精品解析：湖北省仙桃市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年春季学期期末质量监测试卷八年级数学 （本卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试卷第1页装订线内和答题卡上，并在答题卡的规定位置贴好条形码，核准姓名和准考证号． 2．选择题的答案选出后，必须使用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案必须使用0.5mm黑色墨水签字笔填写在答题卡对应的区域内，写在试卷上无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个题，每题3分，满分30分，在下列每个题给出的四个答案中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形的对角线交于点，下列能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 在直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正比例函数y＝（3k﹣1）x，若y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A. k＜0 B. k＞0 C. k＜ D. k＞ 6. 如图，正方形的面积为169，G是上的一点，于点E，，且交于点F．若，则的长是（ ）． A. 5 B. 7 C. 8 D. 13 7. 为了调查某校同学的体质健康状况，随机抽查了若干名同学的每天锻炼时间如表： 每天锻炼时间（分钟） 20 40 60 90 学生数 2 3 4 1 则关于这些同学的每天锻炼时间，下列说法错误的是（　　） A. 众数是60 B. 平均数是21 C. 抽查了10个同学 D. 中位数是50 8. 如图①，点P为矩形ABCD边上一个动点，运动路线是A→B→C→D→A，设点P运动的路径长为x，S△ABP＝y，图②是y随x变化的函数图象，则矩形对角线AC的长是（　　） A. 2 B. 6 C. 12 D. 24 9. 如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=10，点A、B的坐标分别为（2，0）、（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=x﹣5上时，线段BC扫过的面积为（ ）． A. 80 B. 88 C. 96 D. 100 10. 如图，点E是正方形的边延长线一点，连接交于F，作，交的延长线于G，连接，当时，作于H，连接，则：①点F是的中点；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共5个题，每题3分，满分15分．请将答案直接填写在答题卡对应的横线上） 11. 函数的自变量x的取值范围是___． 12. 直线y=﹣2x+b过点(3，1)，将它向下平移4个单位后所得直线的解析式是_____． 13. 如图,为的中位线，点F在上，且，若，则的长为__________． 14. 我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为___________． 15. 如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则下列结论：①m＜0，n＞0；②直线y＝nx+4n一定经过点（﹣4，0）；③m与n满足m＝2n﹣2；④当x＞﹣2时，（n+1）x<m﹣4n，其中正确的有__________（填所有正确的序号）． 三、解答题（共9个题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 求值： （1）已知，求的值； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 2023年3月5日，中华人民共和国第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京召开，某校为使学生更好地了解“两会”，争做新时代好少年，开展了“两会”知识竞赛活动，分别从八（1）班和八（2）班各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并对数据进行了如下分析与整理： 收集数据 八（1）班学生知识竞赛成绩：84，75，82，70，91，83，80，74，79，82 八（2）班学生知识竞赛成绩：80，65，75，68，95，82，84，80，92，79 分析数据 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 八（1）班 80 b 82 31.6 八（2）班 a 80 c 78.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ． （2）请你对八（1）班和八（2）班抽取的这10名学生的知识竞赛成绩作出评价． （3）该校除开展两会知识竞赛活动外，还组织了制作关于“两会”手抄报的评比活动，并对手抄报进行评分（单位：分，满分100分）．在八（2）班抽取的这10名学生中，甲同学和乙同学的知识竞赛成绩分别为95分和92分，手抄报成绩分别为70分和80分．现对甲同学和乙同学进行综合评分，若知识竞赛成绩占70%，手抄报成绩占30%，则哪位同学的综合成绩较好？ 19. 如图，在矩形中，两点在对角线上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，直接写出四边形的面积． 20. 阅读与思考 在函数的学习过程中，我们利用描点法画出函数的图象，并借助图象研究该函数的性质，最后运用函数解决问题．