1.2.3 反证法 同步练习-2024-2025学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

1.2.3 反证法 一、填空题 1.“且”的否定形式为___________. 2.反证法，首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出___________，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的. 3.用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a，b全为0（a，b为实数）”，其“假设”为___________. 4.设，若是奇数，则是___________数. 5.___________Q.（填“”或“”） 6.“至少存在一个不满足性质p”的否定形式为___________. 7.有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x=y”的反面是“x>y，或x<y”；③“三 角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有___________（填序号即可）. 8.若下列两个方程，中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是___________. 二、选择题 9.用反证法证明命题“a，，若ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是（ ） A.a，b都不能被5整除 B.a，b都能被5整除 C.a，b不都能被5整除 D.a能被5整除 10.甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下：甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话.事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.甲或乙 11.十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数n>2时，关于x，y，z的方程工没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由英国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则下面说法中正确的是（ ） A.存在至少一组正整数组使方程有解 B.关于x，y的方程有正有理数解 C.关于x，y的方程没有正有理数解 D.当整数n>3时，关于x，y，z的方程没有正实数解 三、解答题 12.反证法的思想也时常体现在人们的日常交流中，如下面的一个例子： 妈妈：小华，听说邻居小芳全家这几天正在外地旅游. 小华：妈妈，不可能，我昨天和今天上午都还在学校碰到了她和她妈妈呢！ 上述对话中，小华要告诉妈妈的命题是什么？他是如何推断该命题的正确性的？在你的日常生活中也有类似的例子吗？请举一至两个例子. 13.证明：有理数与无理数的和一定是无理数. 14.证明：tan30°是无理数. 15.已知a>0，b>0，且a+b>2，求证：和中至少有一个小于2. 1. 反证法 一、填空题 1.或 2.矛盾 3.不全为0 【解析】“全为0”即“且”,因此它的反面应为“或”,即不全为0. 4.奇 5.. 6.所有的满足性质 7.(2) 【解析】(1)错,应为;(2)对;(3)错,应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上;(1)错,应为三角形的内角中有两个或三个铵角. 8.或 【解析】若两方程均无实根,则.所以.,所以,故.若两个方程至少有一个方程有实根,则或. 二、选择题 9.A 【解析】根据反证法的概念可得：用反证法证明命题:“,若可被5整除,那么中至少有一个能被5整除.”时,假设的内容应该是“都不能被5整除”,故选A. 10.A 【解析】假设甲说的是假话,即丙考满分,则乙也是假话,不成立;假设乙说的是假话,即乙没有考满分,又丙没有考满分,故甲考满分;因此甲得满分,故选A. 11.C 【解析】由于两个命题是对立的,故正确选项是这两个选项中的一个.假设关于的方程有正有理数解,故可写成整数比值的形式,不妨设,其中为互质的正整数,为互质的正整数.代入方程得,两边乘以得,由于都是正整数,这与费马大定理矛盾,故假设不成立,所以关于的方程没有正有理数解.故选C. 三、解答题 12.假设是实数,则有,这与是方程的根矛盾,所以不是实数. 13.【证明】设是有理数,是无理数,假设是有理数,这样都是有理数,是有理数,则是有理数,这与已知矛盾,故是无理数,原命题正确. 14.【证明】因为,假设是有理数.则可设,其中与是互素的正整数.于是.两边平方,得.(*),所以是3的倍数.又因为是正整数,所以是3的倍数.设为正整数,代人（*)式得,所以是3的倍数. 又因为是正整数,所以是3的倍数.这与与是互素的正整数矛盾,因此假设是有理数不成立.即是无理数,得是无理数. 15.【证明】假设,则因为,有,所以,故.这与题设条件相矛盾,所以假设错误.因此和中至少有一个小于2. 学科网（北京）股份有限公司 $$