11 等式与不等式性质-2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

等式与不等式性质

教学目标	1、熟练运用等式的性质，能够熟练地等价变形来进行等式转化和方程的求解； 2、掌握一元二次方程的解集及根与系数的关系，熟练地运用韦达定理来解决相应问题； 3、以不等式性质基础为前提，熟练运用不等式的基本性质进行相应问题的等价转化.
重    点	1、韦达定理 2、不等式的基本性质
难    点	1、根据韦达定理去求参数 2、不等式的基本性质的应用.

 

（一）等式的性质与方程的解集

 

一、等式的性质与方程的解集

等式的性质：

（1）传递性       设均为实数，如果，且，那么.

（2）加法性质     设均为实数，如果，那么.

（3）乘法性质     设均为实数，如果，那么.

 

方程的解集

含有未知数的等式称为方程.使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根.

以方程的解为元素所构成的集合称为方程的解集.

 

等式的性质

①等式的传递性

例1、我们知道“对于实数，，，若，，则”，即相等关系具有传递性．小敏由此进行联想，提出了下列命题：

①，，是直线，若，，则．

②，，是直线，若，，则．

③若与互余，与互余，则与互余．

其中正确的命题是　　

A．① B．①② C．②③ D．①②③

 

②加法性质

例2、已知，，，求的值．

 

 

 

③乘法性质

例3、下列各等式的变形中，一定正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

 

 

方程的解

例4、讨论关于的方程的解的情况．

 

 

 

 

 

例5、为何值时，方程组无解？

 

 

 

 

1、如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，若将图1中的阴影部分拼成一个矩形如图2，比较两图中阴影部分的面积，写出一个正确的等式：　          　．

 

 

 

 

 

 

 

2、已知：，，，求的值　        　．

 

 

 

 

3、下列等式变形错误的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

 

 

 

4、关于的方程，分别求，为何值时，原方程：（1）有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解．

 

 

 

 

 

 

 

5、若关于的方程组有无穷多组解，求的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

（二）一元二次方程的解集及根与系数的关系