14 基本不等式及其应用-2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

基本不等式及其应用 教学目标 1、会用基本不等式比较大小和不等式的证明； 2、会用基本不等式求最值或取值范围； 3、利用基本不等式解决恒成立问题； 4、利用基本不等式解决实际问题； 5、了解三角不等式的含义，理解三角不等式公式及推导方法， 会进行简 单的应用 重 点 1、注意基本不等式求最值（取等号）成立的条件； 2、在学习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用． 3、三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用 难 点 利用基本不等式解决恒成立问题 三角不等式的发现和推导、取等条件. （一）基本不等式 一、平均值不等式 1、基本不等式的形式 1）基本不等式： 如果是正数（或非负数），那么（当且仅当时取等号“=”） 2）常用不等式： 如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 如果，那么（当且仅当时取等号“=”） ( 【 要点注释 】 和 两者的异同： （1）成立的条件是不同的：前者只要求 都是实数，而后者要求 都是正数； （2）取等号 “ = ” 的条件在形式上是相同的，都是 “ 当且仅当 时取等号 ” . （3） 可以变形为： ， 可以变形为： . ) 3）如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. ( 【 知识补充 】 1.在数学中，我们称 为 的 算术平均数 ，称 为 的 几何平均数 . 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 【知识拓展】 当 时， 推广 ： 是 个正数，则 称为这 个正数的算术平均数， 称为这 个正数的几何平均数，它们的关系是： ，当且仅当 时等号成立 . ) 2、利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 3、利用基本不等式求最值问题 （1）“积定和最小”：如果积是定值，那么当时，和有最小值； （2）“和定积最大”：如果和是定值，那么当时，积有最大值. ( 【 要点注释 】 基本不等式求最值需注意的问题： （ 1 ） 各数(或式)均为正 （ 非负 ） ； （ 2 ） 和或积为定值； （ 3 ） 等号能否成立，即 “ 一正 （ 非负 ） 、二定、三相等 ” 这三个条件缺一不可． 若无明显 “ 定值 ” ，则用配凑的方法，使和为定值或积为定值． 当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法． ) 4、应用基本不等式解决实际问题 在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点： (1)设变量时一般把要求最值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域； (3)在定义域内，求出函数的最值； (4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案． 例1、两数2和3的几何平均数是　 　． 例2、下列命题中正确的是 （ ） A、的最小值是2 B、的最小值是2 C、的最大值是 D、的最小值是 例3、已知求证； 例4、 （1）已知，则的最小值是 。 （2）若，则的取值范围 （3）若，且，则的最大值为________； 例5、（1）若，则的最小值为 。 （2）若，则的最小值为 。 （3）求的最小值. 例6、已知，且，则的最小值 。 例7、（1）已知：求的最小值。 （2）已知且，求的最小值. 例8、已知正数满足，试求、的范围。 例9、当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 （ ） A．(－∞,2] B．[2,+∞) C．[3,+∞) D．(－∞,3] 例10、某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留宽的通道，沿前侧内墙保留宽的空地，当矩形室的变长各为多少时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积时多少？ 例11、围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为(单位：元)。 （1）将总造价表示为的函数： （2）试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。 1、已知，，是全不相等的正实数，求证：． 2、已知、，则下列不等式中不一定成立的是 （ ） A． B． C． D． 3、已知．则的最小值为　　 A．6 B．5 C．4 D．3 4、若，，且，则的最大值为　 　． 5、若，是正数，且，则有　　 A．最小值4 B．最小值 C．最大值4 D．最大值 6、已知，则取最大值时的值为　　 A． B． C． D． 7、已知x>-1，当x为何值时，的值最小？最小值是多少？ 8、已知正数，满足，则的最小值是　 　． 9、已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。 10、直角三角形周长为2，则该三角形面积的最大值为 11、如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成. （1）现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？ （二）三角不等式 二、三角不等式 定理（三角不等式）两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和，即对于任意给定的实数，有，且等号当且仅当时成立。 【知识拓展】： 1、 对于任意给定的实数，有，且等号当且仅当时成立 2、 对于任意给定的实数，有，且等号当且仅当时成立 3、对于任意给定的实数，有，且等号当且仅当时成立 注释：核心思想构造或者为定值 三、其他不等式（补充） 1、，且等号当且仅当时成立 2、，且等号当且仅当时成立 3、，且等号当且仅当时成立 例12、求证：（1）；（2）. 例13、不等式取等号的条件是　　 A． B． C． D． 例14、（1）求的最大值； （2）求的最小值. 例15、不等式对一切都成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 1、函数的最小值为　　 A．2 B． C．4 D．6 2、函数的最大值为　　 A． B．1 C．4033 D． 3、已知函数，则当其取最小值时，自变量的取值范围是　　 A．， B．， C．， D． 4、不等式恒成立，则的取值范围为　 　． ． 5、若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是　　 A．或 B． C． D． ( 第 1 页 共 2 页 )基本不等式及其应用—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$