对数函数-2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

对数函数 教学目标 1、理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型； 2、探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较； 3、掌握对数函数的图像及性质. 重 点 1、 掌握对数函数的图像与性质，解决与对数函数相关的复合函数的题目； 2、应用对数函数的性质解决简单的实际问题. 难 点 对数函数的图像和性质 （一）对数函数的定义与图像 1、当固定，且时，以为底的对数确定了变量随着变量变化的规律，称为底为的对数函数（logarithmic function） 因为只有当时才有意义，所以对数函数的定义域是正实数的全体. 例1、函数为对数函数，则等于_________. 例2、求下列函数的定义域 （1）（2）（3） 例3、若函数的定义域为一切实数，则实数的取值范围为____________． 例4、分别作出对数函数，和，. 1、若函数是对数函数，_________. 2、求下列函数的定义域. 3、已知函数的定义域为，则实数的取值范围为_____________. （二）对数函数的性质 1、规定对数函数的底 2、函数的图像与的图像关于轴对称. 3、定理 当，时，成立 证明 用反证法，如果，由指数函数的性质，就可得，与矛盾. 此定理又称为对数的基本不等式 4、对数函数单调性 当时，对数函数在上严格递增； 当时，对数函数在上严格递减. 图象 图像特征 （1）图像都在轴右侧，无限趋近于轴，但永不相交 （2）过定点 （3）自左至右图像上升 （3）自左至右图像下降 函数性质 （1）定义域为 （2）当时， （3）在上严格递增函数 （3）在上严格递减函数 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近轴； 当时，底数越小，图象越靠近轴，即“底大图低”． 5、因为是的解，所以说对数运算是指数运算的一种逆运算.作为函数，称对数函数是指数函数的反函数 6、指数函数的图像与其反函数的图像关于直线对称 原函数过点，反函数过点 例5、若函数过定点，则点的坐标是__________． 例6、函数在，上最大值比最小值大1，则__________． 例7、（1）如图所示的曲线，，，分别是函数，，，的图象，则a，b，c，d的大小关系是（ ） A． B． C． D． （2）函数的大致图象为　　 A． B． C． D． （3）当时， 在同一坐标系中，函数与的图像是（ ） A． B． C． D． 例8、利用对数函数的单调性，比较下列各题中两个对数的大小. （1）， （2），； （3）;; （4），; 例9、（1）比较与的大小. . （2）16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算而发明了对数，我们来估计有多大，为乘方运算，我们对取常用对数，将乘方运算降级为乘法运算：，所以，则是几位数　　 A．29 B．30 C．31 D．32 例10、(1)函数的定义域为____________. （2）函数的定义域是__________. 例11、(1)已知函数是严格增函数，则实数的取值范围是___________． （2）若 ，则的取值范围是_____________. 例12、(1)已知函数在(－1,0)上，那么(　　) A．在(－∞，0)上是增函数 B．在(－∞，0)上是减函数 C．在(－∞，－1)上是增函数 D．在(－∞，－1)上是减函数 （2）若，则（ ） A． B． C． D． （3）如果，那么　　 A． B． C． D． 例13、（1）已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____________. （2）当时，恒成立，则a的取值范围是__________. 例14、在流行病学领域，常用模型作为预测预警模型，有学者根据已公布的数据建立了某国新州萨炎在时间段（单位：天）内的函数为，其中，为累积确诊病例数，为内最大的每天确诊病例数，当时，标志着及情己取得初步遏制，则此时约为________天（精确到1天）． 例15、要测定古物的年代，常用碳的放射性同位素的衰减来测定：在动植物的体内都含有微量的，动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原有的含量的衰变经过5570年的半衰期），它的残余量只有原始量的一半．若的原始含量为，则经过年后的残余量与之间满足． （1）求实数的值； （2）测得湖南长沙马王堆汉墓女尸中的残余量约占原始含量的，试推算马王堆古墓的年代（精确到100年）． 例16、由函数图像，画出下列各函数图像。 （1）（2）（3）（4）（5）（6） 例17、（1）已知函数，，若函数在区间上的最大值为2，则（ ） A． B． C． D．100 （2）已知函数，若，则的取值范围是　　． 1、函数的图像恒过一定点是_____________. 2、比较大小（1）和； （2）log35和log64； 3、若函数在上单调递减，则实数的取值范围是________． 4、函数的定义域为 . 5、.(>,<) 6、若函数在区间，上的最大值是最小值的3倍，则___________. 7、设，都是不等于的正数，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8、若，且函数，则下列各式中成立的是　　 A．（2） B．（2） C．（2） D．（2） 9、当时，在同一坐标系中，函数与的大致图像只可能是（ ） A． B． C． D． 10、不等式的解集是___________. 11、某种微生物的日增长率，经过天后其数量由变化为，并且满足方程，实验检测，这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率________（精确到． 12、时，不等式恒成立，则的取值范围是____________. ( 第 1 页 共 2 页 )对数函数—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$