精品解析：天津市五区县重点校联考2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

2023～2024学年度第二学期期末重点校联考 高一数学 出题学校：芦台一中 杨村一中 一、选择题（本题共8小题，共32分） 1. 若为虚数单位，复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由复数的运算将化简，即可得到结果. 【详解】因为， 则z在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到，解出即可. 【详解】由知，故. 故选：B. 3. 我国古代有很多数学家，其中刘徽、祖冲之、赵爽、贾宪、秦九韶为我国古代数学的发展做出了重要贡献，若从上述五位数学家中任意抽取2位了解其著作，则抽到祖冲之的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，找到样本空间和抽到祖冲之事件的样本点，根据古典概率求解. 【详解】记祖冲之为，其余4位数学家为， 则从五位数学家中任意抽取2位,样本空间为， 其中抽到祖冲之为， 所以抽到祖冲之的概率为. 故选：A 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC，由线面位置关系举出反例即可判断；对于D，直接利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】对于A，若，，，则，相交或异面，故A错误； 对于B，若，，，则平行或相交（包括）或异面，故B错误； 对于C，若，，则或，而仅由，或是不能得出， 比方说让，，这时候有，，但是不满足，故C错误； 对于D，若，，则，又，所以存在使得， 所以，所以，故D正确. 故选：D. 5. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出边，再利用正弦定理求解即得. 【详解】在中，由余弦定理得， 由，得，由正弦定理得. 故选：B 6. 在直三棱柱中，为侧棱的中点，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，根据勾股定理的逆定理可得，则直三棱柱为正方体的一半，如图，取的中点，连接，则为异面直线与所成角或其补角，在中求解即可. 【详解】因为，，所以，即， 则直三棱柱为正方体的一半，如图， 取的中点，连接， 根据正方体性质，可知则 则为异面直线与所成角或其补角， 在中，， 所以. 故选：C 7. 交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证安全．某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将其放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕其顶点滚动，当其首次转回原位置时，交通锥筒恰好滚动了3周．若交通锥筒近似看成无底的圆锥，将地面近似看成平面，该圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的周长公式、圆锥的体积公式运算即可得解. 【详解】因为该圆锥的母线长为，则圆锥绕顶点滚动所形成的圆的半径为，周长为， 设圆锥的底面圆半径为， 则该圆锥的底面周长为， 故由题意，，则该圆锥的高为， 所以该圆锥的体积为， 故选：C 8. 如图，在中，已知，，，，分别是，边上的点，且，，且，若线段，的中点分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，再根据并结合且，可得关于的函数式，由二次函数的性质即可求的最小值. 【详解】解：在中，，则，分别是边的点，线段的中点分别为 ∴，， ∴， ∴两边平方得： ， ∵， ∴， 又∵， ∴当时，最小值为，即的最小值为. 故选：B. 【点睛】运用平面向量线性运算法则，利用平面向量数量积的运算性质是解题的关键.应用几何图形中线段所代表向量的线性关系求得，结合已知条件转化为关于x的二次函数，再求最值. 二、填空题（本题共5小题，共25分） 9. 若复数满足：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数乘法法则先求出复数，再求模. 【详解】，， 故答案为：. 10. 一组数据如下：，该组数据的分位数是______． 【答案】14 【解析】 【分析】直接由百分位数的定义求解即可. 【详解】将这些数据从小到大排成，一共个数. 解不等式，得，故分位数是从小到大排第个数和第个数的算术平均数，即. 故答案为：. 11. 已知与是两个不共线的向量，，，，若，，三点共线，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量减法运算求出的表达式，根据，，三点共线，可得存在实数k，使得，由此列出关于参数的方程，即可求得答案. 【详解】由题意得， , 由于，，三点共线，故存在实数，使得， 即，则， 消去，解得， 故答案为：3 12. 所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】如图，确定为中点，根据正弦定理和勾股定理求出球的半径，结合球的表面积公式计算即可求解. 【详解】设正三棱柱上、下底面的外接圆的圆心分别为， 如图，连接，则为的中点，连接， 则为球的半径，设圆的半径为， 在中，由正弦定理得，解得， 又，所以， 所以球的表面积为. 故答案为： 13. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为，则下列结论中正确的序号是______. ①该八面体的表面积为； ②该八面体的体积为； ③若点为棱上一动点，存在点，使得； ④若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据多面体表面积公式和体积公式计算判断①②，再根据线面垂直推得线线垂直找到点判断③，利用三棱锥的体积公式判断④； 【详解】①在正八面体中，相邻两个点之间的距离为， 八面体的表面积为，①正确； ②连接相交于点，连接， 在八面体中，平面是正方形，且平面 在中，， 所以该八面体的体积为，②错误； ③若点为棱上一动点，当点与点重合时， 因为在正方形中，， 且平面，平面， 所以，又因为是平面内两条相交直线， 所以平面，平面可得，③正确； ④在正八面体中，平面，平面所以平面， 若点为棱上的动点，则点到平面的距离与直线到平面的距离相等且是一个定值， 三棱锥的体积为是定值，④正确； 三、解答题（本大题共5小题，共63分） 14. 在中，角，，所对的边分别为，，，是该三角形的面积，且 （1）求的大小； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式求解即可； （2）根据余弦定理结合三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得：， ∴， ∴， ∴，， ∵，∴，即有， 又，∴． 【小问2详解】 由， 有，所以， 由余弦定理， ∴. 15. 如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）只需由中位线定理得出，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）先由线面垂直的判定定理证得面，再结合线面垂直的性质即可得证. 【小问1详解】 连接与交于点，连接， 因为四边形是正方形， 所以为中点，又因为为，中点所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 在正方体中， 由面，面，所以， 又，面，面，， 所以面， 又由面，所以． 16. 某高中校为了庆祝建校110周年，激励全体学生志存高远、敦品励学，在全校举办了一次“薪火惯续，百又十年”演讲比赛．共100名学生参加比赛，按成绩分为六组：，，，，，，得到如下频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中的值，并估计这100名学生的平均成绩； （2）现采用分层抽样方法从分数在，和的学生中抽取5人，再从中任选3人，求恰好有2人成绩之差在10分以内的概率． 【答案】（1），74分 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图小矩形面积和为1求出，再计算估计平均成绩. （2）利用分层抽样求出三个区间内抽到的人数，再利用列举法求出古典概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图的所有矩形面积之和为1， 得，解得， 分数位于的频率分别为， 平均成绩为：（分）. 【小问2详解】 依题意，分数位于，，的人数分别为人，人，人， 抽取的5人中，分数位于的人数分别为1人，记为； 3人，记为，，；1人，记为，则从5人中任取3人，样本空间： ， 共含10个样本点，设事件为“恰好有2个成绩之差在10分以内”， ，有6个样本点， 则，所以恰好有2个成绩之差在10分以内概率为． 17. 为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队2人，甲、乙两人组成“冲锋队”参加比赛，比赛共两轮．第一轮甲、乙两人各自先从“健康安全”题库中随机抽取一道题作答，每答对一道题给该队加1分，没答对不加分，也不扣分．第二轮甲、乙两人各自再从“应急救援”题库中随机抽取一道题作答，每答对一道题给该队加2分，没答对不加分，也不扣分．已知甲答对“健康安全”题库中题目的概率为，答对“应急救援”题库中题目的概率为．乙答对“健康安全”题库中题目的概率为，答对“应急救援”题库中题目的概率为，甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求甲恰好答对一道题且乙恰好答对两道题的概率； （2）求“冲锋队”最终得分不超过4分的概率． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）分别计算甲恰好答对1题的概率以及乙恰好答对2题的概率的概率，结合相互独立事件的概率公式即可得答案； （2）分别计算“冲锋队”最终得6分和“冲锋队”最终得5分的概率，结合相互独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式即可得答案. 【小问1详解】 设事件为甲恰好答对一道题，事件为乙恰好答对两道题 ， ， ， 所以甲恰好答对一道题且乙恰好答对两道题的概率为． 【小问2详解】 设事件为“冲锋队”最终得6分，事件为“冲锋队”最终得5分， ， ， ， 所以“冲锋队”最终得分不超过4分的概率为． 18. 如图，在四棱锥中， 为等边三角形，平面平面，，，，， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角平面角的余弦值为.若存在，求出值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）首先证明为直线与平面所成的角，再由线面角的定义进行求解即可； （3）取中点，利用线面垂直的性质结合即可确定为二面角的平面角，最后结合余弦定理求解即可. 【小问1详解】 取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 又平面，所以平面， 又平面，故， 又已知，，又平面， 所以平面. 【小问2详解】 连接， 由（1）中平面， 可知为直线与平面所成的角， 因为为等边三角形，且为的中点， 所以， 又，在中，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 取中点，连接，， 在中，， 因为平面，又平面， 所以，在中，， 所以，所以，又点为中点， 所以，同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在中，， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理可得：， 即：， 化简得到：， 所以或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为， 此时 【点睛】关键点点睛：本题第3小题的解决关键是，利用三线合一分析得为二面角的平面角，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年度第二学期期末重点校联考 高一数学 出题学校：芦台一中 杨村一中 一、选择题（本题共8小题，共32分） 1. 若为虚数单位，复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代有很多数学家，其中刘徽、祖冲之、赵爽、贾宪、秦九韶为我国古代数学的发展做出了重要贡献，若从上述五位数学家中任意抽取2位了解其著作，则抽到祖冲之的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，，（ ） A. B. C. D. 6. 在直三棱柱中，为侧棱的中点，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证安全．某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将其放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕其顶点滚动，当其首次转回原位置时，交通锥筒恰好滚动了3周．若交通锥筒近似看成无底的圆锥，将地面近似看成平面，该圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，已知，，，，分别是，边上的点，且，，且，若线段，的中点分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，共25分） 9. 若复数满足：，则______． 10. 一组数据如下：，该组数据分位数是______． 11. 已知与是两个不共线向量，，，，若，，三点共线，则______． 12. 所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________. 13. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为，则下列结论中正确的序号是______. ①该八面体的表面积为； ②该八面体体积为； ③若点为棱上一动点，存在点，使得； ④若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值． 三、解答题（本大题共5小题，共63分） 14. 在中，角，，所对的边分别为，，，是该三角形的面积，且 （1）求大小； （2）若，，求的值． 15. 如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：． 16. 某高中校为了庆祝建校110周年，激励全体学生志存高远、敦品励学，在全校举办了一次“薪火惯续，百又十年”演讲比赛．共100名学生参加比赛，按成绩分为六组：，，，，，，得到如下频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中的值，并估计这100名学生的平均成绩； （2）现采用分层抽样的方法从分数在，和的学生中抽取5人，再从中任选3人，求恰好有2人成绩之差在10分以内的概率． 17. 为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队2人，甲、乙两人组成“冲锋队”参加比赛，比赛共两轮．第一轮甲、乙两人各自先从“健康安全”题库中随机抽取一道题作答，每答对一道题给该队加1分，没答对不加分，也不扣分．第二轮甲、乙两人各自再从“应急救援”题库中随机抽取一道题作答，每答对一道题给该队加2分，没答对不加分，也不扣分．已知甲答对“健康安全”题库中题目的概率为，答对“应急救援”题库中题目的概率为．乙答对“健康安全”题库中题目的概率为，答对“应急救援”题库中题目的概率为，甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求甲恰好答对一道题且乙恰好答对两道题的概率； （2）求“冲锋队”最终得分不超过4分的概率． 18. 如图，在四棱锥中， 为等边三角形，平面平面，，，，， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为.若存在，求出值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$