专题01 平方根、立方根与实数相关计算题专训（6大题型）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题01 平方根、立方根与实数计算题重难点题型专训（6大题型） 【题型目录】 题型一 利用平方根、立方根解方程 题型二 平方根相关的计算 题型三 立方根相关的计算 题型四 实数的混合运算 题型五 新定义的实数计算 题型六 实数相关的规律探究题 【经典例题一 利用平方根、立方根解方程】 1．（22-23八年级上·江苏苏州·期末）求方程中的值：． 2．（22-23七年级上·江西南昌·期中）求解下列方程： (1)； (2)． 3．（22-23七年级下·湖北孝感·期末）已知|2a+b|与互为相反数， （1）求a、b的值； （2）解关于x的方程：ax2+4b﹣2＝0． 4．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期中）求下列方程中的x (1) (2) 5．（23-24七年级下·北京·期中）解关于x的方程： (1)； (2)． 6．（22-23七年级下·陕西渭南·阶段练习）已知是方程的一组解，求的平方根． 7．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的方程的解是不等式的最小整数解，求a的算术平方根. 8．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）若方程是关于，的二元一次方程，求的平方根． 9．（22-23七年级下·河北沧州·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数； (2)求关于的方程的解． 10．（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）一个正数b的两个平方根分别是与． (1)求的值； (2)求关于x的方程的解． 【经典例题二 平方根相关的计算】 11．（23-24七年级下·全国·假期作业）若，求的平方根． 12．（22-23七年级下·吉林·期中）计算：． 13．（22-23八年级下·山东聊城·阶段练习）求下列各数的算术平方根． (1)64 (2) (3) (4) 14．（22-23七年级下·重庆秀山·阶段练习）计算： (1)； (2) 15．（22-23七年级上·浙江丽水·期末）计算： (1)-9+5+3； (2)． 16．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）计算： （1）若，求的值 （2）若，求的平方根． 17．（23-24七年级下·河南商丘·期中）在数轴上有A，B 两点，分别表示实数a和b，且与 互为相反数，求的平方根． 18．（23-24八年级上·陕西西安·期中）已知正数的两个平方根分别是和 (1)求代数式的值； (2)当时，求的算术平方根． 19．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数； (2)若和满足，求的平方根． 20．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知一个正数的两个平方根分别为和． (1)求的值，并求这个正数； (2)求的算术平方根． 【经典例题三 立方根相关的计算】 21．（2024上·陕西榆林·八年级统考期末）已知的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根． 22．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求的值； (2)若为的算术平方根，为的立方根，求代数式的值． 23．（2023上·山东东营·七年级统考期末）计算： (1)． (2)． 24．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）如果一个正数m的两个平方根分别是和，n是的立方根． (1)求m和n的值； (2)求的算术平方根 25．（2023上·江苏扬州·八年级校考阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 26．（2023上·四川宜宾·八年级校联考期中）（1）若实数a、b满足，求的立方根． （2）已知实数x，y满足，求的平方根． 27．（2023上·江苏扬州·八年级校考期中）已知一个正数的两个平方根分别是与，实数b的立方根是2，求的立方根． 28．（2023上·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的算术平方根． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 29．（2023上·河北保定·八年级定兴二中校考期中）若一个正数的两个不相等的平方根是和． (1)求这个正数； (2)求这个正数的立方根． 30．（2023上·河北沧州·八年级校联考期中）（1）观察下列各式，并用所得到的规律解决问题： ①，则 ② 发现规律：①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向________移动________位； ②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向________移动________位； （2）应用：①已知________，________； ②已知，则________； （3）拓展：已知，计算和的值． 【经典例题四 实数的混合运算】 31．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）计算：． 32．（23-24七年级下·广东汕头·期末）计算： 33．（23-24七年级下·江西赣州·期末）（1）计算：； （2）解方程组：． 34．（23-24七年级下·新疆克孜勒苏·期末）计算： (1)； (2)． 35．（23-24七年级下·河北保定·期末）计算或求值： (1)计算： (2)已知，求的值． 36．（23-24七年级下·广东广州·期末）计算： (1)； (2)． 37．（23-24七年级下·广东湛江·期末）计算： (1)； (2)已知的算术平方根是5，的立方根是2，求，的值． 38．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）计算． (1)； (2)； (3)． 39．（23-24七年级下·四川泸州·期中）计算： (1) (2) 40．（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）计算 (1) (2) 【经典例题五 新定义的实数计算】 41．（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）对于任意实数，用“#”和“”定义新运算如下： (1)，如．已知计算的结果为19，求的值． (2)，如．已知计算的结果为，求的值． 42．（2024·河北石家庄·三模）刘谦的魔术表演风靡全国，嘉琪也学刘谦发明了一个魔术盒，当数对（a，b为有理数）进入其中时，会得到一个新的有理数：，例如把放入其中，就会得到． (1)把放入其中，求得到的新有理数． (2)若把放入其中，得到的新有理数为，则求n的值． 43．（2024·河北石家庄·二模）定义：a，b，m为实数，若，则称a与b是关于的对称数． (1)2与4是关于______的对称数，与______是关于3的对称数； (2)若，，且a与b是关于的对称数，试求出x的值． 44．（2024·江苏扬州·二模）对于有序实数对，定义关于“”的一种运算如下：．例如． (1)求的值； (2)若，且，求+的值． 45．