精品解析：北京市顺义区2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试卷

顺义区2023-2024学年度第二学期期末质量监测 高二数学试卷 考生须知：1.本试卷总分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷共5页，分为选择题（40分）和非选择题（110分）两个部分. 3.试卷所有答案必须填涂或写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 4.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自己保留. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 函数的零点是（ ） A. B. C. 10 D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，，，则的值为（ ） A B. C. D. 5. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，图象不存在与轴平行的切线的是（ ） A. B. C. D. 7. 2016年11月30日，中国的“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.二十四节气不仅是一种时间体系，更是一套具有丰富内涵的生活与民俗系统.《传统廿四节气歌》中的“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的个节气.某个小组在参加“跟着节气去探究”综合实践活动时，要从个节气中选择个节气，且个节气不在同一个季节，那么不同的选法有（ ） A. 60种 B. 种 C. 276种 D. 432种 8. 若奇函数定义域为在上的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A B. C. D. 9. 碳14是透过宇宙射线撞击空气中的氮14原子所产生.碳14原子经过β衰变转变为氮原子. 由于其半衰期达5730年，经常用于考古年代鉴定.半衰期（Half-life）是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间.对北京人遗址中某块化石鉴定时，碳14含量约为原来的1%，则这块化石距今约为（ ）（参考数据：） A. 40万年 B. 20万年 C. 4万年 D. 2万年 10. 对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”．给出以下四个结论： ① 若等差数列为“有界变差数列”，则的公差等于0； ② 若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比q的取值范围是； ③ 若数列是“有界变差数列”，满足，则是“有界变差数列”； ④ 若数列是“有界变差数列”，满足，则是“有界变差数列”； 其中所有正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡上.） 11. 函数的定义域为______. 12. 已知各项均为正数的等比数列，，，则______；前项积的最小值为______. 13. 已知随机变量取所有值是等可能的，且，则______. 14. 顺义石门农副产品批发市场是北京市重要的农产品集散地之一，该市场每天要对进场销售的蔬菜进行无公害检测.来自A，B，C三个产区的土豆在某天的进场数量（单位：吨）如下表： 产区 A B C 进场数量 工作人员用分层随机抽样的方法从进场销售的土豆中共抽取个进行了农药残留量检测（忽略土豆的个体大小差异），再从这个土豆中随机抽取个进行重金属残留量检测，则来自A产区的土豆被抽到的概率为______. 15. 设函数，①若，则的最小值为___________；②若无最小值，则实数的取值范围是___________. 三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知的展开式中，各项的系数之和为729. （1）求的值； （2）判断展开式中是否存在含的项，若存在，求出该项；若不存在，说明理由. 17. 已知各项均为正数的等比数列满足=8，，设. （1）证明：数列是等差数列； （2）记数列的前项和为，求的最大值． 18. 已知函数. （1）求在点处切线方程； （2）当时，求在区间上的最大值. 19. 某学校有A，B两个学生餐厅.在“厉行节约、反对浪费”主题宣传月活动中，为帮助餐厅把握每日每餐的用餐人数，科学备餐，该校学生会从全校随机抽取了名学生作为样本，收集他们在某日的就餐信息，经过整理得到如下数据： 早餐 午餐 晚餐 A餐厅 人 人 人 B餐厅 人 人 人 不在学校用餐 人 人 人 用频率估计概率，且学生对餐厅的选择相互独立，每日用餐总人数相对稳定. （1）若该学校共有名学生，估计每日在A餐厅用早餐的人数； （2）从该学校每日用午餐的学生中随机抽取人，设表示这人中在A餐厅用餐的人数，求的分布列和数学期望； （3）一个星期后，从在学校每日用晚餐的学生中随机抽查了10人，发现在B餐厅用晚餐的有2人.根据抽查结果，能否认为在B餐厅用晚餐的人数较上个星期发生了变化？说明理由． 20. 已知函数，设. （1）若，求的单调区间； （2）若在区间上存在极小值m， （ⅰ） 求的取值范围； （ⅱ）证明：． 21. 若数列 满足，则称数列．记. （1）若数列满足，直接写出所能取到的最大值和最小值； （2）若数列满足，求证：存在，使得； （3）若数列满足，求所能取到的最大值（结果用含的代数式表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 顺义区2023-2024学年度第二学期期末质量监测 高二数学试卷 考生须知：1.本试卷总分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷共5页，分为选择题（40分）和非选择题（110分）两个部分. 3.