11 等式与不等式性质-2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

等式与不等式性质 教学目标 1、熟练运用等式的性质，能够熟练地等价变形来进行等式转化和方程的求解； 2、掌握一元二次方程的解集及根与系数的关系，熟练地运用韦达定理来解决相应问题； 3、以不等式性质基础为前提，熟练运用不等式的基本性质进行相应问题的等价转化. 重 点 1、韦达定理 2、不等式的基本性质 难 点 1、根据韦达定理去求参数 2、不等式的基本性质的应用. （一）等式的性质与方程的解集 一、等式的性质与方程的解集 等式的性质： （1）传递性 设均为实数，如果，且，那么. （2）加法性质 设均为实数，如果，那么. （3）乘法性质 设均为实数，如果，那么. 方程的解集 含有未知数的等式称为方程.使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根. 以方程的解为元素所构成的集合称为方程的解集. ( 【 知识补充 】 （1）当一个等式成立时，在等式的两边减去同一个数，或除以同一个不等于零的数，该等式仍然成立. （2）常用解集的表示方法来表示方程和方程组的解. （3）方程的解和未知数的取值范围有关，同一个方程在未知数不同的取值范围内求解，其解集不一定相同. （4）在进行解方程时，一定要根据等式的基本性质，在同除以一个数时，注意这个数的非零性. （5）一元一次方程的解是数集的形式，二元一次方程组的解是点集的形式. ) 等式的性质 ①等式的传递性 例1、我们知道“对于实数，，，若，，则”，即相等关系具有传递性．小敏由此进行联想，提出了下列命题： ①，，是直线，若，，则． ②，，是直线，若，，则． ③若与互余，与互余，则与互余． 其中正确的命题是　　 A．① B．①② C．②③ D．①②③ ②加法性质 例2、已知，，，求的值． ③乘法性质 例3、下列各等式的变形中，一定正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 方程的解 例4、讨论关于的方程的解的情况． 例5、为何值时，方程组无解？ 1、如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，若将图1中的阴影部分拼成一个矩形如图2，比较两图中阴影部分的面积，写出一个正确的等式：　 　． 2、已知：，，，求的值　 　． 3、下列等式变形错误的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4、关于的方程，分别求，为何值时，原方程：（1）有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解． 5、若关于的方程组有无穷多组解，求的值． （二）一元二次方程的解集及根与系数的关系 二、一元二次方程的解集及根与系数的关系 1、概念：形如的方程为一元二次方程； 2、配方法：对一元二次方程进行配方得到方程： 3、判别式 从配方之后的方程可以看出：原方程有没有解，取决于代数式的正负；基于的重要性，令称为该一元二次方程的判别式，它决定了一元二次方程解的个数问题； （1）若，原方程有两个不等的实数根，这两个根是； （2）若，原方程有两个相等的实数根，； （3）若，原方程没有实根； 4、韦达定理 当上述一元二次方程有实数解时， （两个相等实根的情形也可以写成这样的形式） 现在考察，； ( 【 知识注释 】 注意： 在现在所学范围下， 使用韦达定理时，需判别 . ) 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： ， ( 【 知识补充 】 一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这个量的问题(相关地，抛物线与 轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律： 设 和 分别是一元二次方程 两根，则 ， ， ． 于是有下面的结论： 若 和 分别是一元二次方程 的两个根，则 (其中 )． ) 根的判别式 例6、已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　　 A． B． C． D． 韦达定理 例7、设、是一元二次方程的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，求下列各式的值． （1）； （2）． 例8、已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一根为3，求另一个根． 例9、已知两不等实数、满足，，则　　 A．2 B． C．3 D． 例10、设，是方程的两实数根，则　 　． 1、关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．无法确定 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2、、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值： （1） （2） （3） 3、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， （1）求的取值范围； （2）若是方程的一个根，求的值和另一个根． 4、已知一元二次方程，，则的值为　　 A． B． C． D．3 5、若，是方程的两个不同的实数根，则　 　． （三）不等式的性质 三、不等式的性质 1、不等式性质的基础 我们知道，两个实数与之间的大小关系，可以通过它们的差与零相比较来确定，即 ； ； 2、不等式的基本性质 （1）传递性 设均为实数，如果，且，那么. （2）加法性质 设均为实数，如果，那么. （3）乘法性质 设均为实数，如果，且，那么， 如果，且，那么 （4）同向可加性 （）； （5）同向可乘性 （）； （6）可倒性 ； （7）乘方性 . （8）开方性 . ( 【 知识补充 】 糖水不等式 ) 3、比较大小 比较两式大小的方法常见的有两种：作差法、作商法 作差法：第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段； 第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0． 第四部：下结论. 概括为“三步，一结论”，这里的“变形”一步最为关键． ( 【 知识补充 】 1 、 有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形到比较易于判断符号时，再作差，予以比较； 2 、 如果式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号．此时要注意分类合理恰当． ) ※※作商法：作商法比大小的变形要围绕与比大小进行. 作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与比大小从而确定两个数的大小. （一般运用的范围在正数范围内，幂指运算，和后期的数列学习中） 不等式的性质 例11、若，，则下列不等关系中不一定成立的是　　 A． B． C． D． 例12、设，，且，则下列关系式正确的是　　 A． B． C． D． 例13、下列命题正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例14、糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为，向糖水（不饱和）中再加入克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为　　 A． B． C． D． 比较大小 例15、　 　．（填“”或“” 例16、比较大小：　 　（填“”或“” ． 例17、试比较与的大小． 根据不等式性质求范围 例18、已知实数，，，则的取值范围是　 　． 例19、若则的范围是　 　；的范围是　 　． 例20、已知，，则的取值范围是　 　. 1、设，，则下列不等式中一定成立的是　　 A． B． C． D． 2、若，，，，则下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 3、若，则下列不等式不成立的是　　 A． B． C． D． 4、在横线上填上正确的不等号：　 　． 5、若，，则与的大小关系为　　 A． B． C． D． 6、已知且，比较与的大小． 7、已知，，则的取值范围为　 　（用区间表示）． 8、如果，那么的取值范围是　 　． 9、已知，若，则的取值范围为　 　． ( 第 1 页 共 2 页 )等式与不等式性质—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$