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）规定一种运算“※”：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 46．（23-24七年级下·贵州黔南·期中）阅读下面的定义新法则，计算下列问题 对于实数，我们定义的意义为，当时，，当时，，当时， 例如：， (1)求的值 (2)求的值 47．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）对于实数，，定义运算：． (1)求的值； (2)求的值； (3)若实数x满足：，求的值． 48．（2024·河南郑州·二模）阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下：，显然99a+9b能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除． 应用材料解答下列问题： (1)设是一个三位数，直接写出满足什么条件时，它可以被5整除； (2)设是一个四位数，猜想满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由． 49．（23-24七年级上·福建厦门·期末）小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，．小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说；“你的理解完全正确．” (1)计算：①，②，③； (2)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 ，异号得 ，并 ； 绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (3)小东已经掌握了“乘减法”的运算法则，接下来，他想要继续研究“乘减法”的运算律，请你一起思考：交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立吗？若成立请说明你的理由，若不成立请举反例． 50．（23-24七年级下·云南昆明·期中）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等． 共轭实数定义：把形如和（a， b有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． 在学习了第六章《实数》的内容后，数学兴趣小组设计了如下问题： (1)根据共轭实数定义我们可以判定：与 共轭实数；与 共轭实数（填“是”或“不是”）； (2)请你设计并写出一对共轭实数．它们是 与 ； (3)小明发现共轭实数和运算结果（如：和、差、积、商等）都有一定的规律．请你求共轭实数与的和与差． ①； ②． 【经典例题六 实数相关的规律探究题】 51．（2023春·河南新乡·七年级统考期中）根据下表回答下列问题： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 (1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数） (2) ， (3)338.56的平方根是 ． 52．（2021春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考阶段练习）观察下列等式：①；②；③． (1)猜想：根据观察所发现的规律，猜想第4个等式为______，第9个等式为______． (2)归纳证明：由以上观察探究，归纳猜想，用含的式子表示第个等式所反映的规律为______． 53．（2023春·云南昆明·七年级云南师范大学实验中学校考期中）在我校科技节活动中爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： ．．． ．．． ．．． 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 ．．． (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大________倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值；________；________； (3)已知，，，则________，________； (4)小明思考如果把算术平方根换成立方根，若，，________，________． 54．（2023春·安徽淮南·七年级校联考阶段练习）（1）计算： （2）求中的x的值． （3）到底有多大？下面是小芯探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且 设，画出如下示意图．    由面积公式，可得 因为x值很小，所以更小，略去，得方程 ， 解得 （保留到），即 ． 55．（2023春·福建厦门·七年级校考期中）已知一个三位自然数，若满足百位数等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数等于十位数和个位数的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数既是“和数”又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如，，是“和数”，，是“谐数”，是“和谐数”． (1)最小的和谐数是___________，最大的和谐数是___________． (2)观察下列各式：，，，， 请你用含字母的式子写出你所观察到的一般规律，并证明任意的“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数． (3)已知（，，且，均为整数），是一个“和数”求的值． 56．（2023春·湖北咸宁·七年级统考期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ (2)①已知，则______； ②已知，则______； (3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，用含的代数式表示． 57．（2023春·云南昭通·七年级统考阶段练习）先阅读理解，再回答下列问题： 因为，且，所以的整数部分为； 因为，且，所以的整数部分为； 因为，且，所以的整数部分为； (1)以此类推，我们会发现（为正整数）的整数部分为______，请说明理由． (2)已知的整数部分为，的整数部分为，求的值． 58．（2023春·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）观察表格，回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y z … (1)表格中　 　，　 　；　 　； (2)从表格中探究a与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则　 　； ②已知，若，用含m的代数式表示b，则b＝　 　； (3)试比较与a的大小． 当　 　时，；当　 　时，；当　 　时，． 59．（2022秋·四川成都·七年级石室中学校考期中）观察算式：①；②； ③；④． 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第5个算式：　 　； (2)写出第n个算式：　 　； (3)计算：． 60．