试卷所有答案必须填涂或写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 4.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自己保留. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 函数的零点是（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】令即可求解. 【详解】令，可得，解得， 故函数的零点是. 故选：A. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数公式，即可求得答案. 【详解】由题意得， 故选：C 3. 下列函数中，在上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的性质可以逐一判断. 【详解】对于A，在上单调递增，故A错误； 对于B，由指数函数性质可知， 在R上为减函数，故B正确； 对于C，在上单调递增，故C错误； 对于D，在和上单调递减，故D错误； 故选：B. 4. 已知等差数列的前项和为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：由基本量法求出公差d和首项，再由等差数列前项和公式可得结论．法二：利用等差数列的性质即可整体代入求和. 【详解】法一： 设等差数列的公差为d， 因为，，所以， 解得，所以. 法二： 因为在等差数列中，， 所以. 故选：C 5. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数求导法则和复合函数求导法则，求得答案. 【详解】对函数求导，可得导函数 故选：C 【点睛】本题考查导数的运算中复合函数求导，属于基础题. 6. 下列函数中，图象不存在与轴平行的切线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】图象不存在与轴平行的切线，即无解，据此对选项逐一分析即可. 【详解】图象不存在与轴平行的切线，即无解， 对A：，则，得， 故图象在处的切线与轴平行，故A错误； 对B：，则无解， 故不存在与轴平行的切线，故B正确； 对C：，则，得， 故图象在处的切线与轴平行，故C错误； 对D：，则，得， 故图象在处的切线与轴平行，故D错误； 故选：. 7. 2016年11月30日，中国的“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.二十四节气不仅是一种时间体系，更是一套具有丰富内涵的生活与民俗系统.《传统廿四节气歌》中的“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的个节气.某个小组在参加“跟着节气去探究”综合实践活动时，要从个节气中选择个节气，且个节气不在同一个季节，那么不同的选法有（ ） A. 60种 B. 种 C. 276种 D. 432种 【答案】B 【解析】 【分析】结合组合知识，再采用正难则反的思想，利用间接法即可求解 【详解】从个节气中选择个节气，总共不同的选法有种， 从个节气中选择个节气，且个节气在同一个季节，不同的选法有， 所以从个节气中选择个节气，且个节气不在同一个季节，不同的选法有种； 故选：B. 8. 若奇函数的定义域为在上的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先得出对任意的，，从而原不等式等价于，结合图象以及奇函数性质即可得解. 【详解】由图可知在上单调递减，且也是奇函数， 所以在上也单调递减， 所以对任意的，， 所以当时，， 当时，，当时，， 由奇函数性质可知，当时，，当时，， 注意到时，没有定义，， 综上所述，不等式的解集是. 故选：A. 9. 碳14是透过宇宙射线撞击空气中的氮14原子所产生.碳14原子经过β衰变转变为氮原子. 由于其半衰期达5730年，经常用于考古年代鉴定.半衰期（Half-life）是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间.对北京人遗址中某块化石鉴定时，碳14含量约为原来的1%，则这块化石距今约为（ ）（参考数据：） A. 40万年 B. 20万年 C. 4万年 D. 2万年 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，发现是一个等比数列，然后利用等比数列求出第n个半衰期结束时碳14含量为 【详解】设第n个半衰期结束时，碳14含量为， 由题意可得，第一个半衰期结束时，碳14含量为，第二个半衰期结束时，碳14含量为， 以此类推，为以首项，公比为的等比数列， 所以，第n个半衰期结束时，碳14含量为， 令，解得 所以这块化石距今约为5730年，即约为4万年. 故选：C. 10. 对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”．给出以下四个结论： ① 若等差数列为“有界变差数列”，则的公差等于0； ② 若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比q的取值范围是； ③ 若数列是“有界变差数列”，满足，则是“有界变差数列”； ④ 若数列是“有界变差数列”，满足，则是“有界变差数列”； 其中所有正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，利用反证法即可判断；对于②，讨论和，，并结合等比数列求和及性质即可判断；对于③④，证明若，均为有界变差数列，且，则是有界变差数列，即可判断. 【详解】对于①，假设的公差不等于0，则, 故， 所以不存在，使得对任意，有， 所以若等差数列为“有界变差数列”，则的公差等于0，故正确①； 对于②，因为各项均为正数，所以，， ， 当时，，， 任取即可，所以为有界变差数列． 当时，， 若，则， 令即可，所以为有界变差数列， 若，则， 当时，， 显然不存在符合条件的，故不是有界变差数列． 综上，的取值范围是，故②错误； 先证明若，均为有界变差数列，且，则是有界变差数列． 由有界变差数列的定义可知， ， ． 因为 ， 所以． 故 ， 因此， 所以是有界变差数列． 对于③，易知，设,则，且， 由前面结论知是有界变差数列，即是“有界变差数列”，故正确③； 对于④，因为，所以， 所以是有界变差数列，故④正确. 故所有正确结论的个数是3. 故选:C. 【点睛】关键点点睛：对于③④，先证明若，均为有界变差数列，且，则是有界变差数列． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡上.） 11. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】函数定义域就是使得式子有意义的x的取值所构成的集合，列出相应的不等式组，求得结果. 【详解】要使函数有意义，需要，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 12. 已知各项均为正数的等比数列，，，则______；前项积的最小值为______. 【答案】 ①. 8 ②. ##0.015625 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列通项公式可得，进而可得，令，运算求解即可得的最小值. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得：，解得， 可得，所以； 令，解得， 所以的最小值为. 故答案为：8；. 13. 已知随机变量取所有值是等可能的，且，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据随机变量的数学期望公式列出方程，求解方程即可. 【详解】由题意可得， 所以， 解得. 故答案为：3. 14. 顺义石门农副产品批发市场是北京市重要农产品集散地之一，该市场每天要对进场销售的蔬菜进行无公害检测.来自A，B，C三个产区的土豆在某天的进场数量（单位：吨）如下表： 产区 A B C 进场数量 工作人员用分层随机抽样的方法从进场销售的土豆中共抽取个进行了农药残留量检测（忽略土豆的个体大小差异），再从这个土豆中随机抽取个进行重金属残留量检测，则来自A产区的土豆被抽到的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用分层抽样求出抽出的10个土豆中，来自A，B，C三个产区的土豆数，再利用对立事件及古典概率求解即得. 【详解】依题意，抽取的个土豆中，来自A产区个数为， 来自B产区个数为，来自C产区个数为， 从10个土豆中任取2个的基本事件数为，没有抽到来自A产区的土豆的事件含有的基本事件数为， 所以来自A产区的土豆被抽到的概率为. 故答案为： 15. 设函数，①若，则最小值为___________；②若无最小值，则实数的取值范围是___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①当时，分，，求出函数得单调区间，从而即可求出函数得最小值； ②求导，根据无最小值，则或，解不等式组即可得出答案. 【详解】解：①当时，则 当时，，且单调递增； 当时，， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上的最小值为. 综上可得，函数的最小值为. ②， 令，则， 若无最小值，则或， 解得：. 故答案为：①；②. 三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知的展开式中，各项的系数之和为729. （1）求的值； （2）判断展开式中是否存在含的项，若存在，求出该项；若不存在，说明理由. 【答案】（1）6； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）令即可求解； （2）写出的展开式的通项，令的幂指数等于2即可求解. 【小问1详解】 的展开式中，各项的系数之和为729， 令，得，解得. 【小问2详解】 的展开式的通项为， 若存在含的项，则， 解得. 所以展开式中存在含的项，此项为. 17. 已知各项均为正数的等比数列满足=8，，设. （1）证明：数列是等差数列； （2）记数列的前项和为，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）由等比数列的基本量法，求出基本量，从而求得通项公式，再求得通项公式，从而得证. （2）从二次函数的角度理解，求得的最大值. 【小问1详解】 设等比数列的公比为q, ∵数列是等比数列，且，则， ∴ , ∴ , ∴==2 又∵=8,∴ , ∴ ∴ ∴ ∴数列是等差数列，首项，公差. 【小问2详解】 由(1)知， ∵ , ∴对称轴,又，所以取 ∴时，最大，最大值为6. 18. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）当时，求在区间上的最大值. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再用点斜式写出切线方程，从而得解； （2）求出在区间上的端点函数值以及极值，比较大小，分类讨论，得到最大值. 【小问1详解】 ∵, ∴. . ∴在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由（Ⅰ）可知. 令，可得或. 当变化时，与的变化情况如下表所示. x 0 1 - 0 + 1 单调递减 极小值 单调递增 a+2 ∴在上单调递减，在上单调递增. 当，即时，. 当，即时，. 所以当时，的最大值为1；当时，的最大值为. 19. 某学校有A，B两个学生餐厅.