函数的概念与表示-2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

函数的概念与表示 教学目标 1、理解函数的概念； 2、会根据具体情况确定函数的定义域和简单函数的值域，并会相同函数的判断； 3、掌握函数的表示方法：解析法、列表法、图像法，并熟知函数的分段表示法. 重 点 1、会根据具体情况确定函数的定义域和值域，并会相同函数的判断； 2、掌握函数的表示方法：解析法、列表法、图像法，并熟知函数的分段表示法. 难 点 1、函数的概念 2、函数的定义域和值域的求法 （一）函数的概念 设是一个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系，使对集合中任意给定的，都有唯一的实数与之对应，就称这个对应关系为集合上的一个函数（function），记作 其中叫做自变量（independent variable），其取值范围（数集）称为该函数的定义域（domain）.当自变量取值时，由对应关系所确定的对应于的值，称为函数在处的函数值，记作.所有函数值组成的集合称为这个函数的值域. 【知识补充】 注：1、函数定义中要求对定义域中的任何一个，在值域中有且只有一个值和它对应；但并不要求对于值域中的每一个也只能有一个和它相对应，即函数的对应法则可以是1对1，也可以多对1，但不可以1对多（即定义域中一个对应值域中一个以上的）． 2、定义域与值域都必须是非空数集． 3、定义域的表示方法有：集合表示法、区间表示法． 4、对应关系常用小写字母，如等表示. 例1、给定的下列四个式子中，能确定是的函数的是　　 ① ② ③ ④． A．① B．② C．③ D．④ 例2、设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有　　 A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 例3函数的图象与直线的公共点数目是　　 A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 1、某校有一个班级，设变量是该班同学的姓名，变量是该班同学的学号，变量是该班同学的身高，变量是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中一定正确的是　　 A．是的函数 B．是的函数 C．是的函数 D．是的函数 2、下列四个图象中，不可能是函数图象的是　　 A．B．C．D． 3、下列式子能表示关于的函数的是　　 A． B． C． D． （二）两个函数相同 确定函数定义域的方法： 1、关系式为整式时，函数定义域为全体实数； 2、关系式含有分式时，分式的分母不等于零； 3、关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； 4、关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； 5、对数函数真数部分大于零，底数大于零且不等于； 6、实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义． 函数相同： 如果两个函数的定义域和对应关系都完全一致，就称这两个函数是相同的. 【知识注释】 ①若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？ 不一定．如果函数和，其定义域与值域完全相同，但不是相等函数， ②若两个函数的对应关系与值域相同，是否为相等函数？ 不一定．如果函数和，其对应关系与值域完全相同，但不是相等函数， 综上：看两个函数是否相等，关键是看定义域和对应法则 例4、求下列函数的定义域 （1） （2） （3） （4）． 例5、若函数的定义域为，则实数的取值范围是___________． 例6、(1)与函数有相同图象的一个函数是　　 A． B． C． D． (2)下列各组函数是同一函数的是　　 ①与②与③与④与 A．① B．② C．③ D．④ 1、下列各组函数中，表示同一函数的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 2、函数的定义域是___________________. 3、函数的定义域为___________________. 4、若函数的定义域为，则实数的取值范围是____________． （三）函数的表示方法 1、解析法：用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为解析法 分段表示法：有一些函数在不同的区间上可以有不同的表达式，例如，函数就是通过来定义的，这种表示函数的方法叫做分段表示，其也是一种解析法 解析式求法 （1）待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可． （2）换元法：已知求时，往往可设，从中解出，代入进行换元，求出的解析式，再将替换为即可（此时要注意新元的取值范围）． （3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便得的解析式． （4）解方程组法(消去法)：已知关于与(或)的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程构成方程组求出． 2、列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表达函数关系的方法称为列表法，列表法通常用在定义域为有限集的情况 3、图像法：利用函数的图像来表示函数的方法称为图像法 注：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 例7、（1）已知函数，则　　 A．0 B． C．1 D．2 （2）已知函数由表给出，则　 　，满足的的值是　 　． 2 3 3 1 （3）中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的已套指数体系．如图所示的折线图是2017年和2018年的中国仓储指数走势情况．根据该折线图，下列结论中不正确的是　　 A．2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大 B．这两年的最大仓储指数都出现在4月份 C．2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年 D．2018年各仓储指数的中位数与2017年备月仓储指数中位数差异明显 例8、（1）若，则　 　 （2）设，则　 　． （3）已知函数满足，其中且，则函数的解析式为　 　． （4）一次函数且随的增大而减小，且满足，则　 　． 1、若函数的解析式为，则　　． 2．已知，且，则的值为_________． 3、给出函数，如表，则的值域为　　 1 2 3 4 4 3 2 1 1 2 3 4 1 1 3 3 A．， B．， C．，2，3， D．以上情况都有可能 4、科技研发是企业发展的驱动力量年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示． 根据折线图和条形图，下列结论错误的是　　 A．2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大 B．2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小 C．该企业连续12年来研发投入逐年增加 D．该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加 5、已知函数满足：，则函数的表达式　 　． 6、已知：，则　 　． 7、已知函数满足，则　 ． 8、已知二次函数满足条件和． （1）求函数的解析式； （四）函数的运算 一般地，已知两个函数，设，并且不是空集，那么当时，与都有意义．于是把函数叫做函数与的和． 类似于两个函数的和，已知两个函数，设，并且不是空集，那么当时，与都有意义．于是把函数叫做函数与的积． 例9、(1)设函数，，则函数的定义域为_________． (2)已知函数，则　 　. (3)设函数，，则　 　. 例10、对定义域分别是、的函数、，规定：函数． （Ⅰ）若，，写出函数的解析式； （Ⅱ）求问题（1）中函数的值域． 1、设，，则　 　． 2、若函数，，则　　． 3、已知函数，． （1）求的值； （2）若，写出的解析式，求函数的最小值与最大值． ( 第 1 页 共 2 页 )函数的概念与表示—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$