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）观察表格回答下列问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … x 1 y 100 … (1)表格中　 　，　 　． (2)从表格中探究a与数位之间的变化规律，并利用规律解决下面问题： ①已知，则　 　． ②已知，若，则a＝　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平方根、立方根与实数计算题重难点题型专训（6大题型） 【题型目录】 题型一 利用平方根、立方根解方程 题型二 平方根相关的计算 题型三 立方根相关的计算 题型四 实数的混合运算 题型五 新定义的实数计算 题型六 实数相关的规律探究题 【经典例题一 利用平方根、立方根解方程】 1．（22-23八年级上·江苏苏州·期末）求方程中的值：． 【答案】 【分析】直接利用平方根的定义开平方求解即可． 【详解】解：， 开方，得：， 整理，得：， 解得：． 【点睛】此题考查利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题关键． 2．（22-23七年级上·江西南昌·期中）求解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把原方程变形为，再根据平方根的性质解答，即可求解； （2）先把原方程变形为，再根据立方根的性质解答，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：； （2）解： ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根的性质和立方根的性质是解题的关键． 3．（22-23七年级下·湖北孝感·期末）已知|2a+b|与互为相反数， （1）求a、b的值； （2）解关于x的方程：ax2+4b﹣2＝0． 【答案】（1）；（2）x＝±3． 【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再求得2a-3b的值，最后依据平方根的定义求解即可； （2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）∵|2a+b|与互为相反数 ∴|2a+b|+＝0， 又知|2a+b|≥0，≥0， ∴|2a+b|＝0，＝0，即， 解得：； （2）由（1）a＝2，b＝﹣4可知：2x2﹣16﹣2＝0，即x2＝9， 解得：x＝±3． 【点睛】本题主要考查的是平方根的定义、非负数的性质，熟练掌握平方根的定义、非负数的性质是解题的关键． 4．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期中）求下列方程中的x (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方根定义解方程； （2）利用立方根定义解方程． 【详解】（1）解： ∴； （2） ． 【点睛】此题考查了利用平方根定义及立方根定义解方程，正确掌握平方根定义及立方根定义是解题的关键． 5．（23-24七年级下·北京·期中）解关于x的方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】本题考查立方根和平方根，掌握求立方根与平方根的方法是本题的关键． （1）同时开平方，进一步计算即可； （2）移项后，两边同时除以8并同时开立方即可． 【详解】（1）解：两边同时开平方，得， ∴或， 解得或； （2）解：移项，得， 两边同时除以8，得， 两边同时开立方，得． 6．（22-23七年级下·陕西渭南·阶段练习）已知是方程的一组解，求的平方根． 【答案】 【分析】把代入二元一次方程进行求解，然后根据平方根可求解． 【详解】解：∵是方程的一组解， ∴，解得， ∴的平方根是． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解及平方根，熟练掌握二元一次方程的解及平方根是解题的关键． 7．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的方程的解是不等式的最小整数解，求a的算术平方根. 【答案】2 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解、一元一次方程的解、算术平方根，解答本题的关键是求出的值． 先求出不等式的解集，再根据关于的方程的解是不等式的最小整数解，即可得到的值，然后将的值代入方程求出的值，最后求的算术平方根即可． 【详解】解：由可得，， 关于的方程的解是不等式的最小整数解， ， ， 解得， ， 即的算术平方根是2． 8．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）若方程是关于，的二元一次方程，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的概念，根据只含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程是二元一次方程，列出方程，即可求出、的值，再代入即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得： ，， 解得：，， ， 的平方根为． 9．（22-23七年级下·河北沧州·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1)49 (2) 【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答； （2）根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，； 当时，， ∴； （2）解：把代入方程得， ， 即， 故 【点睛】本题考查的是平方根和立方根，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键， 10．（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）一个正数b的两个平方根分别是与． (1)求的值； (2)求关于x的方程的解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）一个正数的平方根有两个，互为相反数，建立方程求解得，进而求解； （2）方程变形，化为的形式，根据平方根的定义求解． 【详解】（1）解：∵一个正数b的两个平方根分别是与， ∴， 解得， 当时，，， ∴， ∴， 答：的值为； （2）当时，原方程可变为， 即， ∴， 答：关于x的方程的解为． 【点睛】本题考查平方根的性质，平方根的求解；掌握平方根的定义是解题的关键． 【经典例题二 平方根相关的计算】 11．（23-24七年级下·全国·假期作业）若，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，以及算术平方根的非负性，先根据算术平方根的非负性得出，即，再代入，然后进行平方根，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 则， ∴的平方根是． 12．（22-23七年级下·吉林·期中）计算：． 【答案】 【分析】先运算绝对值，平方根，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式， ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则和解法是解答本题的关键． 13．（22-23八年级下·山东聊城·阶段练习）求下列各数的算术平方根． (1)64 (2) (3) (4) 【答案】(1)8 (2)2 (3)3 (4) 【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）64的算术平方根是； （2），所以的算术平方根是； （3），所以的算术平方根是； （4）的算术平方根是． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，如果一个非负数x的平方等于a，那么x叫做a的算术平方根，熟知概念是关键． 14．（22-23七年级下·重庆秀山·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用绝对值的性质、算术平方根及有理数的乘方法则计算． （2）利用平方根的定义直接求解． 【详解】（1） 原式 ． （2） 解： ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握绝对值的性质、算术平方根、有理数的乘方法则和利用平方根定义解一元二次方程是解题的关键，这里要注意一个正数的平方根有两个且互为相反数和正分数求平方根是分别对分子、分母求平方根． 15．（22-23七年级上·浙江丽水·期末）计算： (1)-9+5+3； (2)． 【答案】(1)−1 (2)1 【分析】（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用绝对值的性质和有理数的乘方运算法则、算术平方根分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：原式＝−4＋3， ＝−1； （2）原式＝2＋1−2 ＝1． 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质和有理数的乘方运算、算术平方根等知识，正确化简各数是解题关键． 16．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）计算： （1）若，求的值 （2）若，求的平方根． 【答案】（1）125或-125；（2）4或-4 【分析】（1）利用绝对值和算术平方根的非负性求出x和y值，从而可得； （2）利用算术平方根的非负性求出x，从而得到y值，再求出的平方根． 【详解】解：（1）∵， ∴=0，y-3=0， ∴x=5或-5，y=3， ∴=125或-125； （2）∵， ∴4-x=x-4=0， ∴x=4，代入， ∴y=-2， ∴=16， ∴的平方根为4或-4. 【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性以及求平方根，解题的关键是根据其性质求出x和y的值. 17．（23-24七年级下·河南商丘·期中）在数轴上有A，B 两点，分别表示实数a和b，且与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，绝对值和算术平方根的非负性，先分解非负数的性质和相反数的定义求出，，得出，最后根据平方根定义求出结果即可． 【详解】解：∵与 互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∴， ∵36的平方根为， ∴的平方根为． 18．（23-24八年级上·陕西西安·期中）已知正数的两个平方根分别是和 (1)求代数式的值； (2)当时，求的算术平方根． 【答案】(1)； (2)的算术平方根是． 【分析】本题考查了平方根和相反数的应用，注意：正数有两个平方根，它们互为相反数． （1）根据正数有两个平方根，它们互为相反数得出，再整体代入即可求解； （2）把代入，求得，进而可求出x的值，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：∵正数x的两个平方根是和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，解得， ∴， ∴正数x的值为， ∴， ∴的算术平方根是． 19．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数； (2)若和满足，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是平方根和立方根，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键． （1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答； （2）根据绝对值的非负性可得b，根据平方的非负性可得c，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：一个正数的两个不相等的平方根是与． ，   ， ． （2）， ；，   ，， ，   的平方根是． 20．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知一个正数的两个平方根分别为和． (1)求的值，并求这个正数； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题主要考查了平方根的概念，求一个数的平方根，熟知平方根和算术平方根的定义是解题的关键：若两个实数a、b，满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，解方程求出a的值，进而求出的值，再根据平方根的定义求出x的值即可； （2）先求出的值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴9的算术平方根是3， ∴的算术平方根是3． 【经典例题三 立方根相关的计算】 21．（2024上·陕西榆林·八年级统考期末）已知的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根． 【答案】5 【分析】本题考查了利用立方根和平方根的定义求未知数的值，熟记平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据题意可求出x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】的平方根是 ， 的立方根是3， ， ， 解得：， 的算术平方根是 22．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求的值； (2)若为的算术平方根，为的立方根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根的定义、立方根的定义、算术平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，求出，即可得出答案； （2）根据算术平方根和立方根的定义计算出，，再代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：为的算术平方根，为的立方根， ∴，， ∴． 23．（2023上·山东东营·七年级统考期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的有关计算，解题关键是熟练掌握实数整数幂的性质和绝对值的性质． 根据混合运算法则，先算开方，再算加减即可； 根据实数整数幂的性质和绝对值的性质，先算乘方和开方，去掉绝对值符号，再进行实数的加减运算即可． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 24．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）如果一个正数m的两个平方根分别是和，n是的立方根． (1)求m和n的值； (2)求的算术平方根 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查平方根，立方根和算术平方根． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，得到关于的方程，求出的值，进而求出的值，根据立方根的定义，求出的值； （2）将m和n的值代入代数式，求出算术平方根即可． 掌握平方根，立方根和算术平方根的定义，是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∴， ∴； （2）∵， ， ∴． 25．（2023上·江苏扬州·八年级校考阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，立方根，熟练掌握公式和定义是解题的关键． （1）根据算术平方根，立方根，零指数幂的运算法则计算即可． （2）根据算术平方根，绝对值，零指数幂的运算法则计算即可． （3）根据平方根运算法则计算即可． （4）根据立方根运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3）， 或， 解得或． （4）， ， ， 解得． 26．（2023上·四川宜宾·八年级校联考期中）（1）若实数a、b满足，求的立方根． （2）已知实数x，y满足，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查算术平方根的非负性、平方根和立方根，关键是理解算术平方根的非负性． （1）利用算术平方根的非负性求得a、b值，再利用立方根定义求解即可； （2）先根据负数没有算术平方根求得x，进而求得y值，再利用平方根定义求解即可． 【详解】解：（1）∵实数a、b满足， ∴，， 解得，， ∴， ∵， ∴的立方根为； （2）由题意，且， ∴，则， ∴， ∵， ∴的平方根为． 27．（2023上·江苏扬州·八年级校考期中）已知一个正数的两个平方根分别是与，实数b的立方根是2，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根及立方根，根据平方根的性质及立方根的定义求得a，b的值，然后求得的值，进而求得其立方根． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， 解得：， ∵实数b的立方根是2， ∴， 则， 则的立方根为． 28．（2023上·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的算术平方根． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】（）根据立方根的概念和算术平方根的概念进行求解即可； （）先代值计算，再根据平方根的定义进行求解即可． 此题考查了立方根的定义，平方根和算术平方根的定义，熟记概念并求出、的值是解题的关键． 【详解】（1）由题意得：，，， ∴，，； （2）由（）得：，，， ∴， ∴的平方根是． 29．（2023上·河北保定·八年级定兴二中校考期中）若一个正数的两个不相等的平方根是和． (1)求这个正数； (2)求这个正数的立方根． 【答案】(1)100； (2) 【分析】（1）根据平方根的性质：“一个正数有两个平方根，它们互为相反数”，即和互为相反数，可得，求解x的值后即可得到这个正数； （2）根据立方根的定义可求得这个正数的立方根． 【详解】（1）∵一个正数的两个不相等的平方根是和， ∴， 解得：， ∴，， ∴这个正数为． （2）∵100的立方根是， ∴这个正数的立方根是． 30．（2023上·河北沧州·八年级校联考期中）（1）观察下列各式，并用所得到的规律解决问题： ①，则 ② 发现规律：①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向________移动________位； ②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向________移动________位； （2）应用：①已知________，________； ②已知，则________； （3）拓展：已知，计算和的值． 【答案】（1） ①右，1；②左，1；（2）①1.732，17.32 ；②；（3）， ． 【分析】本题考查算术平方根、立方根及规律探索问题，由题意总结出规律是解此题的关键． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动1位， 故答案为：右，1； ②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向左移动1位， 故答案为：左，1； （2）①根据总结的规律可得：，， 故答案为：1.732，17.32； ②根据总结的规律可得：， ， 故答案为：； （3）， ，． 【经典例题四 实数的混合运算】 31．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘方，实数的运算， 根据实数的运算法则求解即可． 【详解】 ． 32．（23-24七年级下·广东汕头·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．先化简算术平方根、幂的乘方和绝对值，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 33．（23-24七年级下·江西赣州·期末）（1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，掌握实数的绝对值、立方根的定义、根据方程组的特点灵活消元是解题的关键； （1）分别计算绝对值与立方根，再相加即可； （2）利用加减消元法解即可． 【详解】解：（1） ； （2） 得：， 解得：； 把代入①，得， 解得：； 故方程组的解为：． 34．（23-24七年级下·新疆克孜勒苏·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先去括号，再算加减； （2）先算开方、乘方，再算绝对值，然后算加减． 【详解】（1） （2） 35．（23-24七年级下·河北保定·期末）计算或求值： (1)计算： (2)已知，求的值． 【答案】(1)0； (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，立方根的性质： （1）利用绝对值的性质，算术平方根、立方根的定义分别化简，再合并即可求解； （2）利用立方根的性质，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ∴， 解得：． 36．（23-24七年级下·广东广州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算： （1）先利用分配律去括号，再根据实数的运算法则求解即可； （2）根据实数的运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 37．（23-24七年级下·广东湛江·期末）计算： (1)； (2)已知的算术平方根是5，的立方根是2，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的定义，熟记定义是解题关键． （1）先算乘方和开方，再算加减； （2）根据算术平方根和立方根的定义求出，的值即可． 【详解】（1）原式，     ． （2）∵的算术平方根是5， ∴，     ∴，     ∵的立方根是2， ∴，     ∴． 38．