在“厉行节约、反对浪费”主题宣传月活动中，为帮助餐厅把握每日每餐的用餐人数，科学备餐，该校学生会从全校随机抽取了名学生作为样本，收集他们在某日的就餐信息，经过整理得到如下数据： 早餐 午餐 晚餐 A餐厅 人 人 人 B餐厅 人 人 人 不在学校用餐 人 人 人 用频率估计概率，且学生对餐厅的选择相互独立，每日用餐总人数相对稳定. （1）若该学校共有名学生，估计每日在A餐厅用早餐的人数； （2）从该学校每日用午餐的学生中随机抽取人，设表示这人中在A餐厅用餐的人数，求的分布列和数学期望； （3）一个星期后，从在学校每日用晚餐的学生中随机抽查了10人，发现在B餐厅用晚餐的有2人.根据抽查结果，能否认为在B餐厅用晚餐的人数较上个星期发生了变化？说明理由． 【答案】（1）700人 （2）分布列见解析， （3）答案见解析，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据可得频率，进而利用频率估计人数； （2）分析可知，根据二项分布求分布列和期望； （3）根据独立重复性事件求概率，结合概率的意义分析说明. 【小问1详解】 样本中学生在A餐厅用早餐的频率为， 据此估计该学校2000名学生每日在A餐厅用早餐的人数为：. 【小问2详解】 从该学校用午餐的学生中随机抽取人，由样本的频率估计该学生在A餐厅用餐的概率. 由题意可知：，则的可能取值为，则有： ；； ；. 所以的分布列为 的期望为. 【小问3详解】 结论和理由不唯一，阅卷时结合给出的理由酌情给分. 设事件为“随机抽查人，有人在B餐厅用晚餐”. 假设在B餐厅用晚餐的人数较上个星期没有变化， 由样本估计从在学校用晚餐的学生中随机抽查1人，此人在B餐厅用晚餐的概率为， 由上个星期的样本数据估计. 示例答案1：可以认为发生了变化.理由如下： 事件是一个小概率事件，一般认为小概率事件在一次随机试验中不易发生， 如果发生了，可以认为在B餐厅用晚餐的人数较上个星期发生了变化； 示例答案2：无法确定有没有变化.理由如下： 比较小，一般不容易发生， 随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，事件也是有可能发生的， 所以无法确定有没有变化； 示例答案3：无法确定有没有变化.理由如下： 抽查的人数少，样本容量太小，可能抽到的大部分是在A餐厅用餐的学生（抽到了极端情形）， 所以抽查结果可能无法准确反映在两个餐厅的实际用餐人数. 20. 已知函数，设. （1）若，求的单调区间； （2）若在区间上存在极小值m， （ⅰ） 求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）上单调递增，在 上单调递减 （2）（ii）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导数得到，然后再一次利用求导得出单调区间； （2）（i）法一：分类讨论：时无极值，时，有极大值，再一次分类讨论：极大值小于0，极大值大于0， 最后得出符合题意的范围；法二：先求出的最大值，根据最大值大于0，和小于0 分类讨论，最后得出符合题意的范围； （ii）由（i）写出m的解析式，构造二次函数即可得证. 【小问1详解】 若，则，. 所以，则 . 令，即，解得; 令，即，解得. 所以在上单调递增，在 上单调递减 . 【小问2详解】 （ⅰ）法一：因为，所以. 易知在上单调递减，. 当即时，，在上单调递减， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以无极值. 当即时， 由可得. 当变化时，与的变化情况如下表所示. x (0,ln(2a)) ln(2a) (ln(2a),+∞) h’(x) + 0 h(x) 单调递增 极大值 单调递减 ∴在上单调递增，在上单调递减. 当时，有极大值. ①当即时， ，在上单调递减. 所以无极值. ②当即时， 因为，所以在上有且只有一个零点，记为. 当变化时，与的变化情况如下表所示. x (0,x0) x0 (x0,ln(2a)) 0 + f (x) 单调递减 极小值 单调递增 所以，当时，有极小值. 法二： . 令，则 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， ①当，即时， 在上单调递减， 所以无极值. ②当，即时， 当且时，. 又，使. 所以当时，即在上单调递减. 当时，即在上单调递增. 当时，有极小值. 有极小值时，的取值范围是. （ⅱ）由（i）知，. . . ,. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中（i）的关键在于处理好导函数的单调性或最值问题，从而影响原函数的极值情况，要保证原函数有极小值，只需要确保导函数有变号零点， 且导函数在零点附近是递增的即可. 21. 若数列 满足，则称为数列．记. （1）若数列满足，直接写出所能取到的最大值和最小值； （2）若数列满足，求证：存在，使得； （3）若数列满足，求所能取到的最大值（结果用含的代数式表示）. 【答案】（1）最大值是3，最小值是-3 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据数列的定义即可求解； （2）用反证法证明，假设任意，. 设是中最后一个小于零的项（由可知这样的项存在），并且由，从而推出，推出矛盾即可证明； （3）令，则.从而可得，进而推出，由可得中1与的个数相等. 不妨令 ，从而，进而，进而可得，从而利用等差数列的前项和公式即可求解. 【小问1详解】 所能取到的最大值是3，所能取到的最小值是-3； 【小问2详解】 用反证法，假设任意，. 设是中最后一个小于零的项（由可知这样的项存在），并且由，可知. 由，可知是整数列， 从而，所以，与矛盾. 所以假设不成立，从而存在，使得； 【小问3详解】 令，则. 因为，, ,， 所以， 根据可知，注意到，并且中1与的个数相等. 不妨令 ， ， 等号取到当且仅当. 故所能取到的最大值为. 【点睛】关键点点睛： 第三问中，关键是令，则.从而可得，进而推出，由可得中1与的个数相等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$