现我们对函数（x的取值范围为任意实数）进行探究． （1）请将下面的表格补充完整． … 0 1 2 3 … … 4 ___ 2 1 0 ___ 2 … （2）请根据上表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并填写：当时，y的值随x值的增大而_________． （3）请在如图所示的平面直角坐标系中画出正比例函数的图象，并直接写出不等式的解集． 21. 如图，在四边形中，，于点B，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． （1）填空：当________s时，四边形为矩形； （2）若，求t的值； （3）填空：当________时，在点P、Q运动过程中，四边形能构成菱形． 22. 在一条笔直的公路上有A，B两地，甲，乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲，乙二人到达A地后均停止运动），甲，乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）A，B两地之间的距离是_________米，乙的步行速度是_________米/分； （2）求线段的函数解析式； （3）在乙运动的过程中，请直接写出何时两人相距80米． 23. A城有肥料200吨，B城有肥料300吨．现要把这些肥料全部运往C，D两乡，C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，其运往C，D两乡的运费如下表： 两乡 两城 C/（元/吨） D/（元/吨） A 20 24 B 15 17 设从A城运往C乡的肥料为吨，从A城运往两乡的总运费为元，从B城运往两乡的总运费为元． （1）分别直接写出与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）当城运往两乡的总运费不低于4200元时，怎样调运，才能使两城运往两乡的总费用的和最小？并求出最小值； （3）因路况原因，从B城到两乡的运费分别增加了元/吨和元/吨城运往两乡的总运费不低于4400元且不高于4600元，当两城运往两乡的总费用的和的最小值为10960元时，请直接写出的值． 24. 如图1，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（6，8）．D是AB边上一点（不与点A、B重合），将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点E处． （1）求直线AC所表示的函数的表达式； （2）如图2，当点E恰好落在矩形的对角线AC上时，求点D的坐标； （3）如图3，当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△OEA的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春季学期期末质量监测试卷八年级数学 （本卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试卷第1页装订线内和答题卡上，并在答题卡的规定位置贴好条形码，核准姓名和准考证号． 2．选择题的答案选出后，必须使用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案必须使用0.5mm黑色墨水签字笔填写在答题卡对应的区域内，写在试卷上无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个题，每题3分，满分30分，在下列每个题给出的四个答案中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：不能化简，是最简二次根式； B：，不是最简二次根式； C：，不是最简二次根式； D：，不是最简二次根式． 故选：A． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式四则运算的运算法则逐一进行计算判断即可． 【详解】解：、和不是同类项不可以合并，计算错误，不符合题意； 、，计算错误，不符合题意； 、，计算错误，不符合题意； 、，正确，符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的加法、减法、乘法、除法的四则运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3. 如图，四边形的对角线交于点，下列能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、由，，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故本选项符合题意； D、由，，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：C 4. 在直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标的知识，勾股定理的运用，掌握点到轴的距离是点的纵坐标的绝对值，根据题意，作轴于点，则，，再根据勾股定理，求出答案． 【详解】解：如图所示， 作轴于点，则，， 在中， ， 故选：． 5. 已知正比例函数y＝（3k﹣1）x，若y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A. k＜0 B. k＞0 C. k＜ D. k＞ 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数图象的增减性可求出k的取值范围． 【详解】根据y随x的增大而增大，知：3k−1>0， 即k>. 故答案选：D. 【点睛】本题考查的知识点是正比例函数的性质，解题的关键是熟练的掌握正比例函数的性质. 6. 如图，正方形的面积为169，G是上的一点，于点E，，且交于点F．