9 常用逻辑用语-2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

常用逻辑用语 教学目标 1、理解命题的概念与推出关系； 2、学会判断或证明命题的真假； 3、理解充分条件、必要条件及充要条件的意义； 4、会熟练判断充分条件、必要条件及充要条件 5、理解子集与推出关系. 重 点 1、理解充分条件、必要条件、充要条件之间的关系，并会判断证明. 难 点 1、充要条件问题的求解； 2、子集与推出关系. （一）命题 一、命题的概念 1、一般地，我们把用语言、符号或式子表达，且可以判断真假的语句叫做命题（proposition）． 2、命题通常用陈述句表述，含义判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题． ( 【 知识补充 】 （ 1 ） 命题通常用陈述句表述； （2）数学中常见的命题由条件和结论两部分组成； （ 3 ） 要确定一个命题是真命题，必须作出严格证明，证明只要满足命题条件就一定能推出命题的结论 ； （ 4 ） 要确定一个命题是假命题，只要举出满足条件而不满足结论的例子就可以了，即举反例 ) 3、命题“若，则”是真命题，是指对所有的满足条件的对象都满足结论.用集合的语言描述即是. 4、如果命题“若，则”是真命题，那么我们就称推出，记作（或） 因为子集关系满足传递性，所以递推关系也满足传递性：若且，则 例1、下列语句中不是命题的是　　 A．台湾是中国的 B．两军相遇勇者胜 C．上海是中国最大的城市 D．连接、两点 例2、下列命题中，属于真命题的是　　 A．各边相等的多边形是正多边形 B．矩形的对角线互相垂直 C．三角形的中位线把三角形分成面积相等的两部分 D．对顶角相等 例3、下列命题中是假命题的是　　 A．矩形的对角线相等 B．若是奇数，则是奇数 C． D．若，则 例4、把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． （1）能被6整除的数一定是偶数； （2）当时，，； （3）已知，为正整数，当时，，； （4）与同一直线平行的两个平面平行． 例5、用符号“”，“”或“”填空． （1）“”　 　“”； （2）“是整数”　 　“是自然数”； （3）“是实数”　 　“是实数”． 1、下列语句中不是命题的为　　 A．中国女排真棒！ B．闪光的东西并非都是金子 C．经过三点确定一个平面 D． 2、下列命题中，属于真命题的是　　 A．四条边都相等的四边形是正方形 B．矩形的对角线互相垂直 C．三角形一条边的中线把三角形分成面积相等的两部分 D．菱形的对角线相等 3、下列命题是假命题的是　　 A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对边相等 C．对角线相等的四边形是矩形 D．矩形的对角线相等 4、指出下列命题的条件与结论，并判断命题的真假： （1）若整数是偶数，则能被2整除； （2）对角线相等且互相平分的四边形是矩形； （3）相等的两个角的正切值相等． 5、从“”、“”与“”中选出适当的符号填空： （1）； （2）且． （二）充分条件与必要条件 二、充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件： 对于两个陈述句、，如果，就称是的充分条件（sufficient condition）．或称是的必要条件（necessary condition）． ( 【 知识注释 】 “ 充分 ” 二字说明 “ 为了使得 成立，有 就已足够 ” 的意思，而 “ 必要 ” 二字说明 “ 为了使得 成立， 不可或缺 ” 的意思. ) 2、充要条件： 对于两个陈述句、，如果既有，又有，我们就称是的充分必要条件，简称充要条件，记作.读作“与等价”或“成立当且仅当成立” ( 【 知识补充 】 若 ， 则称 是 的充分非必要条件 若 ， 则称 是 的必要非充分条件 若 ， 则称 是 的充要条件 若 ， 则称 是 的既非充分又非必要条件 充分条件是 “ 有它即可 ” ，必要条件是 “ 非它不行 ” ) 例6、指出下列各组命题中是的什么条件．（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件） （1）：数能被6整除；：数能被3整除； （2）；； （3）有两个角相等；是正三角形； （4）；； （5）在中，；； （6）；． 例7、若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是　 　． 例8、已知条件，条件，是的必要条件，则实数的取值范围为　 　． 例9、已知集合，3，，集合，，则“”的充要条件是实数　 　． 例10、已知集合，集合．若命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 例11、已知，证明：“”成立的充要条件是“”． 1、下列各题中，是的什么条件 “充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件” ？ （1），直角三角形． （2），至少有一个不为零，． （3）， （4）与是同类项，． 2、若“”是“ “的充分不必要条件，则实数的取值范围是　 　． 3、不等式的一个充分条件为，则的取值范围为　 　． 4、已知，，若“”是“”成立的充分条件，则实数的取值范围是　 　． 5、已知集合，，，2，，则“”是“”的　 　条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种填空） 6、已知，非空集合．若是的必要条件，求的取值范围． 7、已知，，证明：成立的充要条件是． （三）反证法 三、反证法 首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 应用反证法证明命题的第一步是假设命题的结论不成立，既否定命题的结论，这一步是十分关键的. 数学上一些常用的否定形式如下表所示： 原结论 否定形式 原结论 否定形式 是 不是 至少有一个 没有 都是 不都是 至多有一个 至少有二个 大于 小于或等于 至少有个 至多有-1个 小于 大于或等于 至多有个 至少有+1个 对所有的成立 存在不成立 或 非且非 对任何的不成立 存在成立 且 非或非 ( 【 知识补充 】 反证法 ：通过证明命题的 逆否命题 成立达到证明原命题成立的一种方法. （ 逆否命题 是逻辑关系中的一种表现形式 ） 一般 步骤 如下 ： （1）反设，即否定结论； （2）把否定结论而得到的条件与命题的已知一起进行正确推理，并引出矛盾； （3）肯定结论. ) 例12、下列语句的否定形式是什么？ ①；②且；③我们都是中国人；④我们都不是中国人；⑤我们至多一个是中国人；⑥我们至少5个是中国人；⑦我们班任意一个是中国人． 例13、用反证法证明某命题时，对结论：“自然数，，中恰有一个偶数”正确的假设为　　 A．，，都是奇数 B．，，都是偶数 C．，，中至少有两个偶数 D．，，中至少有两个偶数或都是奇数 例14、命题“若，，是一个三角形的三个内角，则，，不可能都大于”是真命题还是假命题？你能证明你的结论吗？ 例15、用反证法证明：是无理数． 1、写出下列命题的否定形式，并判断其真假： （1）若，则关于的方程有实数根； （2）若、都是奇数，则是奇数； （3）若，则、、中至少有一个为0； （4）若，则，且． 2、用反证法证明“如果，那么”，假设内容应是 　　 A． B． C．或 D．且 3、已知，，，用反证法证明：，，． ( 第 1 页 共 2 页 )常用逻辑用语—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$