精品解析：河北省邯郸市经济技术开发区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末教学质量检测 七年级数学试卷 本试卷满分120分．分选择题、填空题、解答题三部分． 一、选择题（12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式从左到右的变形，是因式分解且正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则一定有，“”中应填的符号是( ) A B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 根据所给信息，请你求出每只玩具小猫和玩具小狗的价格（单位：元）分别为（ ） A. 20，10 B. 15，20 C. 10，30 D. 8，26 5. 一个正整数将其用科学记数法表示为，则下列说法正确的是（ ） A. 这个正整数是一个8位数 B. 这个正整数是一个9位数 C. 这个正整数一定有8个0 D. 这个正整数一定有9个0 6. 如图，，交于点，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 用简便方法计算时，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的值为( ) A. 12 B. 6 C. 3 D. 0 9. 某商店分别购进价格为每千克a元的甲种糖果和价格为每千克b元的乙种糖果，若该商店以每千克元的价格将两种糖果全部卖完，为保证盈利，a与b应满足的关系是（ ） A. a>b B. a<b C. a≤b D. a≥b 10. 如图，已知，，，平分交于点G，则下列结论：①；②；③；④与相等的角有2个，正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 11. 如图，将直角沿方向平移得到直角，已知，则阴影部分的面积为（ ） A 36 B. 37 C. 38 D. 39 12. 不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（　　） A. m≥1 B. m≤1 C. m≥0 D. m≤0 二、填空题（四个小题，每题3分，共12分） 13. 若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为______． 14. 如图，两个正方形的边长分别为和，已知，，那么阴影部分的面积是________． 15. 如图，已知是的中线，点是边上一动点，若的面积为10，，则的最小值为_______ 16. 若的三边长分别为5、3、k，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为______． 三、解答题（8道题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 因式分解： （1） （2） 18 课堂上老师布置了一道题目：解方程组． （1）小组讨论时，发现有同学这么做： 解：①＋②，得．解得． 把代入①，… 该同学解这个方程组的过程中使用了______消元法，目的是把二元一次方程组转化为______． （2）请用另一种消元的方法解这个方程组． 19. 如图在中，分别是边上的中线和高，，，的长为奇数，求的长和的长． 20. 解不等式（组）： （1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：． 21. 如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段，上的点，连接交于点G，连接交于点H．已知，． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 22 计算求值： （1）计算：； （2）已知，，求的值． （3）已知，，且的值与的取值无关，求的值． 23. 小明分三次和家人、朋友一起参观某科技馆，只有一次恰逢科技馆成人票和学生票都打折，其余两次均按标准票价购买门票（无任何优惠）．三次参观科技馆时，购买成人票和学生票的数量和费用如表所示： 购买门票的数量（张 购买总费用（元 成人票 学生票 第一次购物 5 2 380 第二次购物 3 4 340 第三次购物 7 5 310 （1）小明以折扣价购买门票是第　　次参观； （2）求出每张成人票和每张学生票的标准票价； （3）如果成人票和学生票折扣相同，问：当购买成人票和学生票共15张，并且享受同样的折扣，购票总费用不超过320元时，有几种购票方案？（要求必需购买成人票） 24. 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，猜想与之间存在怎样的数量关系？并说明你的猜想． （2）探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． （3）探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末教学质量检测 七年级数学试卷 本试卷满分120分．分选择题、填空题、解答题三部分． 一、选择题（12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式从左到右的变形，是因式分解且正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握将多项式化为几个整式的乘积，是因式分解；据此逐个判断即可． 【详解】解：A、从左到右的变形是整式的乘法，不符合题意； B、，从左到右的变形不是因式分解，不符合题意； C、，故C不是因式分解，不符合题意； D、，从左到右的变形是因式分解，符合题意； 故选：D． 2. 已知，则一定有，“”中应填的符号是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质，不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向改变即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的运算的计算法则，即可求出答案． 详解】A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是掌握幂的运算的相关计算法则． 4. 根据所给信息，请你求出每只玩具小猫和玩具小狗的价格（单位：元）分别为（ ） A. 20，10 B. 15，20 C. 10，30 D. 8，26 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，确定相等关系是解本题的关键，根据题意可知，本题中的相等关系是“1猫+2狗=70元”和“2猫+1狗=50”，列方程组求解即可． 【详解】解：设每只小猫为x元，每只小狗为y元， 由题意得． 解之得． 答：每只小猫为10元，每只小狗为30元． 故选C 5. 一个正整数将其用科学记数法表示为，则下列说法正确的是（ ） A. 