一元二次不等式的求解-2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

一元二次不等式的求解 教学目标 1.熟练掌握一元一次不等式组的解法，会用一元一次不等式组解决有关的实际问题； 2.理解一元一次不等式组应用题的一般解题步骤，逐步形成分析问题和解决问题的能力； 3.用一元二次函数的图像解决一元二次不等式； 4.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的联系，体会数形结合、化归的数学思想； 5.会解决有关二次含参问题，准确的理解参数和变量之间的关系，能够熟练的进行主副元的转化； 6.熟练地掌握一元二方程和二次函数的关系，能够很好的把文字语言转化为数学符号. 重 点 1.用一元二次函数的图像解决一元二次不等式； 2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的联系，体会数形结合、化归的数学思想； 3.会解决有关二次含参问题，准确的理解参数和变量之间的关系，能够熟练的进行主副元的转化； 4.熟练地掌握一元二方程和二次函数的关系，能够很好的把文字语言转化为数学符号. 难 点 1.含有字母系数的不等式组的解集的讨论； 2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的联系，体会数形结合、化归的数学思想； 3.会解决有关二次含参问题，准确的理解参数和变量之间的关系，能够熟练的进行主副元的转化. （一）一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 一、一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 1、一元一次不等式 （1）一元一次不等式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为或的形式，其中是未知数，是已知数，并且，这样的不等式叫一元一次不等式．或()叫做一元一次不等式的标准形式． （2）解一元一次不等式：去分母→去括号→移项→合并同类项(化成或形式)→系数化一(化成或的形式) 2、一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 例如是一元一次不等式组，定义中的“几个”并没有确定个数，但必须是两个或两个以上； 另外，这里的几个一元一次不等式组必须含有同一个未知数，否则就不是一元一次 方程组了，例如，不等式组中的每一个不等式虽然都是一元一次不等式，但在这个不等式组中，未知数共有两个，所以这个不等式组不是一元一次不等式组． （2）一元一次不等式组的解集： 一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集，当几个不等式的解集没有公共部分时，称这个不等式组无解(解集为空集)． （3）解一元一次不等式组的步骤： ⑴求出这个不等式组中各个不等式的解集； ⑵利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集． （4）由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型：(表中) 不等式 图示 解集 (同大取大数) (同小取小数) (大小交叉中间找) 无解 (大大小小没有解) 例1、下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）个. ①；②；③；④；⑤. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 例2、（1）不等式的非负整数解有（ ）个.. A. 4 B. 5 C. 6 D. 无数 （2）不等式4x－的最大的整数解为（ ）. A. 1 B. 0 C. －1 D. 不存在 例3、不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 例4、已知关于的不等式组的整数解只有三个，则的取值范围是（ ） A．或 B． C． D． 例5、对于有理数a，b，定义的含义为：当时，；当时，．例如：，． （1） ； （2）求； （3）已知，求k的取值范围． 例6、自学下面材料后，解答问题. 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式.如：；等.那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负.其字母表达式为： (1)若＞0，＞0，则＞0；若＜0，＜0，则＞0； (2)若＞0，＜0，则＜0；若＜0，＞0，则＜0. 反之：(1)若＞0，则或 (2)若＜0，则__________或__________. (3)根据上述规律，求不等式的解集. (4)试求不等式的解集. 1、当代数式的值大于10时，的取值范围是________. 2、若不等式的正整数解是1，2，3，则的取值范围是________. 3、若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4、已知关于的不等式＜7的解也是不等式－1的解，求的取值范围． 5、若我们规定[x）表示大于x的最小整数，例如[3）=4，[﹣1.2）=﹣1，则下列结论：①[0）=0；②[x）﹣x的最小值是0； ③[x）﹣x的最大值是0； ④存在实数x，使[x）﹣x=0.5成立．其中正确的是______________．（填写所有正确结论的序号） 6、设是正实数，我们用表示不小于的最小正整数，如在此规定下任一正实数都能写成如下形式：，其中. (1)直接写出与的大小关系： (2)根据(1)中的关系式，求满足的的取值范围. （二）一元二次不等式 二、一元二次不等式的解法 1、一般流程： ①将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． ②求出相应的一元二次方程的根． ③利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 二次函数 的图像 的根 的解集 的解集 口诀：小于取中间，大于取两边 ( 【知识注释】 方程的根 → 函数草图 → 观察得解 注 1 ：对于二次型不等式应首先考虑二次项系数的情况，当二次项系数为0时，按照一次不等式来解决，对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。 注 2 ：对于含参一元二次不等式 问题 首先考虑能不能因式分解，然后就二次方程根进行分类讨论，同时注意判别式韦达定理的应用。 ) 例7、（1）设集合，，则（ ）. A． B． C． D． （2）不等式的解集为__________. （3）不等式－6x2－x＋2≤0的解集是____________． 例8、（1）关于的一元二次不等式的解集为__________． （2）关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例9、（1）已知不等式的解集为，则实数= ． （2）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集. 例10、关于x的不等式的解集为，且，则________. 例11、若不等式组的整数解只有－2，则k的取值范围是________． 例12、（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（ ） A．或 B．或 C． D． （2）若关于的不等式解集为，求实数的取值范围． （3）已知不等式的解集不是空集，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 （4）若关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是________. 例13、（1）对于实数，当且仅当时，规定，则不等式的解集是_____． （2）定义在上的运算：.若不等式对任意实数都成立，则（ ） A． B． C． D． 1、求解不等式的解集_____________ 2、求关于的一元二次不等式的解集． 3、关于的不等式的解集为，则________. 4、若关于x的不等式正整数解只能为5，则整数a的值为________. 5、已知关于的不等式的解集为,求实数的取值范围. 6、在R上的定义运算：则满足的解集为（ ） A．(0，2) B．(-2，1) C． D．(-1，2) （三）一元二次方程根的分布 三、一元二次方程根的分布（知识补充） 一元二次方程两实根为函数与轴交点为 （1） 其中 （2） （3） （4） （5） （6） 例14、不等式的解集为则函数的图像大致为（ ） A． B． C． D． 例15、若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A． B．且 C． D．且 例16、（1）一元二次方程有两个负根，则实数的范围为（ ） A． B． C． D． （2）若关于的方程的两实数根均大于，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． （3）若关于的方程的一根小于1，另一根大于1，那么实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例17、（1）已知关于的方程的两个根在内，求实数的取值范围_____________ （2）方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． （3）若关于的方程的一个实根小于，另一个实根大于1，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例18、关于的方程至少有一个实根在区间在，内，则实数的取值范围是　 　． 1、若方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2、设，关于的一元二次方程有两实数根，，且． 则的取值范围____________ 3、方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4、二次方程,有一个根比大,另一个根比小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5、若方程只有正根，则m的取值范围是（ ） A．或 B． C． D． ( 第 1 页 共 2 页 )一元二次不等式的求解—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$