幂函数 -2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

幂函数 教学目标 1、掌握幂函数的概念； 2、掌握常规幂函数的性质和图像； 3、幂函数性质的综合运用. 重 点 1、判断幂函数的单调性和对称性； 2、判断简单的复合函数的性质； 3、可以画出常规幂函数的图像，并会用平移、对称、翻折进行图像变化. 难 点 1、判断幂函数的单调性和对称性并会画幂函数的图像； 2、幂函数性质的综合运用. （一）幂函数定义与图像 1、定义：当指数固定，等式确定了变量随变量变化的规律，称为指数为的幂函数. 使得有意义的的取值范围，称为此幂函数的定义域.幂函数的定义域可以是不同的的，它与指数的值有关. 注意：幂函数的底数是变量，系数是1，． 2、幂函数的图像 1） 当时，的图像关于原点成中心对称； 当时，的图像关于轴对称； 2），当是偶数，是奇数时，的图像关于轴对称； 当是奇数，是奇数时，的图像原点成中心对称； 当是奇数，是偶数时，只在第一象限有图像. 例1、（1）已知幂函数的图象经过点，则此幂函数表达式为__________． （2）函数是幂函数，则__________． 例2、求下列函数的定义域，并作出它们的大致图像. 1、 ；2、 ；3、 例3、下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 例4、写出下列函数的定义域，并指出哪些图像关于原点成中心对称，哪些图像关于轴对称： 1、；2、；3、；4、；5、 ；6、 1、已知幂函数的图像经过点，则______. 2、已知函数的图象如图所示，则的大小关系为(　　) A． B． C． D． 3、已知幂函数①，②，③，④，其中图像关于轴对称的是__________（填写全部正确的编号） （二）幂函数的性质 当时，幂函数有下列性质： （1）图象都通过点； （2）在区间上严格递增； （3）在第一象限内，时，图象是向下凹的上升曲线； 当时，图象是向上凸的上升曲线． 当时，幂函数有下列性质： （1）图象都通过点； （2）在区间上严格递减，图象是向下凹的下降曲线．（在第一象限内越大，图象下落的速度越快） 注意： 无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限． 例5、以下结论正确的是（ ） A．当时，函数的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过、两点 C．若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内随的增大而增大 D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 例6、（1）已知幂函数（且互质）的图象如图所示，则（ ） A．，均为奇数，且 B．为偶数，为奇数，且 C．为奇数，为偶数，且 D．为奇数，为偶数，且 （2）幂函数的图象如图所示，则的值为（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 例7、（1）函数是幂函数，且在上是严格单调递增，则实数____________. （2）函数是幂函数且图像关于轴偶函数，则的值为_________． 例8、比例下列各组数的大小. （1）和；（2）(–2)–3和(–2.5)–3； （3）(1.1)–0.1和(1.2)–0.1；（4）和. 例9、（1）若，则取值范围为__________. （2）若，且函数与的图象恰有两个交点，则满足条件的不同集合有________个. 例10、（1）若且，则与的大小关系是_________． （2）满足的实数的取值范围是_____________. （3）已知，则实数的取值范围为________. 例11、（1）幂函数，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么＝（ ） A．0 B．1 C． D．2 1、如图的曲线是幂函数在第一象限内的图像.已知分别取，四个值，与曲线、、、相应的依次为（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2、1.5－3.1，23.1，2－3.1的大小关系是（ ） A．23.1＜2－3.1＜1.5－3.1 B．1.5－3.1＜23.1＜2－3.1 C．1.5－3.1＜2－3.1＜23.1 D．2－3.1＜1.5－3.1＜23.1 3、已知幂函数在严格单调递增，则实数的值为　　 A． B．3 C．或3 D．1或 4、设和是两个不同幂函数，集合，则集合中元素个数为（ ） A．1或2或0 B．1或2或3 C．1或2或3或4 D．0或1或2或3 5、已知实数满足，则实数的取值范围是　 　． （三）函数图像的变换 （1）平移变换（左＋右-，上+下-） ①的图象，由的图象沿轴方向向左()或向右()平移个单位得到； ②的图象，由的图象沿y轴方向向上()或向下()平移个单位得到． （2）对称变换 ①与的图象关于轴对称； ②与的图象关于轴对称； ③与的图象关于原点对称． （3）翻折变换 ①要得到的图象，可先画出的图象，然后“上不动，下翻上”即可得到； ②要得到的图象，可先画出的图象，然后“右不动，左去掉，右翻左”即可得到． 例12、作出下列函数的大致图像： （1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 例13、（1）函数的图像可由的图像经过下列哪些变换后得到（ ） A．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 （2）设，作出的大致图像，讨论的性质，并比较与的大小. 1、已知函数的图象关于点对称，则（ ） A． B． C． D． 2、设函数，作出的图像并讨论其性质． 3、作出下列函数的图像： （1）； （2）． ( 第 1 页 共 2 页 )幂函数—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$