二次函数-2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

二次函数 教学目标 1、熟练掌握二次函数的三种表达形式，以及熟知每个系数所代表的意义； 2、掌握并灵活运用二次函数的图像和性质，数形结合思想要始终记忆； 3、会讨论含参数的有关二次函数问题，会求各种类型的二次函数的最值． 重 点 1、二次函数的图像和性质的灵活运用； 2、各种类型二次函数最值的求法． 难 点 含有参数的二次函数的最值，数形结合思想和分类讨论思想的灵活运用 1、二次函数的三种解析式形式 （1）一般式：； （2）顶点式：，其中顶点坐标是； （3）交点式（两根式）：，其中是二次函数图象与轴交点的横坐标． 在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题． 2、二次函数的图像性质 二次函数中，决定了二次函数图象的开口大小及方向；决定了二次函数图象的左右平移，而且“正左移，负右移”；决定了二次函数图象的上下平移，而且“正上移，负下移”． （1）当时，函数图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，随着的增大而减小； 当时，随着的增大而增大； 当时，函数取最小值． （2）当时，函数图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，随着的增大而增大； 当时，随着的增大而减小； 当时，函数取最大值． 3、二次函数的最值 一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况． 设，求在上的最大值与最小值． 这里的指的就是以为变量，以为对应关系的函数，这也是在高中常用的与等价的另一种表达式。 分析：将配方，得对称轴方程， 当时，抛物线开口向上，若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；若，当时，抛物线开口向上，此时函数在上具有增减性性，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值． 当时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当时 当时 （一）二次函数的图像与解析式 例1、若函数是二次函数，那么的值是　　 A．2 B．或3 C．3 D． 例2、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1）已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线上，并且图象经过点； （2）已知二次函数的图象过点，，且顶点到轴的距离等于2； （3）已知二次函数的图象过点，，． 例3、抛物线经过点，它与轴交点的横坐标是和3． （1）求出抛物线的解析式； （2）用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）画出草图； （4）观察图象，取何值时，函数值小于零？取何值时，随的增大而减小？ 例4、二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数为，则　 　，　 　． 例5、某公司今年1月份推出新产品，其成本价为492元件，经试销调查，销售量与销售价的关系如下表： 销售价（元件） 650 662 720 800 销售量（件 350 333 281 200 由此可知，销售量（件与销售价（元件）可近似看作一次函数的关系（通常取表中相距较远的两组数据所得的一次函数较为精确）．试问：销售价定为多少时，1月份利润最大？并求最大利润和此时的销售量． 例6、如图是一个二次函数的图象． （1）当时，的值为什么？； （2）写出这个二次函数的解析式； （3）当时，仔细观察图象，直接写出函数的值的取值范围． 1、若是二次函数，且开口向上，则的值为　　 A． B． C． D．0 2、（1）已知二次函数经过三点，求此二次函数的解析式． （2）图象顶点坐标为，与轴交点坐标为，求此二次函数的解析式； （3）已知二次函数满足，，求此二次函数的解析式． 3、对于二次函数， （1）指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标； （2）画出它的图象，并说明其图象由的图象经过怎样平移得来； （3）求函数的最大值或最小值； （4）分析函数的变化规律． 4、为了得到函数，图象，只需把函数，的图象上所有的点　　 A．向左平移5个单位，向上平移4个单位 B．向右平移5个单位，向上平移4个单位 C．向左平移5个单位，向下平移4个单位 D．向右平移5个单位，向下平移4个单位 5、某商场经营一批进价是30元件的商品，在市场试销中发现，此商品销售价元与日销售量件之间有如下关系： 45 50 27 12 （Ⅰ）确定与的一个一次函数关系式； （Ⅱ）若日销售利润为元，根据中关系写出关于的函数关系，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？ 6、已知二次函数． （1）写出下列各点的坐标：①顶点；②与轴交点；③与轴交点； （2）如何平移．的函数图象，可得到函数的图象； （3）的图象与的图象开口大小相同，开口方向相反；的顶点坐标为，求的解析式． （二）二次函数的最值 例7、求下列函数的最大值或最小值． （1）； （2）． （1）定轴定区间 例8、已知函数，求下列情况下二次函数的最值 （1）； （2）． 　 （2）定轴动区间 例9、求，的最值. （3）动轴定区间 例10、求，的最值． （4）动轴动区间 例11、已知，求的最小值． （5）逆向型 例12、已知函数在上的最大值为，求实数的值． （6）综合应用 例13、已知函数在自变量的取值范围是，因变量的取值范围为，求的值． 1、已知二次函数满足条件及. （1）求； （2）求在上的最大值和最小值. 2、当时，求函数的最小值(其中为常数)． 3、已知函数，求函数的最大值. 4、已知二次函数在上的最大值为3，求实数的值． 5、已知二次函数的图象与函数的图象关于点成中心对称， （1）的解析式； （2）是否存在实数、，满足的自变量的取值范围是，因变量的取值范围为，若存在，求、的值；若不存在，说明理由． ( 第 1 页 共 2 页 )二次函数—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$