精品解析：浙江省杭州市萧山区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023学年第二学期期末学业水平测试 八年级数学试题卷 温馨提醒： 1．全卷共4页，有三大题，24小题．全卷满分120分．考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．本卷答题一律不得使用计算器． 祝你成功！ 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 当时，二次根式的值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 2 2. 下列选项中的四个点，在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C D. 4. 2021年杭州市某区的GDP（国内生产总值）为2502.2亿元．2023年该区的GDP为2936.43亿元，在杭州市各区县排名第一．设这两年该区GDP的平均增长率为x，根据题意可列出方程为（ ） A B. C. D. 5. 如图所示窗框的形状是六边形，则六边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E．则值是（ ） A. B. C. D. 7. 淘票票的评分界面中记录了电影《集结号》不同打分的人数． 评分（分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数（个） 56 502 0 0 1398 2516 2795 36894 111800 403039 则由表中的数据，该电影评分的平均分正确预测是（ ） A. 在1分到6分之间 B. 在7分到8分之间 C. 在8分到9分之间 D. 在9分到10分之间 8. 若四边形的对角线与相等且互相平分，则下列关于四边形的形状判断正确的是（ ） A. 一定是矩形，但不一定是正方形 B. 一定是菱形 C. 一定是平行四边形，但不可能是矩形 D. 一定是正方形 9. 已知方程两个根是，的两个根是．当时，的值记作；当时，的值记作．则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点是边上一个动点（不与点，点重合），连接，作交于点，垂足为点，连接，记，，，，四边形的面积分别为，，，，，方方通过探究，得到以下两个结论：①，②．则下列选项中，正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确②错误 D. ①错误②正确 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 二次根式中字母的取值范围是______． 12. 已知点，在反比例函数的图象上，则______（填“＞”、“＜”或“＝”）． 13. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为 ________ 14. 在某校八年级举行“数学说题”比赛中，10名参赛学生的成绩统计如图所示，则这10名学生的参赛成绩的众数是______分． 15. 杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连接点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连接点B，D的距离都等于的一半，若夹角，则的度数是______． 16. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，小明用相同的七巧板拼成一个无缝隙的正方形（如图1）和一个中间留有空白的数字“0”（如图2），若图1正方形的面积是16，则图2中空白部分的面积是______． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 解下列方程： （1） （2） 19. 圆圆、方方准备代表学校参加区里的铅球比赛，体育老师对这两名同学测试了10次，获得如下测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量． （2）求方方成绩的方差． （3）现求得圆圆成绩方差是（单位：平方米）．根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由． 20. 如图，点P是反比例函数图象上的一个动点，作轴于点H，点Q是PH的中点，设点Q的坐标为． （1）n是m的______函数，并加以说明．（填“一次”或“反比例”） （2）当时，求m的取值范围． 21. 强强为了激励自己学好数学，在白色宣纸上写了两幅书法作品，准备装裱后挂在书房．其中一幅长方形书法作品长80cm，宽20cm，正方形书法作品边长为40cm，现在给两幅作品四周装裱上宽度相等的彩纸（如图1，图2），设彩纸的宽为．（粘贴连接处忽略不计） （1）装裱后长方形书法作品的长为______cm；正方形书法作品的面积为______．（用含x的代数式表示） （2）若装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为，求装裱正方形书法作品所用彩纸的面积． 22. 如图，在中，是对角线，作于点E，于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求的长． 23. 综合与实践：如何称量一个1元硬币的重量？ 素材1：如图是一架自制天平，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，支点O在的中点处，一个的砝码． 素材2：由于一个硬币太轻，这个自制天平无法直接称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量乘以等于右盘物体重量乘以．（不计托盘与横梁重量） 任务1：左侧托盘放入1个砝码，设右侧托盘放置物体，长为，求y关于x的函数表达式； 任务2：求一个1元硬币的重量；并判断左侧托盘放入1个砝码时，右侧托盘至少要放置几个1元硬币，该天平才能保持平衡； 任务3：横梁长度保持不变的情况下，通过调整天平支点的位置，使左侧托盘放入1个砝码，右侧托盘放置一个1元硬币时，天平能保持平衡，的长度至多是多少？ 24. 如图（1），已知矩形，点分别是矩形边上的一点，且，与分别沿翻折得到与；所在的直线交直线于点，所在的直线交直线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，且．判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图（2），若点是的中点．试探求与的数量关系，并加以说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期期末学业水平测试 八年级数学试题卷 温馨提醒： 1．全卷共4页，有三大题，24小题．全卷满分120分．考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．本卷答题一律不得使用计算器． 祝你成功！ 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 当时，二次根式的值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 2. 下列选项中的四个点，在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特点，根据“反比例函数图象上点的横坐标与纵坐标的积等于比例系数k，”进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，故符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：A． