16 幂、指数与对数-2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

幂、指数与对数 教学目标 1、 掌握幂、指数与对数的概念，能够熟练进行互化； 2、 能够熟练地运用幂、指数与对数的运算性质进行计算； 3、了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明； 4、能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用. 重 点 幂、指数与对数的概念、运算以及对数的换底公式 难 点 幂与指数函数的互化、指数与对数的互化以及幂、指数与对数运算综合化简变形 （一）指数幂的拓展 一、指数幂的拓展 1、幂的有关概念：的次方叫做的次幂，记作.称为幂的底数（简称为底），为幂的指数.对任意给定的实数及正整数都有，；；成立. 正整数指数幂： 零指数幂： 负整数指数幂： 分数指数幂： 有理指数幂： 2、指数幂：对任意给定的正实数及实数，；；成立. 3、根式的概念：一般地，如果为大于1的整数，且，那么叫做的次方根. 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数，这时，的次方根是唯一存在的，且用表示. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.这时，正数的正的次方根用，而负的次方根用，它们可以合并简写成.而负数没有偶次方根. 0的任何次方根都是0，记作. 4、式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 当为奇数时，；当为偶数时，. 【知识补充】 1、一般地说，设是大于1的整数，当时，称满足的唯一正数为的次幂，记作.这样在条件时，就是的次方根.（为大于1的整数）. 2、当且是正奇数时，存在唯一的实数，使得，此时能被定义. 当且是正偶数时，因为不存在实数，使得，故不能定义. 当时，也可定义. 3、有理指数幂： ，称之为底为的有理数指数幂（，分数） 在，为正整数及为整数的条件下，，. 一般地，在为正整数，且时，对所有使得有意义的实数，都可定义. 4、定理 当时，恒成立.此定理有时也称为幂的基本不等式. 例1、（1）求16的4次方根；（2）求的次方根； 例2、计算下列各式的值． ①； ②； ③； ④． 例3、（1）求下列各式的值 ①； ② ③ 例4、设．下列计算中正确的是　　 A． B． C． D． 例5、（1）将根式化为分数指数幂是____________. （2）化简的结果为____________. （3）若，则等式成立的条件是（ ） A．， B．， C．， D．， 例6、（1）化简（其中）的结果是____________. （2）化简结果为________________ （3）计算_______________. 例7、已知则的值为_______________. 例8、（1）已知，求下列各式的值： ①； ②． 1、可化为_______________. 2、代数式恒等于_______________. 3、化简的结果是（ ） A．2π－9 B．9－2π C．－1 D．1 4、下列等式中，根式与分数指数幂的互化正确的是　　 A． B． C． D． 5、化简的结果为___________ 6、求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 7、已则 的值为(　　) A． B．6 C． D．2 8、若，求的值． （二）对数 二、对数 1、对数的定义：在，，且的条件下，唯一满足的数，称为以为底的对数（logarithm），并用符号表示，而称为真数. 注意：对数的底是不等于1的正数.负数和零没有对数． 2、指数式与对数式的关系： 要能灵活运用这个关系，能随时将二者互化． 3、对数恒等式：（）。 4、对数的运算性质 对数性质1 当成立，则. 对数性质2 当成立，则. 对数性质3 当，对任何给定得实数成立，则. 5、换底公式及衍生性质： (1) (,， , ,) (2)， (3)， (4) 6、两种特殊的对数 ①通常将以10为底的对数叫做常用对数。的常用对数记作。 ②另外在科学技术中，常使用无理数为底的对数，以为底的对数叫做自然对数。记为。 例9、以下对数式中，与指数式等价的是　　 A． B． C． D． 例10、求下列各式的值： （1） （2） （3） 例11、求下列各式中的值； （1）； （2） 例12、若，，，，下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 例13、求下列各式的值 （1）； （2）； （3）； （4）； （5） 例14、（1）若，则__________． （2）如果，，那么__________． 例15、测量地震级别的里氏震级的计算公式为：，其中是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，而此次地震的里氏震级恰好为6级，那么里氏9级地震的最大的振幅是里氏5级地震最大振幅的___________倍． 例16、对数的创始人约翰·奈皮尔（John Napier，1550—1617）是苏格兰数学家.直到18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系.人们才认识到指数与对数之间的天然关系.对数发现前夕，随着科技的发展，天文学家做了很多的观察，需要进行很多计算，而且要算几个大数的连乘，往往需要花费很长时间.基于这种需求，1594年，奈皮尔运用了独创的方法构造出对数方法.现在随着科学技术的需要，一些幂的值用数位表示，譬如，所以的数位为4（一个自然数效位的个数，叫做数位）.则的数位是（ ） （注） A．6679 B．6680 C．6681 D．6682 例17、（1）若，，则等于___________. （2）等于___________. （3）已知,,求的值. （4）已知，则___________. （5）已知，求m的值． 1、实数•+lg4+2lg5的值为___________. 2、若，则的值为___________. 3、若均为正数，且，则（ ） A． B． C． D． 4、下列对数运算中，一定正确的是　　 A． B． C． D． 5、人们用分贝来划分声音的等级，声音的等级单位与声音强度（单位）满足，一般两人小声交谈时，声音的等级约为，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（ ） A． B． C． D． 6、的值为（ ） A． B． C． D． 7、已知，，试用，表示为____________. 8、=_____________. 9、已知，则（ ） A．-2 B．2 C． D． （三）幂、指、对综合运算 例18、（1）计算：； （2）已知，则 ． 例19、已知，则的最小值为 ． 例20、设，，均是正数， （1）若，求的值； （2）若，求的值． 例21、（1）设，求的值； （2）若，求的值. 例22、已知、、是不为1的正数，且，则的值为　　． 1、计算； 2、已知实数满足，且，则　　 A． B．2 C．4 D．8 3、求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0) 4、若a表示的小数部分，则的值是________． 5、已知 （1）求的值； （2）求的值. ( 第 1 页 共 2 页 )幂、指数与对数—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$