____． 三.解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19 计算： （1）； （2）． 20. 为了帮助贫困失学儿童，宿迁市团委发起“爱心储蓄”活动，鼓励学生将自己的压岁钱和零花钱存入银行，定期一年，到期后取回本金，而把利息捐赠给贫困失学儿童．某中学共有学生1200人，图1是该校各年级学生人数比例分布的扇形统计图，图2是该校学生人均存款情况的条形统计图． （1）求该学校人均存款数； （2）已知银行一年定期存款的年利率是2.25%（“爱心储蓄”免收利息税），且每351元能提供给1位失学儿童一年的基本费用，那么该学校一学年能够帮助多少位失学儿童？ 21. 如图，的对角线，相交于点，，，． （1）请判断是否是菱形？为什么？ （2）请直接写出的面积为______；边和之间的距离为______． 22. 某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司其中的一家签订月租车合同．设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费用是y1元，应付给出租公司的月租费用是y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系图象（两条射线）如图所示，观察图象回答下列问题： （1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有公司的车合算？ （2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？ （3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家的车合算？ 23. 如图，直线y＝﹣3x+6交x轴和y轴于点A和点B，点C（0，﹣3）在y轴上，连接AC． （1）求点A和点B的坐标； （2）若点P是直线AB上一点，若△BCP的面积为18，求点P的坐标； （3）过点B的作直线BE交x轴于点E（E点在点A右侧），当∠ABE＝45°时，直接写出直线BE的函数表达式． 24. 定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形． （1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝3，则BD＝_____； （2）如图2，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形； （3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，当△ADC为等腰三角形时，求这个准矩形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春季期末测试 八年级数学试题 本试卷分试题卷和答题卡两部分．满分100分，考试时间90分钟． 注意事项: 1.答题前考生务必将自己的姓名、准考证号用0. 5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、学校． 2.选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应目标号的位置上，非选择题答案使用0. 5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应题号位置上．超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效． 3.考生结束后，将答题卡交回． 一.选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题的四个选项，只有一符合题目要求． 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2. 关于函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象经过第二象限 B. 当时， C. 图象一定经过点 D. 值随着值增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】∵k<0， ∴y值随着x值的增大而减小，故D不符合题意； 又∵b>0， ∴图象必过一二四象限，故A不符合题意； ∵y=-x+1与x轴的交点坐标为（1，0），且k<0， ∴当x>1时，y<0，故B不符合题意； 当x=-1时，y=2，即图象一定过（-1，2），故C符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，解题的关键是熟知一次函数相关性质． 3. 若数据2，，4，8的平均数是4，则这组数据的中位数和众数是（ ） A. 2和3 B. 3和2 C. 2和2 D. 2和4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式先求出x的值，再根据中位数和众数的概念进行求解即可． 【详解】解：∵数据2，x，4，8的平均数是4， ∴这组数的平均数为 解得：x=2； 所以这组数据是：2，2，4，8， 则中位数是 ∵2在这组数据中出现2次，出现的次数最多， ∴众数是2； 故选：B． 【点睛】此题考查了平均数、中位数和众数，平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数；据此先求得x的值，再将数据按从小到大排列，将中间的两个数求平均值即可得到中位数，众数是出现次数最多的数． 4. 一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，燃烧时剩下的长度为与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用图象表示函数关系，根据实际情况即可解答． 【详解】∵一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧， ∴当时，；当时，；且， 故选：B． 5. 一次函数的图象如图所示，则使式子有意义的的值可能为（ ） A. －3 B. －1 C. －2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】通过一次函数图象可以得出：，解得：．使式子有意义条件为：，解得：且．将两个关于k的解集综合，得到k的范围是：且．根据所求范围即可得出答案选B． 