精品解析：山东省青岛市即墨区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024 学年度第二学期期末诊断性测试 八年级数学试题 (考试时间: 120分钟 满分: 120分) 友情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 本试题共25道题.第1—10题为选择题，共30分； 第11—16题为填空题，共18分；第17—25题为解答题，共72分.要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效. 第Ⅰ卷(共30分) 一、选择题(本题满分30分，共有10道小题，每小题3分) 下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 下列图形中，成中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若a＜b，则下列变形正确的是（　　） A. 2a＜3b B. C. a﹣3＜b﹣3 D. 3﹣a＜3﹣b 3. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 5. 已知关于x的不等式组无解，那么m的取值范围为（ ） A. m≤3 B. m＞3 C. m＜3 D. m≥3 6. 如图，中，，，点E是中点，若平分，线段的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如果关于x的分式方程有增根，那么m的值为（ ） A B. 2 C. 4 D. 8. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且，若，则BD的长为（　　） A. 8 B. C. D. 9. 如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 第II卷 （共 90分） 二、填空题(本题满分18分，共有6道小题，每小题3分) 11. 若分式的值为0，则的值为______． 12. 分解因式： ______． 13. 用三块正多边形的木板铺地，拼在一起的三块正多边形木板顶点重合，且各边完全吻合，其中两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数是_________． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心、适当长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=4，AC=16，则△ACD的面积是______． 15. 如图，已知，直线与x轴夹角为，将直线绕点A顺时针旋转得到直线，直线与x轴交于B，与y轴交于C，则_____. 16. 如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，，H是边的中点，连接与相交于点G，下列结论正确的有______． ①；②；③；④ 三、解答题(本题满分72分) 17. 如图，在中，，．请用尺规作图法，在内部求作一点，使，且点到，边距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 18. （1）解不等式组； （2）解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在中，，是边上的中线，作的垂直平分线交于，交于． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求线段的长． 21. 为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克. （1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ （2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 22. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝3，BC＝5，连接BD，∠BAD的平分线分别交BD、BC于点E、F，且AE∥CD （1）求AD的长； （2）若∠C＝30°，求CD的长． 23. 小明在观看年世界泳联世锦赛后对游泳产生了浓厚的兴趣，计划在假期练习游泳．体育中心的室内游泳馆为前来游泳的市民提供会员卡支付和按次支付两种支付方式．如图表示会员卡支付应付金额（元），按次支付应付金额（元）与游泳次数x（次）之间的函数关系，根据图象回答下列问题： （1）分别求、关于x的函数关系式； （2）小明用于游泳的预算为元，若小明用会员卡支付最多可以游多少次？ （3）若小明假期想在游泳馆练习游泳，请你帮他分析选择哪种支付方式更合算？ 24 直线与x轴交于A，与y轴交于B，直线与y轴交于直线交于D，过D作轴于． （1）点A坐标为______；点D坐标为______． （2）求直线的函数关系式． （3）P是线段上一动点，点P从原点O开始，每秒1个单位长度速度向A运动（P与O、A不重合），过P作x轴的垂线，分别与直线、交于M、N，设四边形的面积为S，P点运动的时间为t，求出S与t之间的函数关系式． （4）在（3）的条件下，当______时，以M、N、E、D为顶点的四边形是平行四边形． 25. 综合与实践 【问题情境】 为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中，，． 【探究实践】 老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交，于点M，G．老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时， 则四边形是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由． （2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点”，请你判断小明的结论是否正确，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024 学年度第二学期期末诊断性测试 八年级数学试题 (考试时间: 120分钟 满分: 120分) 友情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 本试题共25道题.第1—10题为选择题，共30分； 第11—16题为填空题，共18分；第17—25题为解答题，共72分.要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效. 