数的运算 -2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

数的运算

教学目标	1、理解实数的概念和分类； 2、理解绝对值的代数意义及几何意义; 3、熟练掌握实数的运算.
重    点	1、有理数、无理数、实数、非负数概念； 2、数的绝对值的概念.
难    点	绝对值的意义

 

（一）实数

 

（一）实数的分类及其性质

大家先来回顾一下实数的相关概念。

1、正数与负数：大于0的数我们称为正数，小于0的数为负数。

2、整数和分数：我们一般把形如的数称为整数，一般用Z表示，而其中正整数一般用表示；而把形如的数称为分数。

3、奇数和偶数：能被2整除的数我们称为偶数，一般用表示，反之不能被2整除的数称为奇数，一般用表示。

4、倍数和因数：当整数能够被整数所整除时，称为的倍数，而称为的因数，例如24是4的倍数，而4是24的因数。

5、素数与合数：在所有比1大的整数中，如果除了1和它本身以外，没有别的约数，这样的数称为素数，又称质数，例如2，3，5,7……等，如果除了1和它本身以外，还有别的约数，这样的数称为合数，例如4,6，9,15……等。1比较特殊，既不是素数，也不是合数。

6、实数可分为有理数和无理数两大类：整数和分数统称为有理数，一般用字母Q表示。

⑴有理数都可以表示成分数（与是互素的整数,且）的形式. 反之能表示成（与是互素的整数,且）形式的数都是有理数.

命题1、有限小数是有理数；

例如：，等；

设（）至少存在一个，则，很显然是个有理数；

命题2、无限循环小数是有理数；

请将化成分数形式

令，则，解得；

命题3、分数要不化为整数、要不化为有限小数、要不化为无限循环小数；

设（与是互素的整数,且）

若是的倍数，则为整数；

现假设与互素，

若的素因数只有或，则为有限小数；

若还有其它的素因数，则为无限循环小数；

⑵无理数是无限不循环小数，不能表示成分数（与是互素的整数,且）的形式.

证明：是无理数；

证：（反证）假设是有理数，则（与互素）；

两边平方得：

通过上式可以看出，进一步可得，，为的公因数这与与互素矛盾！

证毕。

根据以上的概念梳理，实数的分类如下：

 

 

例1、下列各数：中哪些是整数？哪些是有理数？哪些是无理数？

 

 

 

 

 

例2、要使为整数，只需为　　

A．奇数 B．偶数 C．5的倍数 D．个位是5的数

 

 

 

例3、若，求有理数和的值.

 

 

 

例4、证明：是无理数.

 

 

 

 

例5、若，且是的小数部分，求正数.

 

 

 

 

 

 

 

1、在，，0，，0.4，，2，，这些数中，有理数有个，自然数有个，分数有个，