这个正整数是一个8位数 B. 这个正整数是一个9位数 C. 这个正整数一定有8个0 D. 这个正整数一定有9个0 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法：一个绝对值大于10的数表示为的形式（其中，，为正整数，且等于原数的整数位数减去1），据此可知表示的原数的位数． 【详解】解：一个正整数将其用科学记数法表示为， 这个正整数是一个9位数； 故选：B． 【点睛】此题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的概念是解答此题的关键． 6. 如图，，交于点，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形内角和可求得，利用两直线平行，同位角相等可知，即可求得答案． 【详解】解：，且， 又 故选：D． 7. 用简便方法计算时，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，把原式化为，从而可得答案． 【详解】解：， 故选B 8. 若，则的值为( ) A. 12 B. 6 C. 3 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据完全平方公式因式分解，将整体代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 9. 某商店分别购进价格为每千克a元的甲种糖果和价格为每千克b元的乙种糖果，若该商店以每千克元的价格将两种糖果全部卖完，为保证盈利，a与b应满足的关系是（ ） A. a>b B. a<b C. a≤b D. a≥b 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式应用，根据题目要求列出不等式是求解的关键．要保证盈利，即售价必须大于进价，进价为，售价为，列出不等式，求解即可． 【详解】解：根据题意有： ， ， ， ， 故选：A． 10. 如图，已知，，，平分交于点G，则下列结论：①；②；③；④与相等的角有2个，正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．利用平行线的判定和性质结合角平分线的定义即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，①正确； ∵平分， ∴， ∴，②正确； ∵， ∴， ∴，③不正确； ∵， ∴与相等的角有4个，④不正确； 综上，正确的是①②，共2个， 故选：C． 11. 如图，将直角沿方向平移得到直角，已知，则阴影部分的面积为（ ） A. 36 B. 37 C. 38 D. 39 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等．根据平移的性质可得，，则阴影部分的面积=梯形的面积，再根据梯形的面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵沿的方向平移距离得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 12. 不等式组解集是x＞1，则m的取值范围是（　　） A. m≥1 B. m≤1 C. m≥0 D. m≤0 【答案】D 【解析】 【分析】表示出不等式组中两不等式的解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可． 【详解】解：不等式整理得：，由不等式组的解集为x＞1，得到m+1≤1，解得：m≤0. 故选D. 【点睛】本题考查了不等式组的解集的确定. 二、填空题（四个小题，每题3分，共12分） 13. 若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和二元一次方程的解的应用，将方程组的解代入方程是解题的关键．先解方程组，用含k的式子表示方程组的解，然后将方程组的解代入二元一次方程即可得出结论． 【详解】解：解方程组 得 ∴ 把代入，得出 即得：， 将代入中得：， 解得：， 故答案为：2． 14. 如图，两个正方形的边长分别为和，已知，，那么阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】阴影部分的面积就是两个三角形的面积之和，用、的代数式表示后，整体代入，即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，灵活完全平方公式的变形是关键． 15. 如图，已知是的中线，点是边上一动点，若的面积为10，，则的最小值为_______ 【答案】2.5#### 【解析】 【分析】先利用中线求三角形ACM的面积，再求AC边上的高，根据垂线段最短得到答案． 【详解】解：∵AM是△ABC的中线， ∴==5， ∴点M到AC的距离为：÷4=2.5， 根据垂线段最短， 则MP的最小值2.5． 故答案为：2.5． 【点睛】本题考查了三角形的面积，结合面积公式和中线特点是解题的关键． 16. 若的三边长分别为5、3、k，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为______． 【答案】18 【解析】 【分析】根据三角形三边关系可得，再解一元一次方程求得，可得，从而可得，即可确定k的取值范围，再根据k为整数，可得k的值，再进行求和即可． 【详解】解：∵的三边长分别为5、3、k， ∴， ， 解得， ∵方程的解为非正数， ∴， 解得， 综上所述，， 又∵k为整数， ∴k的值为5、6、7， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题考查三角形的三边关系、解一元一次方程、解一元一次不等式，熟练掌握三角形的三边关系、解一元一次方程求得k的取值范围是解题的关键． 三、解答题（8道题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法与步骤是解本题的关键； （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 课堂上老师布置了一道题目：解方程组． （1）小组讨论时，发现有同学这么做： 解：①＋②，得．解得． 把代入①，… 该同学解这个方程组的过程中使用了______消元法，目的是把二元一次方程组转化为______． （2）请用另一种消元的方法解这个方程组． 【答案】（1）加减；一元一次方程 （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组， （1）根据加减消元法的定义即可求解； （2）利用代入消元法求解即可； 解题的关键是理解二元一次方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法；当二元一次方程组的两个方程中有一个未知数的系数互为相反数或相等时（如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数互为相反数或相等），把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法． 