二次函数-2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

二次函数

教学目标	1、熟练掌握二次函数的三种表达形式，以及熟知每个系数所代表的意义； 2、掌握并灵活运用二次函数的图像和性质，数形结合思想要始终记忆； 3、会讨论含参数的有关二次函数问题，会求各种类型的二次函数的最值．
重    点	1、二次函数的图像和性质的灵活运用； 2、各种类型二次函数最值的求法．
难    点	含有参数的二次函数的最值，数形结合思想和分类讨论思想的灵活运用

 

 

1、二次函数的三种解析式形式

（1）一般式：；

（2）顶点式：，其中顶点坐标是；

（3）交点式（两根式）：，其中是二次函数图象与轴交点的横坐标．

  在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．

 

2、二次函数的图像性质

二次函数中，决定了二次函数图象的开口大小及方向；决定了二次函数图象的左右平移，而且“正左移，负右移”；决定了二次函数图象的上下平移，而且“正上移，负下移”．

（1）当时，函数图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，随着的增大而减小；

当时，随着的增大而增大；

当时，函数取最小值．

 

（2）当时，函数图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，随着的增大而增大；

当时，随着的增大而减小；

当时，函数取最大值．

3、二次函数的最值

 一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．

设，求在上的最大值与最小值．

这里的指的就是以为变量，以为对应关系的函数，这也是在高中常用的与等价的另一种表达式。

    分析：将配方，得对称轴方程，

    当时，抛物线开口向上，若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；若，当时，抛物线开口向上，此时函数在上具有增减性性，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．

 当时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

    当时

   

当时

   

 

（一）二次函数的图像与解析式

 

 

例1、若函数是二次函数，那么的值是　　

A．2 B．或3 C．3 D．

 

 

 

 

 

例2、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线上，并且图象经过点；

（2）已知二次函数的图象过点，，且顶点到轴的距离等于2；

（3）已知二次函数的图象过点，，．