若，则的长是（ ）． A. 5 B. 7 C. 8 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正方形的性质和勾股定理可得，再证可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解 ：∵正方形的面积为169， ∴正方形的边长, ∴ ∵， ∴,, ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，根据已知条件证得是解答本题的关键． 7. 为了调查某校同学的体质健康状况，随机抽查了若干名同学的每天锻炼时间如表： 每天锻炼时间（分钟） 20 40 60 90 学生数 2 3 4 1 则关于这些同学的每天锻炼时间，下列说法错误的是（　　） A. 众数是60 B. 平均数是21 C. 抽查了10个同学 D. 中位数是50 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数、中位数和平均数的定义分别对每一项进行分析即可． 【详解】解：A、60出现了4次，出现的次数最多，则众数是60，故A选项说法正确； B、这组数据的平均数是：（20×2+40×3+60×4+90×1）÷10＝49，故B选项说法错误； C、调查的户数是2+3+4+1＝10，故C选项说法正确； D、把这组数据从小到大排列，最中间的两个数的平均数是（40+60）÷2＝50，则中位数是50，故D选项说法正确； 故选B． 【点睛】此题考查了众数、中位数和平均数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数． 8. 如图①，点P为矩形ABCD边上一个动点，运动路线是A→B→C→D→A，设点P运动的路径长为x，S△ABP＝y，图②是y随x变化的函数图象，则矩形对角线AC的长是（　　） A. 2 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意易得AB+BC=6，当点P运动到C点时三角形ABP的面积为4，故而可求出AB、BC的长，进而求出AC． 【详解】解：由图像及题意可得：AB+BC=6， 当点P运动到C点时三角形ABP的面积为4，即， AB=2，BC=4，在中，； 故选A． 【点睛】本题主要考查函数与几何，关键是根据图像得到动点的运动路程，然后利用勾股定理求解线段的长即可． 9. 如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=10，点A、B的坐标分别为（2，0）、（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=x﹣5上时，线段BC扫过的面积为（ ）． A. 80 B. 88 C. 96 D. 100 【答案】B 【解析】 【详解】∵点A、B的坐标分别为（2，0）、（8，0）， ∴AB=6， ∵∠CAB=90°，BC=10， ∴CA= =8， ∴C点纵坐标为：8， ∵将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=x﹣5上时， ∴y=8时，8=x﹣5，解得：x=13，即A点向右平移13﹣2=11个单位， ∴线段BC扫过的面积为：11×8=88． 故选B． 10. 如图，点E是正方形的边延长线一点，连接交于F，作，交的延长线于G，连接，当时，作于H，连接，则：①点F是的中点；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】通过证明，推出，，判断①正确；过点A作于点，根据证明和，推出是等腰直角三角形，由勾股定理计算得出，②正确；证明，推出，得到是的平分线，；③正确；推出，再由，计算即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，，即点F是的中点；①正确； 过点A作于点，如图所示： 四边形是正方形， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 延长交于点，作，， ，， ，， 在中，， ． ∵， ， ， ，即是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，②正确； 在与中， ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线， ∴；③正确； 在等腰与等腰中， ， ， ， 四边形是正方形，，， ，， ， ，④错误， 综上，①②③正确， 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共5个题，每题3分，满分15分．请将答案直接填写在答题卡对应的横线上） 11. 函数的自变量x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：在实数范围内有意义， 则；解得 故答案为 12. 直线y=﹣2x+b过点(3，1)，将它向下平移4个单位后所得直线的解析式是_____． 【答案】y=﹣2x+3 【解析】 【分析】将(3，1)代入y=﹣2x+b，即可求得b，然后根据“上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将(3，1)代入y=﹣2x+b， 得：1=﹣6+b， 解得：b=7， ∴y=﹣2x+7， 将直线y=﹣2x+7向下平移4个单位后所得直线的解析式是y=﹣2x+7﹣4，即y=﹣2x+3． 故答案为：y=﹣2x+3． 【点睛】本题主要考查利用待定系数法确定函数关系式，一次函数图象的平移，解此题的关键在于熟练掌握其知识点． 13. 如图,为的中位线，点F在上，且，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）和直角三角形的性质（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），解题的关键是先利用中位线定理求出的长度，再结合直角三角形性质求出的长度，进而计算的长度． 由是的中位线且，根据中位线定理得；因D是中点（中位线连接、中点），为直角三角形，根据直角三角形斜边中线性质得；最后用减去即可求出的长． 【详解】解：∵为的中位线，， ∴（三角形中位线定理）， ∵D是边上的中点是中位线，连接、中点），， ∴是直角三角形，为斜边的中线， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边一半）， 又∵点F在上， ∴． 故答案为：1． 14. 我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为___________． 【答案】（x+1﹣5）2+102＝x2． 【解析】 【分析】根据勾股定理列方程即可得出结论． 【详解】解：由题意知： OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10， 在Rt△OCP'中，由勾股定理得： （x+1﹣5）2+102＝x2． 故答案为：（x+1﹣5）2+102＝x2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和列方程，读懂题意是解题的关键． 15. 如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则下列结论：①m＜0，n＞0；②直线y＝nx+4n一定经过点（﹣4，0）；③m与n满足m＝2n﹣2；④当x＞﹣2时，（n+1）x<m﹣4n，其中正确的有__________（填所有正确的序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①由直线y＝−x＋m与y轴交于负半轴，可得m＜0；y＝nx＋4n（n≠0）的图象从左往右逐渐上升，可得n＞0，即可判断结论①正误；②将x＝−4代入y＝nx＋4n，求出y＝0，即可判断结论②正误；③代入交点坐标整理即可判断结论③正误；④观察函数图象，可知当x＞−2时，直线y＝nx＋4n在直线y＝−x＋m的上方，即nx＋4n＞−x＋m，即可判断结论④正误． 【详解】解：①∵直线y＝−x＋m与y轴交于负半轴， ∴m＜0； ∵y＝nx＋4n（n≠0）的图象从左往右逐渐上升， ∴n＞0， 故结论①正确； ②将x＝−4代入y＝nx＋4n，得y＝−4n＋4n＝0， ∴直线y＝nx＋4n一定经过点（−4，0）． 故结论②正确； ③∵直线y＝−x＋m与y＝nx＋4n（n≠0）的交点的横坐标为−2， ∴当x＝−2时，y＝2＋m＝−2n＋4n， ∴m＝2n−2． 故结论③正确； ④∵当x＞−2时，直线y＝nx＋4n在直线y＝−x＋m的上方， ∴当x＞−2时，nx＋4n＞−x＋m， ∴ 故结论④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与一元一次不等式以及一次函数的图象．解题的关键在于熟练掌握函数图象与性质． 三、解答题（共9个题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简各数，再合并计算； （2）先化简，再算乘法，最后计算除法，将结果分母有理化． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17. 求值： （1）已知，求的值； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式、二次根式的运算、分式的混合运算及化简求值： （1）先计算出和，再利用完全平方公式将原式变形为即可求解； （2）先将括号内式子通分，再变分式除法为分式乘法，约分化简后将代入求值即可． 【小问1详解】 解：， ，， ； 【小问2详解】 解： ， 将代入，得： 原式． 18. 2023年3月5日，中华人民共和国第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京召开，某校为使学生更好地了解“两会”，争做新时代好少年，开展了“两会”知识竞赛活动，分别从八（1）班和八（2）班各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并对数据进行了如下分析与整理： 收集数据 八（1）班学生知识竞赛成绩：84，75，82，70，91，83，80，74，79，82 八（2）班学生知识竞赛成绩：80，65，75，68，95，82，84，80，92，79 分析数据 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 八（1）班 80 b 82 31.6 八（2）班 a 80 c 78.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ． （2）请你对八（1）班和八（2）班抽取的这10名学生的知识竞赛成绩作出评价． （3）该校除开展两会知识竞赛活动外，还组织了制作关于“两会”手抄报的评比活动，并对手抄报进行评分（单位：分，满分100分）．在八（2）班抽取的这10名学生中，甲同学和乙同学的知识竞赛成绩分别为95分和92分，手抄报成绩分别为70分和80分．现对甲同学和乙同学进行综合评分，若知识竞赛成绩占70%，手抄报成绩占30%，则哪位同学的综合成绩较好？ 【答案】（1）80，81，80 （2）两个班平均成绩相同，但八（1）班的中位数及众数均高于八（2）班，并且方差小于八（2）班，所以八（1）班成绩更稳定且优于八（2）班； （3）乙的综合成绩较好 【解析】 【分析】（1）根据平均数定义可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值； （2）根据平均数，众数，中位数及方差的意义解答即可； （3）利用加权平均数计算即可比较． 