精品解析：河南省南阳市淅川县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年春期八年级期终质量评估数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、考号、考场、座位号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号填写在答题卡上．每小题3分，共30分）． 1. 下列式子中是分式的是（ ） A B. C. D. 2. 魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率约为，其与的误差小于．其中用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 腌制咸鸭蛋，首先需要制作食盐水，一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，水与食盐混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，这个问题中自变量和因变量分别是：（ ） A. 水，食盐水的浓度 B. 水，食盐水 C. 食盐量，食盐水 D. 食盐量，食盐水的浓度 4. 如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接，则四边形是平行四边形．其依据是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 5. 若点A（a，3）与B（2，b）关于x轴对称（a，b）所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 随着体育中考的临近，我校随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，并根据数据绘成统计图如下，则关于这50个数据的说法错误的是（ ） A. 平均数是9 B. 众数是9 C. 中位数是9 D. 方差是9 7. 翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形中，，，的度数为（ ）． A 30° B. 45° C. 50° D. 60° 8. 如图，在矩形ABCD中，，，E为上一点，平分 ，则的长为（　　） A. 12 B. 5 C. 1 D. 3 9. 如图所示：点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（ ） A. 64 B. 32 C. 16 D. 8 10. 如图，在菱形中，，，，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿，方向，向点B匀速移动（到点B为止），点的速度为，点的速度为，经过t秒为等边三角形，则t的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 若=1，则x的取值范围是_______． 12. 如图，已知函数与函数的图象交于点，则方程组的解是______． 13. 某校举行“纪念香港回归21周年”演讲比赛，共有15名同学进入决赛(决赛成绩互不相同)，比赛将评出金奖1名，银奖3名，铜奖4名．某参赛选手知道自己分数后，要判断自己能否获奖，他应当关注的是有关成绩的________．(填“平均数”“中位数”或“众数”) 14. 将一副三角板如图所示摆放在中，已知，则__________． 15. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为_____． 三、解答题：（本题8个小题，共75分） 16 （1）计算：； （2）解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图所示：直线与轴相交于点B，A是直线上一点，过点A，B分别作轴、y轴的平行线交于点C，已知点C恰好在反比例函数的图像上，若点A的横坐标为点B横坐标的一半． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出B点的坐标． 19. “防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96． 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 96 m 众数 b 98 方差 28.6 28 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？ 20. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC、DE相交于点O． （1）求证：四边形ADCE是矩形． （2）若∠AOE=60°，AE=4，求矩形ADCE对角线的长． 21. 某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等，篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元． （1）篮球和足球的单价各是多少元? （2）商场计划用不超过10350元购进两种球共100个，问：分别购进篮球和足球多少个，能使商场获利最大?最大利润是多少? 22. 【教材呈现】如下是华师版八年级下册数学教材第75页练习的部分内容．证明结论的正确性． 如图①，如果直线，那么的面积和的面积是相等的． 【方法探究】如图②，在中，点在边上．若，求与数量关系． 【方法应用】如图③，正方形的边长为5，点是正方形内部一点，连结、．当是以为腰的等腰三角形，且时，直接写出的长． 23. 如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点． （1）求点C的坐标及直线的表达式； （2）如图2，在（1）的条件下，过点E作直线轴于点E，交直线于点F，交直线于点G，若点E的坐标是． ①求面积； ②直线l上是否存在点P，使的值最小？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春期八年级期终质量评估数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、考号、考场、座位号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号填写在答题卡上．每小题3分，共30分）． 1. 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义依次判断即可． 本题考查了分式的定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．熟练掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】是整式，不符合题意； 是整式，不符合题意； 是分式，符合题意； 是整式，不符合题意． 故选：C 2. 魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率约为，其与的误差小于．其中用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此可得出结果． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定的值以及的值是本题的关键． 3. 腌制咸鸭蛋，首先需要制作食盐水，一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，水与食盐混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，这个问题中自变量和因变量分别是：（ ） A. 水，食盐水的浓度 B. 水，食盐水 C. 食盐量，食盐水 D. 食盐量，食盐水的浓度 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是常量与变量的概念，根据对浓度的认识解答本题，水的质量不变，加的食盐越多，食盐水的浓度越高，据此解答即可．掌握其概念是解决此题的关键． 【详解】解：随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，自变量是食盐量，因变量是食盐水的浓度． 故选：． 4. 如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接，则四边形是平行四边形．其依据是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】由作图可得，，，进而可得判定平行四边形的依据． 【详解】解：由作图可得，，， ∴四边形是平行四边形， ∴依据为两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定．解题的关键在于理解作图过程． 5. 若点A（a，3）与B（2，b）关于x轴对称（a，b）所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a、b的值，可得答案． 【详解】解：由点A（a，3）与点B（2，b）关于x轴对称，得 a=2，b=-3． 故（2，-3）在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，关于x轴对称的点的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同． 6. 随着体育中考的临近，我校随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，并根据数据绘成统计图如下，则关于这50个数据的说法错误的是（ ） A. 平均数是9 B. 众数是9 C. 中位数是9 D. 方差是9 【答案】D 【解析】 【分析】利用加权平均数公式、方差公式以及众数、中位数的定义即可求解． 【详解】解：A、平均数是：=9，故命题正确； B、众数是9，命题正确； C、中位数9，命题正确； D、方差是：[2（7-9）2+12（8-9）2+20（9-9）2+16（10-9）2]=0.72，故命题错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了加权平均数公式、方差公式以及众数、中位数的定义，理解方差的计算公式是关键． 7. 翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形中，，，的度数为（ ）． A. 30° B. 45° C. 50° D. 60° 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，进而可得；再根据三角形内角和定理可得；然后再证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由对顶角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵矩形中， ∴, ∵， ∴, ∴, ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键． 8. 如图，在矩形ABCD中，，，E为上一点，平分 ，则的长为（　　） A. 12 B. 5 C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义证明，根据等角对等边，即可求得的长，在中，利用勾股定理求得的长，则的长即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，角平分线定义，求出的长是关键． 9. 如图所示：点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（ ） A. 64 B. 32 C. 16 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】连接，先根据证明，则可得，进而可得，即可得解． 本题考查了全等三角形的判定，正方形的性质、以及转化思想等知识点，转化思想的运用是解题关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ， ， 又， ， 且， ，， ∵是正方形的对角线， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 故选：C 10. 如图，在菱形中，，，，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿，方向，向点B匀速移动（到点B为止），点的速度为，点的速度为，经过t秒为等边三角形，则t的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题为考查菱形性质以及动点问题的综合题，难度适中，熟练掌握菱形的性质以及三角形全等的判断是解题关键．连接BD，利用菱形性质、等边三角形的性质可证，进而得到；根据题意，，即可求出． 【详解】解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：D． 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 若=1，则x的取值范围是_______． 【答案】x≠4． 【解析】 【分析】根据任何不为零的数的零次幂为1，可得答案． 【详解】解：根据题意得：x－4≠0，则x≠4． 故答案为： 12. 如图，已知函数与函数的图象交于点，则方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”解决问题． 【详解】解：∵点P为函数与函数的图象的交点， ∴方程组的解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，将方程组的解转化为图像的交点问题． 13. 某校举行“纪念香港回归21周年”演讲比赛，共有15名同学进入决赛(决赛成绩互不相同)，比赛将评出金奖1名，银奖3名，铜奖4名．某参赛选手知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应当关注的是有关成绩的________．(填“平均数”“中位数”或“众数”) 【答案】中位数 【解析】 【详解】试题分析：中位数表示是这15名同学中成绩处于第八名的成绩，如果成绩是中位数以前，则肯定获奖，如果成绩是中位数以后，则肯定没有获奖． 考点：中位数的作用 14. 将一副三角板如图所示摆放在中，已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长交于N，由平行线的性质可得，由题意得，，进而得，由三角形外角定理得，进而得解． 本题主要考查了平行四边形的性质及三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的根据． 【详解】解：如图，延长交于N， ∵四边形是平行四边形， ， 由题意得，， ， ， ， ． 故答案为： 15. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为_____． 【答案】3或6． 【解析】 【分析】当为直角三角形时，有两种情况： ①当点落在矩形内部时，如答图1所示． 连结，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，则，，可计算出，设，则，，然后在中运用勾股定理可计算出． ②当点落在边上时，如答图2所示．此时四边形为正方形． 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： ①当点落在矩形内部时，如答图1所示． 连结， 在中，，， ， 沿折叠，使点落在点处， ， 当为直角三角形时，只能得到， 点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，如图， ，， ， 设，则，， 在中， ， ， 解得， ； ②当点落在边上时，如答图2所示． 此时为正方形， ． 综上所述，的长为3或6． 故答案为3或6． 【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解． 三、解答题：（本题8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解分式方程，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据立方根定义，零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先把括号内通分，并把除法转化为乘法，再约分化简，由得，再把代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 18. 如图所示：直线与轴相交于点B，A是直线上一点，过点A，B分别作轴、y轴的平行线交于点C，已知点C恰好在反比例函数的图像上，若点A的横坐标为点B横坐标的一半． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出B点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像与一次函数图像上点的坐标特征，设点C的坐标为，导出点A、B坐标并将其代入直线解析式即可得出答案，熟练掌握坐标与函数解析式的关系是解题的关键． 小问1详解】 解：设点C的坐标为，则点， ∵点A的横坐标为点B横坐标的一半，则， ∵、在直线的图像上， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 19. “防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96． 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 96 m 众数 b 98 方差 28.6 28 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？ 【答案】（1）30，96，93 （2）七年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但七年级的中位数高于八年级 （3）估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是540人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论； （2）根据七年级的中位数高于八年级，于是得到七年级学生掌握防溺水安全知识较好； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【小问1详解】 解：， ∵在七年级10名学生的竞赛成绩中96出现的次数最多， ∴ ； ∵八年级10名学生的竞赛成绩在A组中有2个，在B组有1个， ∴八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数， ∴, 故答案为：30，96，93； 【小问2详解】 七年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但七年级的中位数高于八年级． 【小问3详解】 七年级在的人数有6人，八年级在的人数有3人， 估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数为：（人）， 答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是540人． 【点睛】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力以及中位数，众数和平均数，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 20. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC、DE相交于点O． （1）求证：四边形ADCE是矩形． （2）若∠AOE=60°，AE=4，求矩形ADCE对角线的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）8. 【解析】 【详解】分析：（1）根据四边形ABDE是平行四边形和AB=AC，推出AD和DE相等且互相平分，即可推出四边形ADCE是矩形． （2）根据∠AOE=60°和矩形的对角线相等且互相平分，得出△AOE为等边三角形，即可求出AO的长，从而得到矩形ADCE对角线的长． 详解：（1）∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AB=DE， 又∵AB=AC， ∴DE=AC． ∵AB=AC，D为BC中点， ∴∠ADC=90°， 又∵D为BC中点， ∴CD=BD． ∴CD∥AE，CD=AE． ∴四边形AECD是平行四边形， 又∴∠ADC=90°， ∴四边形ADCE是矩形． （2）∵四边形ADCE是矩形， ∴AO=EO， ∴△AOE为等边三角形， ∴AO=4， 故AC=8． 点睛：本题考查了矩形的判定和性质，二者结合是常见的出题方式，要注意灵活运用等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形中位线的性质. 21. 某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等，篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元． （1）篮球和足球的单价各是多少元? （2）商场计划用不超过10350元购进两种球共100个，问：分别购进篮球和足球多少个，能使商场获利最大?最大利润是多少? 【答案】（1）足球的单价为90元，则篮球单价为120元 （2）购进篮球为45个，足球为55个时获利最大，最大利润为2450元 【解析】 【分析】（1）设足球的单价为x元，则篮球单价为元，根据“用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等”列方程求解即可； （2）设购进篮球n个，则购进足球个， 根据“商场计划用不超过10350元购进两种球共100个”列不等式，求出n的范围．再设商场获利为w元，根据题意列出n与w之间的函数关系式，再利用一次函数的增减性求出w的最大值即可． 【小问1详解】 解：设足球的单价为x元，则篮球单价为元， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：足球的单价为90元，则篮球单价为120元． 【小问2详解】 解：设购进篮球n个，则购进足球个， 根据题意得：， 解得 ． 设商场获利为w元，得 ， 因为 所以w随n的增大而增大， 所以时，w有最大值， ． ∴购进篮球为45个，足球为55个时获利最大，最大利润为2450元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 22. 【教材呈现】如下是华师版八年级下册数学教材第75页练习的部分内容．证明结论的正确性． 如图①，如果直线，那么的面积和的面积是相等的． 方法探究】如图②，在中，点在边上．若，求与数量关系． 【方法应用】如图③，正方形的边长为5，点是正方形内部一点，连结、．当是以为腰的等腰三角形，且时，直接写出的长． 【答案】[教材呈现]：证明见解析；[方法探究]：；[方法应用]：5或 【解析】 【分析】[教材呈现]只要说明与之间的距离相等即可； [方法探究]因为两个三角形的高相等，所以面积 之间的数量关系等于两底之比，即可求出； [方法应用]因为三角形为等腰三角形，所以要分类讨论，即可求出． 【详解】[教材呈现] 证明：过点作于点，过点作于点，如图所示， ， ， 四边形为平行四边形， ， ，， ； [方法探究] 解：由教材呈现可知： ， 与两底，上的高相等， ， ； [方法应用] 解：过点作于点， ，， ， ， 当时，， ， ， 当时，． 综上所述，的长为5或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，两平行线间的距离处处相等，三角形面积公式，勾股定理等知识点，掌握这些知识点是解题的关键． 23. 如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点． （1）求点C的坐标及直线的表达式； （2）如图2，在（1）的条件下，过点E作直线轴于点E，交直线于点F，交直线于点G，若点E的坐标是． ①求的面积； ②直线l上是否存在点P，使的值最小？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），直线的解析式为 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先求出，将和代入，即可得直线的解析式； （2）①设点，，分别代入和，可得，，，过点C作于H，依据进行计算即可； ②设点O关于直线l的对称点为，设直线的解析式为，将，代入可得直线的解析式为，令，则，即可求得． 【小问1详解】 解：将点代入，可得， ， 将和代入，可得， ，解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 ①轴，点E，F，G都在直线l上，且点E的坐标为， 点F，G的横坐标均为4， 设点，，分别代入和，可得： ， ，， ，，， 如图2，过点C作于H ， ， ； ②存在点，使得的值最小 理由：设点O关于直线l的对称点为，连接，交直线l于P，则点P即为所求， 设直线的解析式为，可得： ，解得 直线的解析式为， ∵点P在直线l：上， ∴， ． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$