【详解】解：由图象得：，解得： 由题意得：若使式子有意义，则，解得：且 综上所述，k的取值范围是：且． A、-3不在k的取值范围内，不符合题意； B、-1在k的取值范围内，符合题意； C、-2不在k的取值范围内，不符合题意； D、2不在k的取值范围内，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题主要考查知识点为，一次函数图象与一次函数系数的关系、使二次根式有意义的条件，零指数幂中底数的范围．熟练掌握以上知识点，是解决此题的关键． 6. 如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP．再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．当AD＝CP时，则的值为（　　） A. B. 2 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠的性质可得∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C=180°，∠AQP=90°，可证AD∥BC，由平行线的性质可得∠DAB=90°，由平行四边形和折叠的性质可得AR=PR，由直角三角形的性质可得AP=2PB=2QR，AB=PB，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP， ∵∠QRA+∠QRP=180°， ∴∠D+∠C=180°， ∴AD∥BC， ∴∠B+∠DAB=180°， ∵∠DQR+∠CQR=180°， ∴∠DQA+∠CQP=90°， ∴∠AQP=90°， ∴∠B=∠AQP=90°， ∴∠DAB=90°， ∴∠DAQ=∠QAP=∠PAB=30°， 由折叠的性质可得：AD=AR，CP=PR， ∵四边形APCD是平行四边形， ∴AD=PC， ∴AR=PR， 又∵∠AQP=90°， ∴QR=AP， ∵∠PAB=30°，∠B=90°， ∴AP=2PB，AB=PB， ∴PB=QR， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 7. 若三边长分别为a，b，c，且满足，则是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和勾股定理的逆定理．根据已知等式可得或，再根据等腰三角形的定义和勾股定理的逆定理即可得出答案． 【详解】解：， 或， 或， 是等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，若直线与直线（）相交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线从左向右逐渐上升，直线（）从左向右逐渐下降，且两直线相交于点P（3，5），即可得出在交点的左侧，从而得解． 【详解】解：∵直线从左向右逐渐上升，直线（）从左向右逐渐下降，且两直线相交于点P（3，5） ∴当x＜3时，， 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式与一次函数的关系，明确一次函数的一次项系数与函数上升或下降的关系，以及交点坐标左右两侧的两函数大小关系非常重要． 9. 如图所示，已知菱形的一条对角线上一点O，到菱形一边的距离为2，那么点O到（　　） A. 的距离也为2 B. 的距离也为2 C. 的距离也为2 D. 的距离也为2 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据菱形性质得到．然后根据角平分线的性质求解即可． 【详解】∵四边形是菱形 ∴ ∵菱形的一条对角线上一点O，到菱形一边的距离为2， ∴点O到的距离也为2． 故选：A． 10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为（ ）． A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用．掌握勾股定理，熟练运用完全平方公式的变形是解题关键． 根据大正方形的面积和勾股定理推出，然后结合完全平方公式的变形得出，最后由小正方形的面积为，即可得出结论． 【详解】如图所示，由题意，，， 大正方形的面积为17， ， ， ， ， ， ， 小正方形的边长为（负值舍去）． 故选：D． 11. 已知一次函数的图象沿着x轴或y轴平移m个单位长度得到的图象与原图象关于原点对称，则m的值为（　　） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，先在直线上任意取一点，然后根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数求出这点的对应点的坐标，然后代入平移后函数解析式计算即可求出m值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一三四象限， ∴一次函数的图象y轴向上平移m个单位得到的图象与原图象关于原点对称， ∴平移后的函数的解析式为， ∵直线经过点，该点关于原点的对称点为， 将代入，得， 解得， 即平移后解析式为， 可以化为：， 所以一次函数的图象y轴向上平移4个单位得到的图象与原图象关于原点对称， 或一次函数的图象x轴向左平移4个单位得到的图象与原图象关于原点对称， 故选：D． 12. 如图，点D在的直角边上（与点B，C不重合），，以为边作正方形，过点F作，交的延长线于点G，连接，交于点Q．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质等，熟练掌握相关知识点的性质与判定方法是解题关键． 由正方形的性质得出，证出，证明即可求解；②证明四边形是矩形，得出；③由等腰三角形的性质和矩形的性质得出；④证出，得出对应边成比例，得出． 【详解】解：四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故①正确； ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 故②正确； ， ， 故③正确； ， ， ， ， 故④正确； 故选：A． 二.填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分．将答案直接填写在答题卡的相应位置． 13. 已知，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的和为0，每一个非负数均为0，列出方程组，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查求代数式的值，解题的关键是掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，正确的求出的值． 14. 2022年冬奥会在北京市和张家口市联合举行，北京成为奥运史上第一个既举办夏季奥运会又举办冬季奥运会的城市．