第Ⅰ卷(共30分) 一、选择题(本题满分30分，共有10道小题，每小题3分) 下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 下列图形中，成中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 若a＜b，则下列变形正确的是（　　） A. 2a＜3b B. C. a﹣3＜b﹣3 D. 3﹣a＜3﹣b 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】A、在不等式a＜b的两边同时乘以2，不等号的方向不变，即2a＜2b，原变形错误，故此选项不符合题意． B、在不等式a＜b的两边同时除以3，不等号的方向不变，即，原变形错误，故此选项不符合题意． C、在不等式a＜b的两边同时减去3，不等号的方向不变，即a﹣3＜b﹣3，原变形正确，故此选项符合题意． D、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣1，再加上3，不等号的方向改变，即3﹣a＞3﹣b，原变形错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 3. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解的定义对各选项判断作答即可． 【详解】解：A中，不属于因式分解，故不符合要求； B中，不属于因式分解，故不符合要求； C中，不属于因式分解，故不符合要求； D中，属于因式分解，故符合要求； 故选：D． 4. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 5. 已知关于x的不等式组无解，那么m的取值范围为（ ） A. m≤3 B. m＞3 C. m＜3 D. m≥3 【答案】A 【解析】 【分析】先按照一般步骤进行求解，因为大大小小无解，那么根据所解出的x的解集，将得到一个新的关于m不等式，解答即可． 详解】解：解不等式3x-1＜4（x-1），得：x＞3， ∵不等式组无解， ∴m≤3， 故选：A． 【点睛】主要考查了已知一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，同样也是利用口诀求解，注意：当符号方向不同，数字相同时（如：x＞a，x＜a），没有交集也是无解但是要注意当两数相等时，在解题过程中不要漏掉相等这个关系．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 6. 如图，中，，，点E是的中点，若平分，线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键．延长交于，利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出并判断出是的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：如图，延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 又点为的中点， 是的中位线， ． 故选：B． 7. 如果关于x的分式方程有增根，那么m的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-2=0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可解答． 【详解】解：， 去分母得： ， 即 ， ∵关于x的分式方程有增根， ∴ ，即 ， ∴ ， 解得： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是熟练掌握增根问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为0确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 8. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且，若，则BD的长为（　　） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出，，由，根据勾股定理求出OB，即可得出BD的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出OB是解题的关键． 9. 如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质、求阴影部分的面积等知识，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键．由平移的性质可知，，，进而得出，最后根据面积公式得出答案即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式．数形结合是解题的关键． 将代入，计算求解可得，由题意知，不等式的解集为一次函数图象在正比例函数图象上方，且均在轴正半轴部分图象所对应的的取值范围，数形结合求解作答即可． 【详解】将代入得，， 解得，， ∴， 由题意知，不等式的解集为一次函数图象在正比例函数图象上方，且均在轴正半轴部分图象所对应的的取值范围， 由图象可知，解集为， 故选：C． 第II卷 （共 90分） 二、填空题(本题满分18分，共有6道小题，每小题3分) 11. 若分式的值为0，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据分子为零且分母不为零可得答案． 【详解】解：分式的值为0， 且． 解，得， 解，得， ， 故答案为：． 12. 分解因式： ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 利用综合提公因式和公式法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 用三块正多边形的木板铺地，拼在一起的三块正多边形木板顶点重合，且各边完全吻合，其中两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数是_________． 【答案】12 【解析】 【分析】先求出正四边形和正六边形每个内角的度数，然后根据平面镶嵌的条件求解第三块正多边形的每个内角度数，然后再结合外角和公式进行计算求解． 【详解】解：正四边形每个内角度数为360°÷4=90°， 正六边形每个内角度数为180°-360°÷6=120°， ∴第三块正多边形的每个内角度数为360°-90°-120°=150°， ∴第三块正多边形的边数为360°÷（180°-150°）=12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心、适当长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=4，AC=16，则△ACD的面积是______． 