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 2021年杭州市某区的GDP（国内生产总值）为2502.2亿元．2023年该区的GDP为2936.43亿元，在杭州市各区县排名第一．设这两年该区GDP的平均增长率为x，根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．根据该市2021年及2023年该区的，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 5. 如图所示窗框的形状是六边形，则六边形的内角和是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，根据n边形的内角和为进行求解即可． 【详解】解：六边形的内角和是， 故选：C． 6. 如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E．则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段的尺规作图，先利用勾股定理得到，再由作图方法推出，据此可得答案． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， 由作图方法可知， ∴， ∴， 故选：B． 7. 淘票票的评分界面中记录了电影《集结号》不同打分的人数． 评分（分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数（个） 56 502 0 0 1398 2516 2795 36894 111800 403039 则由表中的数据，该电影评分的平均分正确预测是（ ） A. 在1分到6分之间 B. 在7分到8分之间 C. 在8分到9分之间 D. 在9分到10分之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，用对应评分乘以其对应人数并求和后除以总人数即可得到答案． 【详解】解： 分， 故选：D． 8. 若四边形的对角线与相等且互相平分，则下列关于四边形的形状判断正确的是（ ） A. 一定是矩形，但不一定是正方形 B. 一定是菱形 C. 一定是平行四边形，但不可能是矩形 D. 一定是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，熟知矩形的判定定理和正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形的对角线与相等且互相平分， ∴该四边形一定是矩形，但不一定是正方形， 故选：A． 9. 已知方程的两个根是，的两个根是．当时，的值记作；当时，的值记作．则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，，，，再求出，，据此可得答案． 【详解】解：∵方程的两个根是，的两个根是， ∴，，，， ∴，， ∴， 故选：A． 10. 如图，在正方形中，点是边上一个动点（不与点，点重合），连接，作交于点，垂足为点，连接，记，，，，四边形的面积分别为，，，，，方方通过探究，得到以下两个结论：①，②．则下列选项中，正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确②错误 D. ①错误②正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，解题关键是面积关系的正确变形．由正方形，，得，得，得，由，即可得． 【详解】解：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， 得， 得， 由， 得． 故选：A 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 二次根式中字母的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查了二次根式的意义和性质，熟练掌握二次根式的意义是解题的关键； 二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得 故答案为： 12. 已知点，在反比例函数的图象上，则______（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据各点横坐标的值判断出各点所在的象限．进而可得出结论． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大． 点，， 点、都在第四象限， 又， ． 故答案为：． 13. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为 ________ 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查的是根据一元二次方程根的情况求参，熟知一元二次方程有两相等根，则判别式是解题的关键． 由根的判别式，当一元二次方程有两个相等的实数根，则，即，求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根， ∴ 解得：． 故答案为：9． 14. 在某校八年级举行“数学说题”比赛中，10名参赛学生的成绩统计如图所示，则这10名学生的参赛成绩的众数是______分． 【答案】80 【解析】 【分析】本题主要考查了求众数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此求解即可． 【详解】解：由图可知得分为80分的人数最多， ∴众数是80分， 故答案为：80． 15. 杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连接点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连接点B，D的距离都等于的一半，若夹角，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质，根据菱形的性质可得，，求得，，求得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，小明用相同的七巧板拼成一个无缝隙的正方形（如图1）和一个中间留有空白的数字“0”（如图2），若图1正方形的面积是16，则图2中空白部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查七巧板，由题意得，图1中，大正方形的边长为4，图2中，根据“空白部分的面积等于矩形的面积减去正方形的面积的一半”求解即可． 【详解】解：由题意得，图1中，大正方形的边长为4， 图2中，， 故答案为：． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先算除法，再算乘法即可； （2）先去括号，再将各式化为最简二次根式，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键． （1）用因式分解法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， 或 ，． 19. 圆圆、方方准备代表学校参加区里的铅球比赛，体育老师对这两名同学测试了10次，获得如下测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量． （2）求方方成绩的方差． （3）现求得圆圆成绩的方差是（单位：平方米）．根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由． 【答案】（1）应选择平均数，圆圆、方方的平均数分别是8米，8米； （2） （3）圆圆同学的成绩较好． 【解析】 【分析】本题考查平均数、方差，折线统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，会计算一组数据的平均数和方差． （1）要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，根据平均数的定义计算出两人的平均数即可； （2）根据方差的计算方法计算即可； （3）由（1）可知两人的平均数相同，由方差可知小聪的成绩波动较小，所以方差较小，成绩相对稳定． 【小问1详解】 解：要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可， 圆圆成绩的平均数：（米）， 方方成绩平均数：（米）， 答：应选择平均数，圆圆、方方的平均数分别是8米，8米； 【小问2详解】 解：方方成绩的方差为：（平方米）； 【小问3详解】 解：， ∴圆圆同学的成绩较好， 理由：由（1）可知两人的平均数相同，因为圆圆成绩的方差小于方方成绩的方差，成绩相对稳定．故圆圆同学的成绩较好． 20. 如图，点P是反比例函数图象上的一个动点，作轴于点H，点Q是PH的中点，设点Q的坐标为． （1）n是m的______函数，并加以说明．（填“一次”或“反比例”） （2）当时，求m的取值范围． 【答案】（1）反比例 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，求得是解题的关键． （1）由题意可知，代入即可得到，即可得到是的反比例函数； （2）求得时的的值，然后结合图象即可求得当时的取值范围． 【小问1详解】 解：作轴于点，点是的中点，设点的坐标为， ， 点是反比例函数图象上的一个动点， ， ， 是的反比例函数， 故答案为：反比例； 【小问2详解】 解：当时，求得， 当时，的取值范围是． 21. 强强为了激励自己学好数学，在白色宣纸上写了两幅书法作品，准备装裱后挂在书房．其中一幅长方形书法作品长80cm，宽20cm，正方形书法作品边长为40cm，现在给两幅作品四周装裱上宽度相等的彩纸（如图1，图2），设彩纸的宽为．（粘贴连接处忽略不计） （1）装裱后长方形书法作品的长为______cm；正方形书法作品的面积为______．（用含x的代数式表示） （2）若装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为，求装裱正方形书法作品所用彩纸的面积． 【答案】（1）， （2）装裱正方形书法作品所用彩纸的面积为． 【解析】 【分析】本题考查的是列代数式，一元二次方程的应用． （1）根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：，正方形书法作品的边长为：，再计算其面积即可； （2）根据题意，可知装裱长方形书法作品所用彩纸的面积装裱后长方形书法作品的面积未装裱长方形书法作品的面积，求得，再根据装裱正方形书法作品所用彩纸的面积装裱后正方形书法作品的面积未装裱正方形书法作品的面积，代入计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：， 正方形书法作品的边长为：，面积为：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：，宽为：， 装裱后长方形书法作品的面积为：， 装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为， 即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 根据题意可知，装裱后正方形书法作品面积为：， 装裱正方形书法作品所用彩纸的面积装裱后正方形书法作品的面积未装裱正方形书法作品的面积， 即装裱正方形书法作品所用彩纸的面积， 答：装裱正方形书法作品所用彩纸的面积为． 22. 如图，在中，是对角线，作于点E，于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理： （1）先证明，再由平行四边形的性质得到，则，据此可得，由此可证明四边形是平行四边形； （2）连接交于O，由平行四边形对角线互相平分可得，，设，则，由勾股定理得，解得，则，可得． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形平行四边形； 【小问2详解】 解：如图所示，连接交于O， ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 23. 综合与实践：如何称量一个1元硬币的重量？ 素材1：如图是一架自制天平，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，支点O在的中点处，一个的砝码． 素材2：由于一个硬币太轻，这个自制天平无法直接称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量乘以等于右盘物体重量乘以．（不计托盘与横梁重量） 任务1：左侧托盘放入1个砝码，设右侧托盘放置物体，长为，求y关于x的函数表达式； 任务2：求一个1元硬币的重量；并判断左侧托盘放入1个砝码时，右侧托盘至少要放置几个1元硬币，该天平才能保持平衡； 任务3：横梁长度保持不变的情况下，通过调整天平支点的位置，使左侧托盘放入1个砝码，右侧托盘放置一个1元硬币时，天平能保持平衡，的长度至多是多少？ 【答案】任务1：；任务2：一个1元的硬币，右侧托盘至少要放置3个1元硬币；任务3： 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用、解一元一次不等式，任务1：根据题意得，，再根据杠杆原理列等式即可求解； 任务2：由任务1得，，当时，天平平衡，即，代入求得10枚1元硬币，即一个1元的硬币，再由反比例函数的增减性可得当时，y的最小值为16.48，即可求解； 任务3：由题意得，设时，天平能保持平衡，此时，进而可得，再进行求解即可． 【详解】解：任务1：∵点O是的中点，， ∴， 由题意得，， 即， ∴y关于x的函数表达式为； 任务2：由任务1得，， ∵当时，天平平衡， ∴， ∴， ∴10枚1元硬币， ∴一个1元的硬币， ∵，即， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y的最小值为， 又∵， 答：右侧托盘至少要放置3个1元硬币； 任务3：由题意得，设时，天平能保持平衡， 此时，， ∴， ∴， 答：的长度至多是． 24. 如图（1），已知矩形，点分别是矩形边上的一点，且，与分别沿翻折得到与；所在的直线交直线于点，所在的直线交直线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，且．判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图（2），若点是的中点．试探求与的数量关系，并加以说明． 【答案】（1）见详解； （2）正方形，理由见详解； （3），理由见详解． 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定，等边三角形的性质． （1）如图，连接，由折叠知，则，再找一个直角，用有三个角是直角的四边形是矩形来证明即可； （2）如图，延长交于，过点作于，要证明其是一个正方形，只要证明有一组临边相等即可，由折叠的性质结合，可设参数证明等量关系； （3）如图，取的中点，连接,,依题干先证，再利用特殊角去找和的关系即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， 四边形是矩形 在和中 由折叠知, , 四边形是矩形； 【小问2详解】 四边形是正方形，理由如下： 如图，延长交于，过点作于， 设 四边形是矩形 四边形是正方形； 【小问3详解】 如图，取的中点，连接,, 若点是的中点，则点是的中点， 三点共线 等边三角形 由（1）知， 点是的中点，则点是的中点 四边形是平行四边形 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$