18 指数函数-2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

指数函数 教学目标 1、掌握指数函数的概念，明确指数函数的定义域； 2、掌握指数函数图象，学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型； 3、通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法． 重 点 指数函数的图像与性质及应用 难 点 指数函数的图像与性质及应用 （一）指数函数的定义与图像 1、指数函数的概念 定义 当底数固定，且时，等式确定了变量随变量变化的规律，称为底为的指数函数（exponential function） 2、指数函数的定义域 因为对所有实数都是有意义的，所以指数函数的定义域是全体实数. 例1、（1）下列是指数函数的是　　 A． B． C． D． （2）若函数为指数函数，则　 　． （3）指数函数且的图象经过点，则该指数函数的表达式为　 　． 例2、（1）函数的定义域是　 　． （2）函数的定义域是　 　． 例3、在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象： （1）； （2）． 1、下列函数中是指数函数的个数为　　 ① ② ③ ④． A．1 B．2 C．3 D．4 2、函数是指数函数，则等于______． 3、已知指数函数的图象过点，该指数的解析式为____________． 4、函数的定义域是　 　． 5、在同一平面直角坐标系中，画出下列两个函数的图象，并指出它们的共同性质． （1）； （2）． （二）指数函数的性质 1、指数函数的单调性 当时，指数函数在上严格增函数；当时，指数函数在上是严格减函数. 【知识注释】 当时，若，则，由幂的基本不等式有，即.此时，称指数函数（）在上严格增函数，即随着的（严格）增大而（严格）增大. 2、指数函数的图像和性质 函数名称 指数函数 定义 函数叫做指数函数 图象 图像特征 （1）图像都在轴上方，无限趋近于轴，但永不相交 （2）过定点 （3）自左至右图像上升 （3）自左至右图像下降 函数性质 （1）定义域为，函数值恒正 （2）当时， （3）在上是严格增函数 （3）在上严格减函数 3、有关指数型函数的性质应用 指数函数在生产实际和科学研究中有很多应用.银行存款和贷款、GDP的增长、人口增长等都有可能涉及指数函数. 指数增长：当时，不仅随着的增长而 例4、（1）函数的图象必经过点　　 A． B． C． D． （2）若函数是实数集上的严格递增函数，则实数的取值范围为____________ （3）若函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是____________． 例5、（1）如图所示：曲线，，和分别是指数函数，, 和 的图象,则，，， 与1的大小关系是（ ） A． B． C． D． （2）已知实数满足等式，下列关系式中不可能成立的是（ ） A． B． C． D． 例6、判断下列各数的大小关系： （1）与； （2） （3）22.5，(2.5)0， （4）与 例7、（1）不等式的解集为______________． (2)不等式的解集为______________． （3）不等式恒成立，则的取值范围是 　 　． （4）解关于的不等式. 1、函数的图象必经过点　 　． 2、若指数函数是上的严格递减函数，则的取值范围是__________． 3、指数函数在上的最大值与最小值的和为3，则.的值__________ 4、设，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 5、如果，，那么函数的图象在　　 A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 6、若，则实数的取值范围是　 　． （三）指数的综合 例8、函数在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则实数的值是_____ 例9、（1）现有某种细胞100个，其中有约占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，要使细胞总数超过个，需至少经过　　 A．42小时 B．46小时 C．50小时 D．52小时 （2）探测某片森林知道，可采伐的木材有10万立方米．设森林可采伐木材的年平均增长率为，则经过_____年，可采伐的木材增加到40万立方米． 例10、利用函数的图象作出下列函数的图象． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 例11、（1）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则　 　． （2）若关于的方程有负实数解，则实数的取值范围为　　． （3）若且，函数与的图象有两个交点，则的取值范围是_____________． 例12、已知函数且在，上的最大值与最小值之和为20，记． （1）求的值； （2）证明； （3）求的值． 1、若函数，在，中的最大值比最小值大，则等于___________. 2、当时，函数的值恒大于1，则实数的取值范围是 ________ . 3、函数与的图象大致是（ ） A． B． C． D． 4、某城区从某年开始的绿化总面积（万平方米）与时间（年的关系为．则该城区绿化总面积从4万平方米到12万平方米所用的时间为_______年．（四舍五入取整） 5、如图是某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法： ①此指数函数的底数为2； ②在第5个月时，野生水葫芦的面积会超过； ③野生水葫芦从蔓延到只需1.5个月； ④设野生水葫芦蔓延至、、所需的时间分别为、、则有； 其中正确的说法有　 　．（请把正确的说法的序号都填在横线上）． 6、作下列函数的大致图象： （1） （2）． 7、已知实数，满足等式，下列五个关系式： ①，②，③，④，⑤ 其中不可能成立的关系式有　 　． ( 第 1 页 共 2 页 )指数函数—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$