一元二次方程根的分布-2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

一元二次方程根的分布 教学目标 1、会分析一元二次方程两根与所产生的相应关系； 2、会分析一元二次方程两根与所产生的相应关系； 3、会分析一元二次方程两根与区间所产生的相应关系； 4、对综合性的问题，要熟练运用转化的思想，转化成一元二次方程根的分布问题. 重 点 对于一元二次方程根的分布问题怎么进行等价转化 难 点 对综合性的问题，要熟练运用转化的思想，转化成一元二次方程根的分布问题 （一）与零有关的根的分布 设方程的不等两根为且，相应的二次函数为；此时方程的根，即为二次函数图象与轴交点的横坐标，它们的简单分布情况见下表： 类型一：两根与的大小比较即根的正负情况 分布情况 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 例1、（1）二次方程的两根都是正数，则的取值范围是　 　． （2）若方程的两根满足一根大于0，一根小于0，则的取值范围是　　． （3）关于的一元二次方程有两个负根，求的取值范围． 例2、已知方程． （1）若方程有两个不相等的正实根，求的取值范围； （2）若方程有两个不相等的负实根，求的取值范围； （3）若方程有两个不相等的异号实根，求的取值范围； （4）若方程有实根，求的取值范围. 例3、已知关于的方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请您说明理由． 1、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围． 2、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围． 3、若一元二次方程的两根都是负数，求的取值范围． 4、已知方程至少有一个负根，则实数的取值范围是　　 A．， B． C．， D．，， 5、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， （1）求的取值范围； （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． （二）两根与的大小比较 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 例4、（1）已知关于的方程的两个实数根都大于1，求实数的取值范围． （2）已知关于的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数的取值范围为　 　． （3）若关于的一元二次方程的两根均大于5，则实数的取值范围是　 　． 例5、（1）若关于的二次方程的两个互异的实根都小于1，则实数的取值范围是　 　． （2）若方程的两根中，一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围是　 　． （3）已知二次方程的两个根都大于1，则的取值范围为　 　． 1、一元二次方程有实数根，且两个实数根都大于，求实数的取值范围. 2、已知关于的方程有一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 3、已知关于的方程为的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 4、已知关于的方程，试讨论为何值时．方程的两根都小于1？ （三）根在区间上的分布 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内， 两根分别在区间外，即在区间两侧 大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 综合结论（不讨论） —————— —————— ( 【 知识补充 】 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： 两根有且仅有一根在 内有以下特殊情况： 若 或 ，则此时 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 或 ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 内，从而可以求出参数的值． 如方程 在区间 上有一根，因为 ，所以 ，另一根为 ，由 得 即为所求； 方程 有两个相等的根，且 根在区间 内 ， 即 ，此时由 可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数． 如方程 有且一根在区间 内，求 的取值范围．分析： ① 由 即 得出 ； ② 由 即 得出 或 ，当 时，根 ，即 满足题意；当 时，根 ，故 不满足题意；综上分析，得出 或 . ) 例6、已知方程有两个不相等的实根、． （1）若、，求的取值范围； （2）恰有一根在区间内，求的取值范围． 例7、二次函数对应的一元二次方程的实数根的分布问题是一个比较复杂的问题，给定一元二次方程． （1）若在范围内有两个实数根，则需满足　 　． （2）若在范围内有且只有一个实数根，则需满足　 　． 例8、已知关于的方程 （1）求证：方程有两个不相等实根． （2）若方程的一个根在上，另一个根在上．求的取值范围． 例9、若关于的方程的两实根，满足，则实数的取值范围是　 　． 例10、已知点，，如果抛物线与线段（不包括线段端点，有两个不同的交点，求满足的条件． 1、已知关于的方程的两个根在内，求实数的取值范围． 2、一元二次方程有实数根，且两个实数根都在内，求实数的取值范围. 3、已知关于的方程的两根为，，若，求实数的取值范围． 4、已知关于的二次方程． （Ⅰ）若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求的取值范围． （Ⅱ）若方程两根均在区间内，求的取值范围． 5、若二次函数的图象与两端点为，的线段有两个不同的交点，则的取值范围是　 　． （四）根在区间上的分布 例11、已知方程，在下列条件下，求得范围： （1）两个正根； （2）两个负根； （3）两个根都小于1； （4）两个根都大于； （5）一个根大于1，一个根小于1； （6）两个根都在内； （7）两个根有且仅有一个在内； （8）一个根在内，另一个根在内； （9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大； （10）一个根小于2，一个根大于4； （11）一个根在内，另一个根在内． 例12、若关于的一元二次方程至少有一个正根，求的取值范围． 例13、已知方程有一个根小于，其余三个根都大于，求的取值范围． 例14、已知关于的方程：． （1）若该方程有两个不等实数根，求实数的取值范围； （2）若该方程有两个不等实数根，且这两个根都大于1，求实数的取值范围； （3）设函数，，，记此函数的最大值为，最小值为，求，的解析式． 1、设一元二次方程的两根为、，求在下列情况下，实数的取值范围 （1）方程有负数根； （2）方程有两个不等且都小于2的实数根； （3）方程有两个根，一个大于3，一个小于2； （4）方程有两个位于区间上的根． 2、已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围． 3、已知，证明关于的方程有两个不等的实根，且这两个根分别在区间和内． 4、已知关于的方程的两个实数根互为相反数． （1）实数的值； （2）关于的方程的根均为整数，求出所有满足条件的实数． ( 第 1 页 共 2 页 )一元二次方程根的分布—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$