【答案】32 【解析】 【分析】过点D作DQ⊥AC，由作法可知CP是角平分线，根据角平分线的性质知DB=DQ=3，再由三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q， 由作图知CP是∠ACB的平分线， ∵∠B=90°，BD=4， ∴DB=DQ=4， ∵AC=16， ∴S△ACD=•AC•DQ=， 故答案为32． 【点睛】本题主要考查作图-基本作图，三角形面积，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质． 15. 如图，已知，直线与x轴夹角为，将直线绕点A顺时针旋转得到直线，直线与x轴交于B，与y轴交于C，则_____. 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中图形的旋转，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据旋转的性质及等腰三角形的判定得到，再根据直角三角形的性质得到，所以进一步推得，最后由三角形的中线得到两三角形面积的关系． 【详解】由题意得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：1． 16. 如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，，H是边的中点，连接与相交于点G，下列结论正确的有______． ①；②；③；④ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、角平分线的性质，根据已知得是等腰直角三角形，再根据平分，进而可得，根据则可判断①；利用得，进而可得，则可判断②；根据角平分线的性质及可得，进而可得，则可得，再由等腰三角形的性质可得，则可判断③；则可得不平行于，根据可得，进而可得，则可判断④，仔细分析图形并掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， ， 平分， ， ，故①正确； ，， ， ， 在和中， ， ， ，故②正确； 平分，， ，， ∴在与中， ， ， ， ， ∵是等腰直角三角形，H是边的中点， ，故③正确； 不平行于， ， ， ，故④错误； 则正确的是①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题(本题满分72分) 17. 如图，在中，，．请用尺规作图法，在内部求作一点，使，且点到，边距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析， 【解析】 【分析】本题考查的是过一点作已知直线的垂线，作角平分线，先过A作的垂线，再作的角平分线，两线的交点即为所求作的点． 【详解】解：如图，点即为所求， 理由： ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴到，边的距离相等． 18. （1）解不等式组； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程．熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键． （1）先分别求两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集； （2）先去分母将分式方程化成整式方程，求整式方程的解，最后进行检验即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得，； ， ， ， 解得，； ∴不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】, 【解析】 【分析】首先根据分式的加减法法则将括号里面的分式进行计算，然后将除法转化成乘法进行约分化简，最后将的值代入化简后的式子进行计算． 【详解】 ， 当时， 原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及二次根式的加减运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 20. 如图，在中，，是边上的中线，作的垂直平分线交于，交于． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、含角的直角三角形的性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质进行解答即可． 【小问1详解】 证明：， ， 是边上的中线， ，， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形； 【小问2详解】 解：等边三角形， ， ， ， ， ， ． 21. 为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克. （1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ （2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克； （2）水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元． 【解析】 【分析】（1）设乙种水果的进价是x元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答案； （2）设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，根据利润＝（售价－进价）×数量列出y关于a的一次函数解析式，求出a的取值范围，然后利用一次函数的性质解答． 【小问1详解】 解：设乙种水果的进价是x元/千克， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 则， 答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克； 【小问2详解】 解：设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克， 由题意得：， ∵－1＜0， ∴y随a的增大而减小， ∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍， ∴， 解得：， ∴当时，y取最大值，此时，， 答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键． 22. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝3，BC＝5，连接BD，∠BAD的平分线分别交BD、BC于点E、F，且AE∥CD （1）求AD的长； （2）若∠C＝30°，求CD的长． 【答案】(1) 2；(2) 【解析】 【详解】分析：(1)根据等角对等边即可证得BF=AB,然后根据FC=BC-BF即可求解;(2)过B作AF的垂线BG,垂足为H. 由(1)得：四边形AFCD为平行四边形且AB=BF=3,在RT△BHF中求得BH的长,利用勾股定理即可求解. 详解：(1)AD∥BC,AE∥CD, ∴四边形AFCD是平行四边形 ∴AD=CF ∵AF平分∠BAD ∴∠BAF=∠DAF ∵AD∥BC ∴∠DAF=∠AFB ∴∠BAF=∠AFB ∴AB=BF ∵AB=3，BC=5 ∴BF=3 ∴FC=5-3=2 ∴AD=2. (2)如图， 过点B作BH⊥AF交AF于H 由(1)得：四边形AFCD为平行四边形且AB=BF=3， ∴AF=CD，AF∥CD ∴FH=AH，∠AFB=∠C ∵∠C=30° ∴∠HFB=30° ∴BF=2BH ∵BF=3 ∴BH= ∴FH=, ∴AF=2×=3 ∴CD=3. 点睛：本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理的应用，解本题的关键是正确的作出辅助线. 23. 小明在观看年世界泳联世锦赛后对游泳产生了浓厚的兴趣，计划在假期练习游泳．体育中心的室内游泳馆为前来游泳的市民提供会员卡支付和按次支付两种支付方式．如图表示会员卡支付应付金额（元），按次支付应付金额（元）与游泳次数x（次）之间的函数关系，根据图象回答下列问题： （1）分别求、关于x的函数关系式； （2）小明用于游泳的预算为元，若小明用会员卡支付最多可以游多少次？ （3）若小明假期想在游泳馆练习游泳，请你帮他分析选择哪种支付方式更合算？ 【答案】（1）， （2）次 （3）当时，按次支付更合算；当时，两种支付相同；当时，会员卡支付更合算 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次不等式的应用，熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）待定系数法求、的解析式即可； （2）依题意得，，计算求解，然后作答即可； （3）当时，， 可求；当时，，可求；当时，，可求；然后作答即可． 【小问1详解】 解：设的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴； 同理，； ∴，； 【小问2详解】 解：依题意得，， 解得，， ∴小明用会员卡支付最多可以游次； 【小问3详解】 解：当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 当时，， 解得，； ∴当时，按次支付更合算；当时，两种支付相同；当时，会员卡支付更合算． 24. 直线与x轴交于A，与y轴交于B，直线与y轴交于直线交于D，过D作轴于． （1）点A坐标为______；点D坐标为______． （2）求直线的函数关系式． （3）P是线段上一动点，点P从原点O开始，每秒1个单位长度的速度向A运动（P与O、A不重合），过P作x轴的垂线，分别与直线、交于M、N，设四边形的面积为S，P点运动的时间为t，求出S与t之间的函数关系式． （4）在（3）的条件下，当______时，以M、N、E、D为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】（1）， （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）当时，，可求，即；当时，，即； （2）待定系数法求解析式即可； （3）由题意知，，则，，，当时，，， 由，可得；当时，如图1，，，由，可得；然后作答即可； （4）由以M、N、E、D为顶点的四边形是平行四边形，，可得，由题意知，，即，计算求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， 解得，， ∴； 当时，，即， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设直线的函数表达式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由题意知，，则，，， 当时，，， ∵， ∴； 当时，如图1，，， ∴， ∴； 综上所述，； 【小问4详解】 解：∵以M、N、E、D为顶点的四边形是平行四边形，， ∴， 由题意知，， ∴， 解得，或； 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，坐标与图形，平行四边形的判定与性质，函数表达式等知识．熟练掌握一次函数解析式，坐标与图形，平行四边形的判定与性质，函数表达式是解题的关键． 25. 综合与实践 问题情境】 为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中，，． 【探究实践】 老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交，于点M，G．老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时， 则四边形是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由． （2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点”，请你判断小明的结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1）正确，见解析 （2）正确，见解析 【解析】 【分析】（1）由翻折的性质可得，，则，可证，进而结论得证； （2）由题意知，，由翻折的性质可得，，，，证明，则，由，可得，由，可得，则，进而解得得证． 【小问1详解】 解：正确，理由如下； 由翻折的性质可得，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：正确，理由如下； 由题意知，， ∵，， ∴， 由翻折的性质可得，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴N是的中点． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行四边形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，平行四边形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $