对数函数-2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

对数函数

教学目标	1、理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型； 2、探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较； 3、掌握对数函数的图像及性质.
重    点	1、掌握对数函数的图像与性质，解决与对数函数相关的复合函数的题目； 2、应用对数函数的性质解决简单的实际问题.
难    点	对数函数的图像和性质

 

（一）对数函数的定义与图像

 

1、当固定，且时，以为底的对数确定了变量随着变量变化的规律，称为底为的对数函数（logarithmic function）

因为只有当时才有意义，所以对数函数的定义域是正实数的全体.

 

 

例1、函数为对数函数，则等于_________.

 

 

 

 

例2、求下列函数的定义域

（1）（2）（3）

 

 

例3、若函数的定义域为一切实数，则实数的取值范围为____________．

 

 

 

例4、分别作出对数函数，和，.

 

 

 

 

 

1、若函数是对数函数，_________.

 

 

2、求下列函数的定义域.

 

 

3、已知函数的定义域为，则实数的取值范围为_____________.

 

 

 

 

（二）对数函数的性质

 

1、规定对数函数的底

2、函数的图像与的图像关于轴对称.

3、定理 当，时，成立

证明 用反证法，如果，由指数函数的性质，就可得，与矛盾.

此定理又称为对数的基本不等式

4、对数函数单调性

当时，对数函数在上严格递增；

当时，对数函数在上严格递减.

图象
图像特征	（1）图像都在轴右侧，无限趋近于轴，但永不相交
	（2）过定点
	（3）自左至右图像上升		（3）自左至右图像下降
函数性质	（1）定义域为
	（2）当时，
	（3）在上严格递增函数	（3）在上严格递减函数
在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近轴； 当时，底数越小，图象越靠近轴，即“底大图低”．

5、因为是的解，所以说对数运算是指数运算的一种逆运算.作为函数，称对数函数是指数函数的反函数

6、指数函数的图像与其反函数的图像关于直线对称

原函数过点，反函数过点