3 因式分解 -2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

因式分解 教学目标 1、了解因式分解的概念及其与整式乘法之间的关系； 2、掌握因式分解的各种方法； 3、会利用因式分解解决某些代数式求值问题，体会理解其中的整体代入思想； 4、通过因式分解的综合练习，进一步培养学生的观察，分析问题的能力. 重 点 因式分解的各种方法 难 点 因式分解的应用 1、因式分解 　　把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解． 2、因式分解常用的方法 （1）提取公因式法： （2）运用公式法： 平方差公式：； 完全平方公式： *立方和（差）公式： （3）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解. （4）十字相乘法： （5）添、拆项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式 法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. （6）换元法：把一个比较复杂的式子进行等价变形，用一个新的量代替，划到最后再进行原变量替换即可 （7）拆开重新分解法：原始很复杂可对原始进行重新拆开并整合 （8）运用求根公式法：若的两个根是、，则有：. 3、因式分解的一般步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法； （4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法. ( 【 知识补充 】 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止． （4） 十字相乘法 分解思路为 “ 看两端，凑中间 ” ，二次项系数 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. （5） 分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ① 按字母分组 ② 按系数分组 ③ 符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 ) （一）因式分解 例1、下列变形，属于因式分解的有　　 ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2、给出六个多项式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，能够分解因式的是　 　 （填上序号）． 1、下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是　　 A． B． C． D． 2、下列变形：①；②；③；④中，是因式分解的有　 　（填序号） （二）提取公因式 例3、代数式与的公因式是　 　． 例4、认真阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题： （1）上述分解因式的方法是　 　； （2）分解因式：； （3）猜想：分解因式的结果是　 　． 1、多项式的公因式是　 　． 2、化简：　 　． （三）公式法 例5、下列各式：①；②； ③； ④；⑤，可以用公式法分解因式的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例6、（1）分解因式：______________． (2)分解因式：______________． （3）因式分解：_______________； （4）因式分解：_______________ 1、分解因式 （1） （2） （3） 2、多项式能用完全平方公式分解因式，则　　． 3、（1）分解下列多项式：（ⅱ）； （2）若，求的值． （四）分组分解法 例7、阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解． 例如：以下两个式子的分解因式的方法就称为分组分解法． （1）； （2） 试用上述方法分解因式： （1）； （2）． 例8、选择适当的方法分解下列多项式 （1） （2）． 1、分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． （五）十字相乘法 例9、阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 由得，； 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式， 例如：将式子分解因式． 答案：这个式子的常数项，一次项系数，所以． 解： 请仿照上面的方法，解析下列问题： （1）分解因式：　 　； （2）分解因式：； （3）填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是　 　． 例10、把下列各式分解因式. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 1、“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是把项系数分解成两个因数，的积，即，把项系数分解成两个因数，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果：． 例：分解因式：． 解：如图1，其中，，而． 而对于形如的，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式； 例：分解因式： 解：如图3，其中，，； 而，，； 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： （1）分解因式： ①　 　 ②　 　 ③　 　 （2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 2、要在二次三项式（ ）的括号中填上一个整数，使它能按公式分解因式，那么这个整数可以是（ ） A．， B．， C．，，， D．以上都不对 3、把下列各式分解因式. （1） （2） （3） （4） （5） （6） （六）添（拆）项法 例11、【阅读材料】 对于二次三项式可以直接分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，（这里也可把拆成与的和），使整个式子的值不变． 于是有： 我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆项法． 【应用材料】 （1）上式中添（拆项后先把完全平方式组合在一起，然后用　 　法实现分解因式． （2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式： ①；② 例12、把下列各式分解因式. （1） （2） （3） 1、先阅读，再因式分解：，按照这种方法把多项式因式分解． 2、把下列各式分解因式. （1） （2） （3） （七）巧用换元法 例13、先阅读材料，再回答问题： 分解因式： 解：设，则原式 再将还原，得到：原式 上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题： （1）分解因式： （2）若为正整数，则为整数的平方，试说明理由． 例14、分解因式： 1、下面是某同学对多项式进行因式分解的过程 解：设， 原式　（第一步） 　（第二步） （第三步） （第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　 　（填序号）． ．提取公因式 ．平方差公式 ．两数和的完全平方公式 ．两数差的完全平方公式 （2）该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？　 　．（填“是”或“否” 如果否，直接写出最后的结果　 　． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 2、（1）因式分解： （2）因式分解 3、证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方． （八）拆开后重组再分组分解 例15、分解下列因式 （1） （2） （3） 1、分解下列因式 （1） （2） （3） （4） （5） （九）关于的二次三项式在实数范围内因式分解． 例16、在实数范围内分解因式． 例17、在实数范围内分解因式：． 1、在实数范围内将下列各式因式分解． ① ② ③． ④ ＊（十）因式定理 因式定理：如果时，多项式的值为，那么是该多项式的一个因式. 有理根：有理根的分子是常数项的因数，分母是首项系数的因数. 例18、对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式，于是我们可以把多项式写成：，分别求出、后再代入，就可以把多项式因式分解． （1）求式子中、的值； （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式． 例19、分解因式： 1、阅读下列材料，然后解析问题： 问题：分解因式：． 解析：把代入多项式，发现此多项式的值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值，再代入，就容易分解多项式．这种分解因式的方法叫“试根法”． （1）求上述式子中，的值； （2）请你用“试根法”分解因式：． 2、分解因式： ＊（十一）待定系数法 如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等. 即，如果 那么，，…，，. 例20、先阅读下题的解析过程，然后解析后面的问题， 已知多项式有一个因式是，求的值 例21、选择恰当的方法解析下列各题 （1）已知关于的多项式有一个因式是，　 　． （2）已知有因式和，求、的值： （3）已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式分解因式． 例22、用待定系数法分解因式： 1、1637年笛卡儿．，在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：．观察知，显然时，原式，因此原式可分解为与另一个整式的积．令：，而，因等式两边同次幂的系数相等， 则有：，得，从而． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解析以下问题： （1）若是多项式的因式，求的值并将多项式分解因式． （2）若多项式含有因式及，求，的值． 2、要使为完全平方式，则常数的值为___ _____ ( 第 1 页 共 2 页 )因式分解—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$