【小问1详解】 解：八（2）班学生知识竞赛的平均成绩， 八（1）班的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是80，82，则中位数， 八（2）班的成绩中，80出现的次数最多，故众数； 故答案为：80，81，80； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 甲的综合成绩为：分， 乙的综合成绩为：分， 故乙的综合成绩较好． 【点睛】本题考查中位数、众数、平均数以及方差，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提． 19. 如图，在矩形中，两点在对角线上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，直接写出四边形的面积． 【答案】（1） 证明：连，交于点，如图所示： 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）84 【解析】 【分析】（1）连，交于点，如图所示，由矩形性质得到及，得到四边形对角线相互平分，从而由对角线相互平分的四边形为平行四边形直接判定即可得证； （2）由矩形性质及平行四边形性质可知的面积为，矩形的面积为，从而由图可知，由求出，等面积法得到，在中，，从而 ，代入即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示： ；， 由图可知， , ， 由等面积法得到，则在中，， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形综合，涉及矩形性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等面积法求线段长等知识，数形结合，灵活应用相关几何性质是解决问题的关键． 20. 阅读与思考 在函数的学习过程中，我们利用描点法画出函数的图象，并借助图象研究该函数的性质，最后运用函数解决问题．现我们对函数（x的取值范围为任意实数）进行探究． （1）请将下面的表格补充完整． … 0 1 2 3 … … 4 ___ 2 1 0 ___ 2 … （2）请根据上表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并填写：当时，y的值随x值的增大而_________． （3）请在如图所示的平面直角坐标系中画出正比例函数的图象，并直接写出不等式的解集． 【答案】（1）3；1 （2）        增大； （3）解集为． 【解析】 【分析】（1）按照函数关系式进行代入计算即可； （2）根据表格画出图象即可，根据图象特征得到函数的增减性即可； （3）按要求画出的图象，观察图象可得不等式的解集即为的图象在下方的部分对应的的范围． 【小问1详解】 由题意，填表得， … 0 1 2 3 … … 4 _3_ 2 1 0 _1_ 2 … 【小问2详解】 根据题意，画图象，如图； 由图象可知，当时，的值随值的增大而增大． 故答案为：增大； 【小问3详解】 如图，画出直线的图象， 由图象可知， 当时，， 当时，， 不等式的解集为. 【点睛】本题考查函数图象的性质和一次函数的图象和性质，应用数形结合思想是解答关键 21. 如图，在四边形中，，于点B，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． （1）填空：当________s时，四边形为矩形； （2）若，求t的值； （3）填空：当________时，在点P、Q运动过程中，四边形能构成菱形． 【答案】（1）； （2）的值为或； （3）． 【解析】 【分析】（1）由可得当时，四边形是矩形，即可得方程： 解此方程即可求得答案； （2）根据①四边形为平行四边形，可得方程②四边形为等腰梯形，可求得当，即时， 四边形为等腰梯形，解此方程即可求得答案； （3）由菱形的性质得出得出解得：得出 作于，则得出 在中，由勾股定理求出，即可得出答案． 此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、等腰梯形的性质．熟练掌握平行四边形和矩形的判定，根据题意得出方程是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∵， ∴， ， ∵， ∴当时， 四边形是矩形， ∴， 解得：， 即当时， 四边形是矩形； 故答案为：； 【小问2详解】 解：若， 分两种情况： ①时， 则四边形是平行四边形， ， 即， 解得：， ②与不平行时， 四边形为等腰梯形， 则即 解得：， ∴的值为或； 【小问3详解】 解：若四边形为菱形， 则 解得： 作于，如图所示： 则 在中， ， ∴当时，在点运动过程中，四边形能构成菱形， 故答案为：． 22. 在一条笔直的公路上有A，B两地，甲，乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲，乙二人到达A地后均停止运动），甲，乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）A，B两地之间的距离是_________米，乙的步行速度是_________米/分； （2）求线段的函数解析式； （3）在乙运动的过程中，请直接写出何时两人相距80米． 【答案】（1）1200，60 （2）（） （3）经过8分钟和分钟时两人相距80米 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题关键是通过函数图象分析出各个点对应的情况． （1）分析图象，出发前两人之间的距离即为A、B两地之间的距离，为1200米，乙经过20分钟时到达A地，据此即可求解； （2）由函数图象可知，经过分钟时两人相遇，则可算出甲的速度，点M表示此时甲到达B地，则可求出a，经过20分钟时乙到达A地，此时两人相距b米，利用甲乙的速度即可算出b；可知M、N的坐标，设出的一般解析式，将M、N的坐标代入即可求出； （3）设经过x分钟两人相距80米，根据两人相遇前和相遇后都可相距80米分别列方程即可求出． 