韦达定理 -2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

韦达定理

教学目标	1、了解一元二次方程，并会用配方法求解一元二次方程； 2、掌握一元二次方程的根的判别式，熟知根与之间的关系； 3、掌握根与系数之间的关系——韦达定理； 4、会用根与系数关系进行更深一层次的研究.
重    点	1、根与系数之间的关系——韦达定理； 2、韦达定理常见题型及解题思路．
难    点	1、根与系数之间的关系——韦达定理； 2、韦达定理常见题型及解题思路．

 

1、概念：形如的方程为一元二次方程；

2、配方法：对一元二次方程进行配方得到方程：

3、判别式

从配方之后的方程可以看出：原方程有没有解，取决于代数式的正负；基于的重要性，令称为该一元二次方程的判别式，它决定了一元二次方程解的个数问题；

（1）若，原方程有两个不等的实数根，这两个根是；

（2）若，原方程有两个相等的实数根，；

（3）若，原方程没有实根；

4、韦达定理

当上述一元二次方程有实数解时，，

（两个相等实根的情形也可以写成这样的形式）

现在考察，；

 

 

利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

       

       ，

 

（一）判别式，方程的解，韦达定理，运用韦达定理求值

 

例1、若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是____________.

 

 

 

 

 

例2、按指定的方法解方程

(直接开平方法)

(配方法)

(因式分解法)

(公式法)

 

 

例3、已知关于的方程.

（1）求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程两根分别为和，且满足，求的值.

 

 

 

 

例4、求证：若和分别是一元二次方程，则（其中）.

 

 

 

 

 

例5、设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．

(1) ；                      (2) ；

(3) ；              (4) .

 

 

 

 

例6、（1）设，是方程的两个实数根，则的值为　        　；

 

 

 

 

 

（2）已知、是方程的两根，求的值

 

 

 

 

 

 

例7、关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、．

（1）求的取值范围；

（2）求证：，；

（3）若，求的值．