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是实数的混合运算，包括平方根，立方根，乘方，绝对值的运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先计算被开方数的减法运算，再求解算术平方根即可； （2）先计算乘方，求解立方根，算术平方根，再合并即可； （3）先化简绝对值，再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 39．（23-24七年级下·四川泸州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2)6 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根和绝对值，再计算加减即可； （2）先算乘方、绝对值、算术平方根和去括号，再计算加减即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 40．（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算， （1）根据，，，再根据有理数的加减法计算即可； （2）根据，，，，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【经典例题五 新定义的实数计算】 41．（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）对于任意实数，用“#”和“”定义新运算如下： (1)，如．已知计算的结果为19，求的值． (2)，如．已知计算的结果为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算： （1）根据题意可得方程，再根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据题意可得方程，再根据求立方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，得． ， ，则， ． （2）解：由题意，得． ， ，则， ， ． 42．（2024·河北石家庄·三模）刘谦的魔术表演风靡全国，嘉琪也学刘谦发明了一个魔术盒，当数对（a，b为有理数）进入其中时，会得到一个新的有理数：，例如把放入其中，就会得到． (1)把放入其中，求得到的新有理数． (2)若把放入其中，得到的新有理数为，则求n的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算： （1）直接根据新定义代值计算即可； （2）根据新定义可得，解方程即可． 【详解】（1）解：将代入，得 （2）解：将代入，得 ． 43．（2024·河北石家庄·二模）定义：a，b，m为实数，若，则称a与b是关于的对称数． (1)2与4是关于______的对称数，与______是关于3的对称数； (2)若，，且a与b是关于的对称数，试求出x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查新定义的实数运算， （1）运用对称数的定义进行解答即可； （2）运用对称数的定义列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴2与4是关于3的对称数； ， ∴与是关于3的对称数； （2）解：根据题意得， 解得，． 44．（2024·江苏扬州·二模）对于有序实数对，定义关于“”的一种运算如下：．例如． (1)求的值； (2)若，且，求+的值． 【答案】(1)1； (2) ． 【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组： （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义可得方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，，        ， 则有方程组，        解得，           ∴． 45．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）规定一种运算“※”：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)21 (2) 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算： （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，则，据此可得，解得． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 46．（23-24七年级下·贵州黔南·期中）阅读下面的定义新法则，计算下列问题 对于实数，我们定义的意义为，当时，，当时，，当时， 例如：， (1)求的值 (2)求的值 【答案】(1)2023 (2)0 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算． （1）根据当时，求解即可． （2）根据当时，求解即可． 【详解】（1）解：∵当时， ∴ （2）∵当时， ∴ 47．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）对于实数，，定义运算：． (1)求的值； (2)求的值； (3)若实数x满足：，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数新定义运算； （1）由，代入，即可； （2）先求，代入即可； （3）由，，即可得，解得即可． 【详解】（1）解：由， 得； （2）由， 得； （3）由， ， ， 得， 得． 48．（2024·河南郑州·二模）阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下：，显然99a+9b能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除． 应用材料解答下列问题： (1)设是一个三位数，直接写出满足什么条件时，它可以被5整除； (2)设是一个四位数，猜想满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由． 【答案】(1)或5时，能被5整除 (2)当能被4整除时，能被4整除 【分析】（1）把三位数化为，根据整除的性质得出结论； （2）把四位数化为，根据整除的性质得出结论． 本题考查了新定义下的实数运算：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．同时考查了数的整除性问题．注意四位数的表示方法与整体思想的应用． 【详解】（1）解：依题意， 能被5整除， 当能被5整除时，即或5时，能被5整除； （2）解：依题意，， 能被4整除， 当能被4整除时，能被4整除． 49．（23-24七年级上·福建厦门·期末）小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，．小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说；“你的理解完全正确．” (1)计算：①，②，③； (2)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 ，异号得 ，并 ； 绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (3)小东已经掌握了“乘减法”的运算法则，接下来，他想要继续研究“乘减法”的运算律，请你一起思考：交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立吗？若成立请说明你的理由，若不成立请举反例． 