【小问1详解】 由函数图象可知，最开始时甲乙两人之间的距离为1200米， 因为甲从A地出发，乙从B地出发，两人最开始时的距离就是A、B两地之间的距离， 所以A、B两地之间距离为1200米； 由图象可知乙经过20分时到达A地， ∴乙的步行速度为（米/分）； 故答案为：1200，60； 【小问2详解】 由函数图象可知，经过分钟时两人相遇，点M表示此时甲到达B地，乙未到达A地，经过20分钟时乙到达A地，此时两人相距b米， 设甲的步行速度为x米/分，则， 解得：（米/分） （分） ∴（米），（米）． 则M、N的坐标分别为M，N， 设线段的解析式为， 则有 ， 解得：， ∴线段的函数解析式是（）； 【小问3详解】 设经过x分钟两人相距80米，两人相遇前和相遇后都可相距80米， 相遇前：，解得：； 相遇后：，解得：， 所以经过8分钟和分钟时两人相距80米． 23. A城有肥料200吨，B城有肥料300吨．现要把这些肥料全部运往C，D两乡，C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，其运往C，D两乡的运费如下表： 两乡 两城 C/（元/吨） D/（元/吨） A 20 24 B 15 17 设从A城运往C乡的肥料为吨，从A城运往两乡的总运费为元，从B城运往两乡的总运费为元． （1）分别直接写出与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）当城运往两乡的总运费不低于4200元时，怎样调运，才能使两城运往两乡的总费用的和最小？并求出最小值； （3）因路况原因，从B城到两乡的运费分别增加了元/吨和元/吨城运往两乡的总运费不低于4400元且不高于4600元，当两城运往两乡的总费用的和的最小值为10960元时，请直接写出的值． 【答案】（1）①，② （2）城运150吨肥料到C城，运50吨肥料到D城，B城运90吨肥料到C城，运210吨肥料到D城总费用和最小，最小费用为9120元 （3）4 【解析】 【分析】（1）根据所给的运费标准列出对应的函数关系式即可； （2）先根据城运往两乡的总运费不低于4200元，求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可 ； （3）同理求出，设调整之后的总费用为元，列出关于x的一次函数关系式，根据一次函数的性质结合总费用的和的最小值为10960元进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ； 【小问2详解】 解：依题意：， 解得： 设两城总费用和为元，则， ∵， ∴w随着的增大而减小， 当时，， 此时调运方案为：城运150吨肥料到C城，运50吨肥料到D城；B城运90吨肥料到C城，运210吨肥料到D城． 【小问3详解】 解：依题意，，解得：． 设调整之后的总费用为元，则， ①若，则随着的增大而减小， 当时，，解得：（舍去）； ②若时，则（舍去）； ③若时，随着的增大而增大， 当时，，解得：． 综上所得：的值是4． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． 24. 如图1，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（6，8）．D是AB边上一点（不与点A、B重合），将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点E处． （1）求直线AC所表示的函数的表达式； （2）如图2，当点E恰好落在矩形的对角线AC上时，求点D的坐标； （3）如图3，当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△OEA的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）12或 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质，求出点A、C的坐标，再用待定系数法即可求解； （2）Rt△AED中，由勾股定理得：，即可求解； （3）①当EC＝EO时，ON＝OC＝4＝EM，则△OEA的面积＝×OA×EM；②当OE＝OC时，利用勾股定理得：，求出ON＝，进而求解． 【详解】解：（1）∵点B的坐标为且四边形OABC是矩形， ∴点A、C的坐标分别为， 设AC的表达式为， 把A、C两点的坐标分别代入上式得，解得， ∴直线AC所表示的函数的表达式； （2）∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴OA＝6，OC＝8． ∴Rt△AOC中，AC＝， ∵四边形OABC是矩形， ∴∠B＝90°，BC＝6，AB＝8， ∵沿CD折叠， ∴∠CED＝90°，BD＝DE，CE＝6，AE＝4， ∴∠AED＝90°， 设BD＝DE＝a，则AD＝8﹣a， ∵Rt△AED中，由勾股定理得：， ∴，解得a＝3， ∴点D的坐标为； （3）过点E分别作x、y轴的垂线，垂足分别为M、N， ∵EN⊥OC，EM⊥OA，OC⊥OA， ∴∠ENO＝∠NOM＝∠OME＝90°， ∴四边形OMEN是矩形， ∴EM＝ON． ①当EC＝EO时， ∵EC＝EO，NE⊥OC， ∴ON＝OC＝4＝EM， △OEA的面积＝×OA×EM＝×6×4＝12； ②当OE＝OC时， ∵EN⊥OC， ∴∠ENC＝∠ENO＝90°， 设ON＝b，则CN＝8﹣b， 在Rt△NEC中，， 在Rt△ENO中，， 即， 解得：b＝， 则EM＝ON＝， △OEA的面积＝×OA×EM＝×6×＝； 故△OEA的面积为12或． 【点睛】本题主要考查矩形的性质与判定、勾股定理及一次函数，关键是灵活运用知识点及函数的性质，求线段的长常用勾股定理这个方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $