14 基本不等式及其应用-2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

基本不等式及其应用

教学目标	1、会用基本不等式比较大小和不等式的证明； 2、会用基本不等式求最值或取值范围； 3、利用基本不等式解决恒成立问题； 4、利用基本不等式解决实际问题； 5、了解三角不等式的含义，理解三角不等式公式及推导方法， 会进行简 单的应用
重    点	1、注意基本不等式求最值（取等号）成立的条件； 2、在学习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用． 3、三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用
难    点	利用基本不等式解决恒成立问题 三角不等式的发现和推导、取等条件.

 

（一）基本不等式

 

 

一、平均值不等式

1、基本不等式的形式

1）基本不等式：

如果是正数（或非负数），那么（当且仅当时取等号“=”）

2）常用不等式：

如果，那么（当且仅当时取等号“=”）

如果，那么（当且仅当时取等号“=”）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3）如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即

，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2、利用基本不等式证明不等式

    利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．

3、利用基本不等式求最值问题

（1）“积定和最小”：如果积是定值，那么当时，和有最小值；

（2）“和定积最大”：如果和是定值，那么当时，积有最大值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4、应用基本不等式解决实际问题

在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：

(1)设变量时一般把要求最值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；

(3)在定义域内，求出函数的最值；

(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．

 

例1、两数2和3的几何平均数是　       　．

 

 

 

例2、下列命题中正确的是           （    ）

    A、的最小值是2

    B、的最小值是2

    C、的最大值是

    D、的最小值是

 

 

例3、已知求证；

 

 

 

 

例4、 （1）已知，则的最小值是             。

 

 

（2）若，则的取值范围                    

 

（3）若，且，则的最大值为________；

 

 

 

例5、（1）若，则的最小值为        。

 

 

（2）若，则的最小值为         。

 

 

（3）求的最小值.