韦达定理 -2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

韦达定理 教学目标 1、了解一元二次方程，并会用配方法求解一元二次方程； 2、掌握一元二次方程的根的判别式，熟知根与之间的关系； 3、掌握根与系数之间的关系——韦达定理； 4、会用根与系数关系进行更深一层次的研究. 重 点 1、根与系数之间的关系——韦达定理； 2、韦达定理常见题型及解题思路． 难 点 1、根与系数之间的关系——韦达定理； 2、韦达定理常见题型及解题思路． 1、概念：形如的方程为一元二次方程； 2、配方法：对一元二次方程进行配方得到方程： 3、判别式 从配方之后的方程可以看出：原方程有没有解，取决于代数式的正负；基于的重要性，令称为该一元二次方程的判别式，它决定了一元二次方程解的个数问题； （1）若，原方程有两个不等的实数根，这两个根是； （2）若，原方程有两个相等的实数根，； （3）若，原方程没有实根； 4、韦达定理 当上述一元二次方程有实数解时，， （两个相等实根的情形也可以写成这样的形式） 现在考察，； ( 【 知识注释 】 注意：使用韦达定理时，需判别 . ) 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： ， （一）判别式，方程的解，韦达定理，运用韦达定理求值 例1、若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是____________. 例2、按指定的方法解方程 (直接开平方法) (配方法) (因式分解法) (公式法) 例3、已知关于的方程. （1）求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程两根分别为和，且满足，求的值. 例4、求证：若和分别是一元二次方程，则（其中）. 例5、设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 例6、（1）设，是方程的两个实数根，则的值为　 　； （2）已知、是方程的两根，求的值 例7、关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、． （1）求的取值范围； （2）求证：，； （3）若，求的值． 例8、已知关于的一元二次方程有二个不相等的实根和， （1）若，求的值； （2）求的最大值． 1、(1)如果－5是方程的一个根，求方程的另一个根及的值； (2)如果是方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 2、、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值： （1） （2） （3） 3、设、是方程的两根，则　 　． 4、设、是方程的两实数根，则　 　． 5、已知一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的范围． （2）若方程的两个实数根为，，且，求的值． 6、已知关于的方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）当为何值时，使得的值为． 7、已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根． （2）设方程的两实数根为，，且满足，求的值． （二）利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程 例9、求方程组的解. 例10、设的两实根为，若以为根的一元二次方程仍是，求所有这样的方程. 例11、设方程和方程，有且仅有一个公共根，求以其余两根为根的方程. 例12、若实数满足，则的值是（ ） A． B．2 C．2或 D．或 例13、若，且有及，则 ， ． 1、阅读材料： 材料1．若一元二次方程的两根为、，则， 材料2．已知实数、满足、，且，求的值． 解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得， 根据上述材料解决下面问题： （1）一元二次方程的两根为、，则　 　，　 　． （2）已知实数、满足、，且，求的值． （3）已知实数、满足、，且，求的值． 2、设实数分别满足，并且，求的值． 3、已知实数、满足，，求的值． ( 第 1 页 共 2 页 )韦达定理—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$