数的运算 -2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

数的运算 教学目标 1、理解实数的概念和分类； 2、理解绝对值的代数意义及几何意义; 3、熟练掌握实数的运算. 重 点 1、 有理数、无理数、实数、非负数概念； 2、 数的绝对值的概念. 难 点 绝对值的意义 （一）实数 （一）实数的分类及其性质 大家先来回顾一下实数的相关概念。 1、 正数与负数：大于0的数我们称为正数，小于0的数为负数。 2、 整数和分数：我们一般把形如的数称为整数，一般用Z表示，而其中正整数一般用表示；而把形如的数称为分数。 3、 奇数和偶数：能被2整除的数我们称为偶数，一般用表示，反之不能被2整除的数称为奇数，一般用表示。 4、 倍数和因数：当整数能够被整数所整除时，称为的倍数，而称为的因数，例如24是4的倍数，而4是24的因数。 5、 素数与合数：在所有比1大的整数中，如果除了1和它本身以外，没有别的约数，这样的数称为素数，又称质数，例如2，3，5,7……等，如果除了1和它本身以外，还有别的约数，这样的数称为合数，例如4,6，9,15……等。1比较特殊，既不是素数，也不是合数。 6、实数可分为有理数和无理数两大类：整数和分数统称为有理数，一般用字母Q表示。 ⑴有理数都可以表示成分数（与是互素的整数,且）的形式. 反之能表示成（与是互素的整数,且）形式的数都是有理数. 命题1、有限小数是有理数； 例如：，等； 设（）至少存在一个，则，很显然是个有理数； 命题2、无限循环小数是有理数； 请将化成分数形式 令，则，解得； 命题3、分数要不化为整数、要不化为有限小数、要不化为无限循环小数； 设（与是互素的整数,且） 若是的倍数，则为整数； 现假设与互素， 若的素因数只有或，则为有限小数； 若还有其它的素因数，则为无限循环小数； ⑵无理数是无限不循环小数，不能表示成分数（与是互素的整数,且）的形式. 证明：是无理数； 证：（反证）假设是有理数，则（与互素）； 两边平方得： 通过上式可以看出，进一步可得，，为的公因数这与与互素矛盾！ 证毕。 根据以上的概念梳理，实数的分类如下： 例1、下列各数：中哪些是整数？哪些是有理数？哪些是无理数？ 例2、要使为整数，只需为　　 A．奇数 B．偶数 C．5的倍数 D．个位是5的数 例3、若，求有理数和的值. 例4、证明：是无理数. 例5、若，且是的小数部分，求正数. 1、在，，0，，0.4，，2，，这些数中，有理数有个，自然数有个，分数有个，则的值为　　 A．3 B．2 C．1 D．4 2、要使分式的值是一个整数，可以取　 　（写出一个符合条件的整数）． 3、已知，都是有理数，并且满足，则的值为　 　． 4、已知是非零实数，且，则的值为　 　. 5、证明：不是有理数. 6、已知与的小数部分分别是，，求的值为　 　． （二）绝对值 绝对值 1、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 3、两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离． 例6、（1）已知是非零实数，且，根据的不同取值，有___________种不同的值. （2）介于与之间的整数一共有_________个． A．2 B．3 C．4 D．5 例7、(1)在数轴上一点记P(x)，已知，，且，则_________． (2)数轴上点，，的坐标分别为3，，，则等于_________． 例8、（1）若，则的值是（ ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 （2）若为整数，且满足，则满足条件的的值有　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 例9、解不等式：＞4． 例10、（1）当时，代数式有最小值，则的值为_________． （2）求的最小值. （3）求的最小值. 例11、（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数，A、B两点这间的距离表示为，当A、B两点中一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，；当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边. 综上，数轴上A、B两点之间的距离. 图1 图2 图3 图4 （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ； ②数轴上表示和-1的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么为 ； ③当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ； ④求的最小值. 例12、已知有理数，，满足，则代数式的最小值为　　 A． B． C． D． 例13、定义符号，，表示、、三个数中的最小值，如，，，，5，． （1）根据题意填空：____________； （2）试求函数，，的解析式； （3）关于的方程，，有解，试求常数的取值范围． 1、已知点）在平面直角坐标系的第二象限内，则的取值范围在数轴上可表示为（阴影部分）( ) A． B． C． D． 2、若，则的值为　　 A． B．1 C．5 D． 3、解绝对值方程：． 4、（2009年上海高考13题）某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点，，，，，为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）__________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短. 5、已知，，表示取三个数中最小的那个数，例如：当，，，，，．当，，时，则的值为________. ( 第 1 页 共 2 页 )数的运算—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$