16 幂、指数与对数-2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

幂、指数与对数

教学目标	1、掌握幂、指数与对数的概念，能够熟练进行互化； 2、能够熟练地运用幂、指数与对数的运算性质进行计算； 3、了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明； 4、能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用.
重    点	幂、指数与对数的概念、运算以及对数的换底公式
难    点	幂与指数函数的互化、指数与对数的互化以及幂、指数与对数运算综合化简变形

 

（一）指数幂的拓展

 

一、指数幂的拓展

1、幂的有关概念：的次方叫做的次幂，记作.称为幂的底数（简称为底），为幂的指数.对任意给定的实数及正整数都有，；；成立.

正整数指数幂：

零指数幂：

负整数指数幂：

分数指数幂：

有理指数幂：

2、指数幂：对任意给定的正实数及实数，；；成立.

3、根式的概念：一般地，如果为大于1的整数，且，那么叫做的次方根.

当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数，这时，的次方根是唯一存在的，且用表示.

当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.这时，正数的正的次方根用，而负的次方根用，它们可以合并简写成.而负数没有偶次方根.

0的任何次方根都是0，记作.

4、式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.

当为奇数时，；当为偶数时，.

【知识补充】

1、一般地说，设是大于1的整数，当时，称满足的唯一正数为的次幂，记作.这样在条件时，就是的次方根.（为大于1的整数）.

2、当且是正奇数时，存在唯一的实数，使得，此时能被定义.

当且是正偶数时，因为不存在实数，使得，故不能定义.

当时，也可定义.

3、有理指数幂： ，称之为底为的有理数指数幂（，分数）

在，为正整数及为整数的条件下，，.

一般地，在为正整数，且时，对所有使得有意义的实数，都可定义.

4、定理  当时，恒成立.此定理有时也称为幂的基本不等式.

 

 

例1、（1）求16的4次方根；（2）求的次方根；

 

 

 

例2、计算下列各式的值．

①；      ②；      ③；       ④．

 

 

 

例3、（1）求下列各式的值

①；       ②       ③         

 

 

 

例4、设．下列计算中正确的是　　

A． B． C． D．

 

 

例5、（1）将根式化为分数指数幂是____________.

 

 

（2）化简的结果为____________.

 

 

（3）若，则等式成立的条件是（    ）

A．，       B．，        C．，        D．，

 

 

例6、（1）化简（其中）的结果是____________.

 

 

（2）化简结果为________________

 

（3）计算_______________.

 

例7、已知则的值为_______________.

 

 

例8、（1）已知，求下列各式的值：