【小问1详解】 解：该同学解这个方程组的过程中使用了加减消元法，目的是把二元一次方程组转化为一元一次方程， 故答案为：加减；一元一次方程； 【小问2详解】 解：由①变形，得：③， 把③代入②，得：， 解得：， 把代入③，得：， ∴原方程组的解为：． 19. 如图在中，分别是边上的中线和高，，，的长为奇数，求的长和的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形面积计算，构成三角形的条件，先由三角形中线平分三角形面积得到，进而根据三角形面积计算公式得到，再由构成三角形的条件即可求出的长． 【详解】解：∵在中，中线，， ∴， ∵是高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的长为奇数且， ∴． 20. 解不等式（组）： （1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：． 【答案】（1）；图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查求不等式和不等式组的解集，并在数轴上表示出解集： （1）去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，进而在数轴上表示出解集即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴； 数轴表示如图： 【小问2详解】 ， 由①，得：， 由②，得：， 故不等式组的解集为：． 21. 如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段，上的点，连接交于点G，连接交于点H．已知，． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行即可证得结论； （2）根据对顶角相等结合已知得出，证得，根据平行线的性质和已知得出，最后根据平行线的性质即可求得． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【小问1详解】 证明：， 而，， ， ； 【小问2详解】 解：， 而， ， ， ， 而， ， ， ， ， ， ， ． 22. 计算求值： （1）计算：； （2）已知，，求的值． （3）已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算，同底数幂乘法公式逆用，幂的乘方公式逆用，整式加减中的无关型问题，熟练掌握各运算法则是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂和零指数幂，再计算加减即可； （2）先根据，计算得，，再把原式化简为计算即可； （3）先计算出，根据的值与的取值无关可推出，即可得到值． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：， ， 【小问3详解】 解：， ， 的值与的取值无关 解得： 的值为． 23. 小明分三次和家人、朋友一起参观某科技馆，只有一次恰逢科技馆成人票和学生票都打折，其余两次均按标准票价购买门票（无任何优惠）．三次参观科技馆时，购买成人票和学生票的数量和费用如表所示： 购买门票的数量（张 购买总费用（元 成人票 学生票 第一次购物 5 2 380 第二次购物 3 4 340 第三次购物 7 5 310 （1）小明以折扣价购买门票是第　　次参观； （2）求出每张成人票和每张学生票的标准票价； （3）如果成人票和学生票的折扣相同，问：当购买成人票和学生票共15张，并且享受同样的折扣，购票总费用不超过320元时，有几种购票方案？（要求必需购买成人票） 【答案】（1）三 （2）每张成人票的标准票价为60元，每张学生票的标准票价为40元 （3）有2种购票方案：①购买成人票1张，购买学生票14张；②购买成人票2张，则购买学生票13张 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）由表中数据即可得出结论； （2）设每张成人票的标准票价为元，每张学生票的标准票价为元，由表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）设每张成人票和学生票都打折，由购买成人票和学生票共15张，结合表中数据列出一元一次方程，解得，再设购买成人票张，则购买学生票张，由题意：购票总费用不超过320元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：由题意得：小明以折扣价购买门票是第三次参观， 故答案为：三； 【小问2详解】 解：设每张成人票的标准票价为元，每张学生票的标准票价为元， 由题意得：， 解得：， 答：每张成人票的标准票价为60元，每张学生票的标准票价为40元； 【小问3详解】 解：设每张成人票和学生票都打折， 由题意得：， 解得：， 即每张成人票和学生票都打5折， 设购买成人票张，则购买学生票张， 由题意得：， 解得：， 必需购买成人票， 或2， 有2种购票方案：①购买成人票1张，购买学生票14张；②购买成人票2张，则购买学生票13张． 24. 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，猜想与之间存在怎样的数量关系？并说明你的猜想． （2）探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． （3）探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据角平分线的定义，可得，，再根据三角形内角和定理，即可求解； （2）先由角平分线得出，再由三角形的外角的性质得出，再根据三角形外角的性质，即可得出结论； （3）首先根据三角形的外角性质，得，再根据角平分线的定义，可得，再根据三角形内角和定理，即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵和分别是与的角平分线 ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ = ； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵和分别是与外角的角平分线， ∴， 又∵是的一外角， ∴， ∴， ∵是的一外角， ∴； 【小问3详解】 解：结论． 根据三角形的外角性质，得， ∵O是外角与外角的平分线和的交点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴在中， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用三角形的外角的性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$