为了激发同学们对冬奥会的热情，某校开设了滑冰选修课，12名同学被分成甲、乙、丙三组进行训练，经过6次测试，甲、乙、丙三组的平均成绩相同，方差分别为，，要从中选择一组状态稳定的参加全区中学生滑冰联谊赛，则应选择___组（填“甲”，“乙”或“丙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的定义可作出判断，方差越小，波动越小，方差越大，波动越大，即可解答． 【详解】解： 乙的成绩最稳定． 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了方差的意义，熟知方差表示的意义是解题的关键． 15. 已知点在一次函数的图象上，则______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和代数式求值，先把代入，可得，再把代入即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ ∴， 故答案为：2025． 16. 甲、乙两施工队分别从两端修一段长度为315米的公路．在施工过程中，甲队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与乙队共同按期完成任务．下表根据每天工程进度制作而成的． 施工时间/天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 累计完成施工量/米 25 50 75 100 115 155 195 235 275 315 甲队技术改进后比技术改进前每天多修路______米． 【答案】15 【解析】 【分析】根据题意和表格中的数据可以判断出甲队技术改进前和甲队技术改进后两队每天的施工量，进而可得答案． 【详解】解：由表格可得，第5天甲队停工， 甲队技术改进前两队每天修路50－25＝25（米）， 甲队技术改进后两队每天修路155－115＝40（米）， ∴甲队技术改进后比技术改进前每天多修路40－25＝15（米）， 故答案为：15． 【点睛】本题考查统计表，能够从表格中提取到有用信息是解题的关键． 17. 如图，在矩形中，，E为上一点，连接，将沿折叠，点A落在处，连接，若F、G分别为、的中点，则的最小值为 __． 【答案】1 【解析】 【分析】连接，由F、G分别为、的中点可得，在中有，由勾股定理可得，由折叠性质和矩形性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵F、G分别为、的中点， ∴， 当的最小时，即最小， ∵四边形矩形，， ∴， ∴， ∵沿折叠， ∴， 在中有， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是利用三角形中位线将所求的转化为． 18. 如图，在中，，点M，N分别是边的中点，连接，并取的中点，分别记为点E，F，连接，则的长为 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键． 连接交于点G，连接，过点G作于点H，证得，则，再利用勾股定理可得的长，然后由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接交于点G，连接，过点G作于点H，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点M，N分别是边的中点， ， ， ， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， 故答案为：5． 三.解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）-2 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂的性质、算术平方根的定义、绝对值的性质和分母有理化计算即可； （2）根据算术平方根的定义、立方根的定义和二次根式的性质计算即可． 【详解】解：（1） = = = （2） = = =-2 【点睛】此题考查的是实数的混合运算，掌握零指数幂的性质、算术平方根的定义、绝对值的性质、分母有理化、算术平方根的定义、立方根的定义和二次根式的性质是解题关键． 20. 为了帮助贫困失学儿童，宿迁市团委发起“爱心储蓄”活动，鼓励学生将自己的压岁钱和零花钱存入银行，定期一年，到期后取回本金，而把利息捐赠给贫困失学儿童．某中学共有学生1200人，图1是该校各年级学生人数比例分布的扇形统计图，图2是该校学生人均存款情况的条形统计图． （1）求该学校的人均存款数； （2）已知银行一年定期存款的年利率是2.25%（“爱心储蓄”免收利息税），且每351元能提供给1位失学儿童一年的基本费用，那么该学校一学年能够帮助多少位失学儿童？ 【答案】（1）325；（2）25 【解析】 【分析】（1）先求出该校各年级人数，从而可得该校学生的总存款数，再利用平均数的计算公式：即可得； （2）先求出一年的总利息，再除以351即可得出答案． 【详解】（1）由该校总人数和扇形统计图得：七年级人数为（人） 八年级人数为（人） 九年级人数为（人） 由条形统计图得：该校的总存款数为（元） 则该校的人均存款数为（元） 答：该校的人均存款数为325元； （2）一年的总利息为（元） 则（人） 答：该学校一学年能帮助25位失学儿童． 【点睛】本题考查了扇形统计图和条形统计图的关联信息，读懂题意，掌握理解统计图的相关知识是解题关键． 21. 如图，的对角线，相交于点，，，． （1）请判断是否是菱形？为什么？ （2）请直接写出的面积为______；边和之间的距离为______． 【答案】（1）是菱形，理由见解析 （2），． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，进而根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，即可证明是菱形； （2）根据菱形的性质求得面积，根据等面积法求得边和之间的距离，即可求解． 【小问1详解】 解：∵的对角线，相交于点，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴是菱形； 【小问2详解】 解：∵是菱形，，， ∴的面积 ， 设边和之间的距离为， 则， ∵， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司其中的一家签订月租车合同．设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费用是y1元，应付给出租公司的月租费用是y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系图象（两条射线）如图所示，观察图象回答下列问题： （1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有公司的车合算？ （2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？ （3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家的车合算？ 【答案】（1）每月行驶的路程小于1500km时，租国有公司的车合算；（2）每月行驶的路程等于1500km时，租两家的车费相同；（3）如果每月行驶的路程为2300km时，那么租个体车主的车合算. 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的增减性即可确定“每月行驶的路程在什么范围内，租出租公司的车合算”； （2）两直线的交点就是费用相同时的里程数； （3）每月行驶的路程为1500km时费用相同，2300km＞1500km，由图象可知此时的y随x的增大而增大，所以租个体车主的车合算． 【详解】根据图象得到： （1）根据图象得当0＜x＜1500时，租国有出租车公司的出租车合算； （2）∵由函数图象可知，当x=1500时，y1=y2=2000， ∴每月行驶的路程等于1500km时，租两家车的费用相同； （3）∵x＞1500，∴租个体车主的车合算． 【点睛】本题考查的是一次函数的应用，解答本题的关键是仔细观察图象，从图中找出正确信息，进而可以解决问题． 23. 如图，直线y＝﹣3x+6交x轴和y轴于点A和点B，点C（0，﹣3）在y轴上，连接AC． （1）求点A和点B的坐标； （2）若点P是直线AB上一点，若△BCP的面积为18，求点P的坐标； （3）过点B的作直线BE交x轴于点E（E点在点A右侧），当∠ABE＝45°时，直接写出直线BE的函数表达式． 【答案】（1）A（2，0），B（0，6） （2）P（4，-6）或（﹣4，18） （3） 【解析】 【分析】（1）将分别代入解析式，求解相应的的值即可； （2）：如图1，连接PC，设点P（a，﹣3a+6），则，计算求解的值，进而可得点坐标； （3）当∠ABE＝45°，如图2，过点A作AD⊥AB交BE于点D，过点D作DH⊥x轴，△BAD为等腰直角三角形，证明△AOB≌△DHA（AAS），进而可得D，设直线BE的表达式为y＝kx+b，待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：∵y＝﹣3x+6交轴和y轴于点A和点B， ∴当x＝0时，y＝6； 当y＝﹣3x+6＝0时，解得x＝2， ∴A（2，0），B（0，6）． 【小问2详解】 解：如图1，连接PC，设点P（a，﹣3a+6） 则，解得a＝±4， ∴点P（4，-6）或（﹣4，18）． 【小问3详解】 解：当∠ABE＝45°，如图2，过点A作AD⊥AB交BE于点D，过点D作DH⊥x轴， ∵∠ABE＝45°， ∴△BAD为等腰直角三角形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠BAO+∠DAH＝90°，∠DAH+∠ADH＝90°， ∴∠BAO＝∠ADH， 在△AOB与△DHA中， ∵， ∴△AOB≌△DHA（AAS）， ∵OA＝2，OB＝6， ∴OH＝OA+AH＝2+6＝8，DH＝2， ∴D（8，2）， 设直线BE的表达式为y＝kx+b， 将D（8，2），B（0，6），代入得， 解得 ∴故直线BE的表达式为． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形全等，一次函数与几何综合，一次函数解析式等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 24. 定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形． （1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝3，则BD＝_____； （2）如图2，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形； （3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，当△ADC为等腰三角形时，求这个准矩形的面积． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）；；． 【解析】 【分析】（1）直接应用勾股定理计算即可； （2）证明△ABE≌△BCF即可； （3）把等腰三角形的腰分三种情形求解即可． 【详解】解：（1）∵∠ABC=90， ∴BD=， 故答案为， （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC,∠A=∠ABC=90°， ∴∠EBF+∠EBC=90°， ∵BE⊥CF， ∴∠EBC+∠BCF=90°， ∴∠EBF=∠BCF， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴BE=CF，且∠CBF=90°， ∴四边形BCEF是准矩形； （3）∵∠ABC=90°，∠BAC=60°， ∴∠ACB=30°， ∵AB=2， ∴AC=4，BC=2， 准矩形ABCD中，BD=AC=4， ①当AC=AD时，则AD=AC=BD，如图1，作DE⊥AB， ∴AE=BE=AB=1， ∴DE=， ∴ =DE×AE+（BC+DE）×BE =××1+（2+）×1 =+； ②当CA=CD时，则CD=CA=BD， 如图2，作DF⊥BC，垂足为F ∵BD=CD， ∴BF=CF=BC=， ∴DF=， ∴ =FC×DF+（AB+DF）×BF =××+（2+）× =+； ③当DA=DC，如图3，取AC中点G，连DG，则DG⊥AC． 连接BG，过B作BH⊥DG，垂足为H． 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，G为AC中点 ∴AG=BG=AC=AB=2， ∴△ABG为等边三角形， ∴∠BGC=120°，∠BGH=30° 又BD=AC=4， Rt△BHG中，BG=2，∠BGH=30°， ∴BH=1，HG= 在Rt△DHB中，BH=1，BD=4， ∴DH=， ∴DG=DH﹣HG=﹣， ∴ =AB×BC+AC×DG =×2×2+×4×（﹣） =2； 故答案为；；． 【点睛】本题考查了几何新定义问题，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解答时，准确理解新定义的内涵，灵活运用分类思想计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$