【答案】(1)①3；②；③1； (2)正，负，把绝对值相减； (3)成立，理由见解析 【详解】（1）解： （2）解：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并把绝对值相减；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正，负，把绝对值相减； （3）解：成立，理由如下： 当且a，b同号时，， ∴ 当且a，b异号时，，， ∴ 当时，， ∴ 当， ∴ 综上所述，交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立， ∴交换律在有理数的“乘减法”中成立． 50．（23-24七年级下·云南昆明·期中）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等． 共轭实数定义：把形如和（a， b有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． 在学习了第六章《实数》的内容后，数学兴趣小组设计了如下问题： (1)根据共轭实数定义我们可以判定：与 共轭实数；与 共轭实数（填“是”或“不是”）； (2)请你设计并写出一对共轭实数．它们是 与 ； (3)小明发现共轭实数和运算结果（如：和、差、积、商等）都有一定的规律．请你求共轭实数与的和与差． ①； ②． 【答案】(1)不是，是 (2)，（答案不唯一） (3)①10② 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握共轭实数的定义，是解题的关键． （1）根据共轭实数的定义，进行判断即可； （2）根据共轭实数的定义，写出一对共轭实数即可； （3）先去括号，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：与不是共轭实数；与是共轭实数； 故答案为：不是，是； （2）根据共轭实数的定义，写出一对共轭实数可以为：与； 故答案为：，（答案不唯一）； （3）①原式； ②原式． 【经典例题六 实数相关的规律探究题】 51．（2023春·河南新乡·七年级统考期中）根据下表回答下列问题： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 (1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数） (2) ， (3)338.56的平方根是 ． 【答案】(1)18.6,18.8 (2)18.7，1.89 (3) 【分析】（1）结合表格中数据可得，，即可求解； （2）先根据表中数据得出在18.6和18.7之间，再利用四舍五入求解即可，再根据算术平方根的定义求解即可； （3）根据平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵ ，，， ∴在18.7和18.8之间， 故答案为：18.7,18.8； （2）解：∵，， ∴在18.6和18.7之间， ∴， ∵， ∴， 故答案为：18.7，1.89； （3）解：∵, ∴338.56的平方根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义，正确利用平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 52．（2021春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考阶段练习）观察下列等式：①；②；③． (1)猜想：根据观察所发现的规律，猜想第4个等式为______，第9个等式为______． (2)归纳证明：由以上观察探究，归纳猜想，用含的式子表示第个等式所反映的规律为______． 【答案】(1)， (2)（n为正整数），见解析 【分析】（1）根据前3个等式反映的规律解答即可； （2）利用（1）的解答可得规律：，然后利用算术平方根的定义证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式为：； 第2个等式为； 第3个等式为：； 所以猜想第4个等式为：； ……， 第9个等式为：，即； 故答案为：，； （2）第个等式所反映的规律为：； 证明：∵n为正整数，； ∴（n为正整数）． 【点睛】本题考查了算术平方根的运算和规律问题，正确得出规律是解题关键． 53．（2023春·云南昆明·七年级云南师范大学实验中学校考期中）在我校科技节活动中爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： ．．． ．．． ．．． 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 ．．． (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大________倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值；________；________； (3)已知，，，则________，________； (4)小明思考如果把算术平方根换成立方根，若，，________，________． 【答案】(1)10 (2)； (3)； (4) 【分析】（1）根据表中的数据找出变化规律； （2）利用（1）中的规律进行求解； （3）利用（1）中的规律进行求解； （4）类比（1）的规律，求解即可． 【详解】（1）被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍， 故答案为：10； （2），， 故答案为：； （3），，， ，， 故答案为：； （4）由（1）的规律可知：被开方数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍， 若，， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用算术平方根的定义进行规律判断，通过已知的数据找出小数点移动的规律是解题的关键． 54．（2023春·安徽淮南·七年级校联考阶段练习）（1）计算： （2）求中的x的值． （3）到底有多大？下面是小芯探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且 设，画出如下示意图．    由面积公式，可得 因为x值很小，所以更小，略去，得方程 ， 解得 （保留到），即 ． 【答案】（1）；（2）或．（3）；；； 【分析】（1）先计算算术平方根，绝对值，再合并即可； （2）利用平方根的含义可得或，再解两个一次方程即可； （3）由，设， 由面积公式，可得因为x值很小，所以更小，略去，得方程，再解方程可得答案． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴或， 解得：或． （3）∵， 设，画出如下示意图．    由面积公式，可得 因为x值很小，所以更小，略去，得方程， 解得（保留到），即． 【点睛】本题考查的是实数的混合运算，利用平方根的含义解方程，无理数的估算，完全平方公式的应用，掌握以上基础运算是解本题的关键． 55．（2023春·福建厦门·七年级校考期中）已知一个三位自然数，若满足百位数等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数等于十位数和个位数的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数既是“和数”又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如，，是“和数”，，是“谐数”，是“和谐数”． (1)最小的和谐数是___________，最大的和谐数是___________． (2)观察下列各式：，，，， 请你用含字母的式子写出你所观察到的一般规律，并证明任意的“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数． (3)已知（，，且，均为整数），是一个“和数”求的值． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析； (3)或或 【分析】（1）根据“和数”和“谐数”的概念即可解答； （2）设“谐数”的百位数字为(，十位数字为,个位数字为即可解答； （3）先判断，，再利用“和数”的概念即可解答． 【详解】（1）解：∵这个数是三位数， ∴百位上为最小的自然数， ∵“和谐数”满足百位数等于十位数字与个位数字的和， ∴十位数字与个位数字为和， ∵“和谐数”满足百位数等于十位数和个位数的平方差， ∴十位数字为，个位数字为， ∴最小的“和谐数”为， 故答案为； ∵这个数是三位数， ∴百位上为最大的自然数， ∵“和谐数”满足百位数等于十位数字与个位数字的和， ∴十位数字与个位数字为和，和，和，和， ∵“和谐数”满足百位数等于十位数和个位数的平方差， ∴十位数字为，个位数字为， ∴最大的“和谐数”为， 故答案为； （2）解：设“谐数”的百位数字为(，十位数字为,个位数字为， ∴， ∴, ∵，是奇偶性相同， ∴，必然是一奇一偶， ∴必然是偶数， ∴任意的“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵为和数， ∴， 即， ∴或或， ∴或或． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，整式的运算，不等式的性质，理解题意、熟练掌握“和数”与“谐数”的概念是解题的关键． 56．（2023春·湖北咸宁·七年级统考期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ (2)①已知，则______； ②已知，则______； (3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，用含的代数式表示． 【答案】(1)数的小数点每移动两位它的算术平方根的小数点相应移动一位； (2)①0.447；②36800； (3)． 【分析】（1）应从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律； （2）根据规律即可得出答案； （3）先探讨被开方数与其立方根小数点移动规律，再根据规律解决此题． 【详解】（1）∵， ∴规律是：数a的小数点每每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位； （2）①∵， ∴； ②∵，， ∴． 故答案为：①0.447；②36800； （3）∵， ∴规律是：被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位； ∵， ∴． 【点睛】本题考查算术平方根、立方根，规律型：数字的变化类，熟练掌握算术平方根、立方根的变化规律是解决本题的关键． 57．（2023春·云南昭通·七年级统考阶段练习）先阅读理解，再回答下列问题： 因为，且，所以的整数部分为； 因为，且，所以的整数部分为； 因为，且，所以的整数部分为； (1)以此类推，我们会发现（为正整数）的整数部分为______，请说明理由． (2)已知的整数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）比较被开方数与所给数值的大小，可发现：；故的整数部分为． （2）先根据的整数部分为，得到，，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：整数部分是．理由： ∵为正整数， ∴， ∴， ∴， 即， ∴（为正整数）的整数部分为． （2）解：∵ ∴的整数部分为 ∴ ∵ ∴的整数部分为 ∴ ∴ 【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是找到相应的规律；并根据规律得出结论． 58．（2023春·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）观察表格，回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y z … (1)表格中　 　，　 　；　 　； (2)从表格中探究a与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则　 　； ②已知，若，用含m的代数式表示b，则b＝　 　； (3)试比较与a的大小． 当　 　时，；当　 　时，；当　 　时，． 【答案】(1)0.1；10；100 (2)①31.6；② (3)；或0； 【分析】（1）由表格得出规律，求出x，y和z的值即可； （2）根据得出的规律确定出所求即可； （3）根据表格中的数据，分类讨论a的范围，比较大小即可． 【详解】（1），，． 故答案为：0.1；10，100； （2）①∵， ∴． ②∵结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍， ∴． 故答案为：31.6；； （3）由表格中数据可知： 当时，； 当或0时，； 当时，， 故答案为：；或0；． 【点睛】此题考查了算术平方根的规律问题，弄清题中的规律是解本题的关键． 59．（2022秋·四川成都·七年级石室中学校考期中）观察算式：①；②； ③；④． 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第5个算式：　 　； (2)写出第n个算式：　 　； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意找出规律：等式左边第一个数为一系列正整数，第二个数比第一个数大2，再加上1，等式右边是左边积中两个因数和的一半的平方，从而可得答案； （2）根据（1）中的规律，写出第n个算式即可； （3）利用（1）中的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：第5个算式为：； （2）解：由题意得：第n个算式为： ； （3）解： ； 【点睛】题考查的是有理数的运算规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法，再总结规律并运用规律解题”是关键． 60．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）观察表格回答下列问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … x 1 y 100 … (1)表格中　 　，　 　． (2)从表格中探究a与数位之间的变化规律，并利用规律解决下面问题： ①已知，则　 　． ②已知，若，则a＝　 　． 【答案】(1)；10 (2)①；②25600 【分析】（1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，． 故答案为：；10． （2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 已知，则， 故答案为：； ②由①可得被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 已知，则， ∵， ∴． 故答案为：25600． 【点睛】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$