2.式的运算-2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

式的运算 教学目标 1、掌握乘法公式； 2、理解二次根式和分式概念； 3、掌握幂的运算. 重 点 1、乘法公式的运用； 2、幂的运算. 难 点 乘法公式的灵活运用 （一）乘法公式 （1）平方差公式 ； （2）完全平方公式 ； （3）立方和公式 ； （4）立方差公式 ； （5）三数和平方公式 ； （6）两数和立方公式 ； （7）两数差立方公式 ． 引申：次方差公式； 根据以上规律，可以归纳出乘法公式： （为非零自然数） 将等号左右两边倒一下得： （为非零自然数） 这个公式称为次方差公式； 由这个公式易得； 定理：若为正偶数，则与同时成立； 例1、计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 例2、若是一个完全平方式，则　 　． 例3、已知，，求的值． 例4、设，求及的值． 例5、求证：四个连续整数的积加上1的和，一定是整数的平方； 例6、请认真观察图形，解析下列问题： （1）根据图中条件，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示出来； （2）如果图中的，满足，，求的值； （3）已知，求的值． 1、已知，求的值． 2、已知，，，求的值． 3、法公式的探究及应用． 小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是　 　（写成两数平方差的形式）； 小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是　 　，长是　 　，面积是　 　（写成多项式乘法的形式） 小题3：比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式　 　 （用式子表达） 小题4：应用所得的公式计算： （二）二次根式与分式 （一）根式 1、二次根式： (1）一般地，形如的代数式叫做二次根式； 根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式。 例如 ，等是无理式，而，等是有理式。 (2）分母（子）有理化:把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式。例如与，与，与，与，等等。 一般地，与，与，与互为有理化因式。 (3) 二次根式的意义 2、次根式 （1）一般地，如果（是大于1的整数），那么就叫做的次方根，表示方根的代数式叫做根式. （2）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零.任何实数都有一个奇次方根。 （3）根据次方根的定义 （4）根式有如下运算性质：① () ② () ③ () ④ () ⑤ () （二）分式 1、分式的意义 形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：；．上述性质被称为分式的基本性质． 2、繁分式 像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 例7、试比较下列各组数的大小： （1）和； （2）和． 例8、化简：（1）； （2）． 例9、若，求常数的值． 例10、设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值． 例11、小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有， ，，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得　 　，　 　； （2）利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空：　　　　　　　　； （3）若，且、、均为正整数，求的值． 例12、已知，试求的值． 例13、观察下面的变形规律： ，，， 解析下面问题： （1）若为正整数请你猜想　　； （2）证明你猜想的结论； （3）利用这一规律化简：． （4）尝试完成．（直接写答案）　　． 例14、已知，求（1）；（2）；（3）；（4）的值． 例15、阅读下列材料，解决问题： 在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的答案来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明． 材料1：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解： 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：已知一个能被11整除的个位与百位相同的三位整数，且，求与的函数关系式． 解：， 又，，，还要使为整数， ，即． （1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为　 　； （2）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数　 　； （3）已知一个六位整数能被33整除，求满足条件的，的值． 1、化简下列各式： (1) (2) 2、计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)： (1) (2) (3) (4) 3、计算： (1) (2) 4、设，求的值． 5、（1）计算：； （2）证明：对任意大于1的正整数， 有； （3）． 6、解方程． 7、观察下列各式：；；；；； （1）猜想它的规律，把表示出来； （2）利用规律计算： （3）利用规律计算：，并求出当时代数式的值． 8、分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． （1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和； （2）若分式的值为整数，求的整数值． （三）幂的运算 1、幂的运算法则 ① ② ③ ④ 2、当指数由正整数扩充到有理数时，有如下规定： ① ② ③ ④ 例16、若，则用根式形式表示，用分数指数幂表示分别为和．　　 A．， B．， C．， D．， 例17、已知，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 1、在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是　　 A． B． C． D． ( 第 1 页 共 2 页 )式的运算—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$