精品解析：广西桂林市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题

桂林市2023～2024学年度下学期期末质量检测 高一年级数学 （考试用时120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、学号和准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡的“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 把弧度化成角度是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知平面，和直线，，且，，，则与的位置关系是（ ） A. 平行或异面 B. 平行 C. 异面 D. 相交 5. 已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. “桂林山水甲天下”，如图，为测量桂林市某公园内一山的高，选择公园内某点和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得的仰角，点的仰角以及，从点测得，已知山高，则山高（ ）． A. B. C. D. 8. 已知圆心角为的扇形的半径为1，点是上的一点，点是线段上的一点，点、是线段上的两点，且四边形为矩形，则该矩形的最大面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 在复平面内，对应的点关于虚轴对称 10. 函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 将函数图象上所有点的横坐标向右平移个单位（纵坐标不变）得到的函数图象关于轴对称 11. 如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，水是定量的（定体积为）．固定容器底面一边于地面上，，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是（ ） A. 水面所在四边形的面积为定值 B. 没有水的部分始终呈棱柱形 C. 棱一定与平面平行 D. 当容器倾斜如图所示时，（定值） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算_________（其中为虚数单位）． 13. 在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为_________． 14. 已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知向量，. （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若向量与互相垂直，求的值. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的最大值以及取得最大值时的集合． （3）求的单调递减区间． 17. 已知正方体的棱长为2． （1）证明：． （2）求三棱锥的体积． 18. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积． 19. 如图，已知直线，是，之间的一点，且于点，于点，，（，为常数），点、分别为直线、上的动点，且，设. （1）若，求的面积； （2）当恰好中点时，求的周长的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桂林市2023～2024学年度下学期期末质量检测 高一年级数学 （考试用时120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、学号和准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡的“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由坐标判断象限即可. 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为，在第二象限. 故选：B 2. 把弧度化成角度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用弧度制与角度制的转化可得解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将向量坐标代入等式，列出方程，求解即得. 【详解】由可得，解得，. 故选：B. 4. 已知平面，和直线，，且，，，则与的位置关系是（ ） A. 平行或异面 B. 平行 C. 异面 D. 相交 【答案】A 【解析】 【分析】结合两平面平行的位置关系，判断两直线没有公共点即得. 【详解】因，，，则与没有公共点，即与平行或异面. 故选：A. 5. 已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用同角三角函数关系计算求解即可. 【详解】因为为第二象限角,又因为, 所以. 故选：C. 6. 已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得球的半径，再由球的表面积公式，即可得到结果. 【详解】设球的半径为，则，解得， 所以球的表面积为， 故选：A. 7. “桂林山水甲天下”，如图，为测量桂林市某公园内一山的高，选择公园内某点和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得的仰角，点的仰角以及，从点测得，已知山高，则山高（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由条件求得长，再利用正弦定理求得长，最后在中求得. 【详解】在中，由可得； 在中，由正弦定理，,即得， 在中，,则. 故选：B. 8. 已知圆心角为的扇形的半径为1，点是上的一点，点是线段上的一点，点、是线段上的两点，且四边形为矩形，则该矩形的最大面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，设，将，用的三角函数式表示，利用三角恒等变换将矩形面积化成，利用的范围，结合正弦函数的图象特点即可求得其最大值. 【详解】如图，设，则，， 由正弦定理，，解得， 故矩形的面积为： ， 因，则得， 故当时，即时，. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 在复平面内，对应的点关于虚轴对称 【答案】AB 【解析】 【分析】分别应用共轭复数、复数的模、复数的除法法则和复数的几何意义进行求解. 【详解】对于选项A，，故选项A正确； 对于选项B，，，所以，故选项B正确； 对于选项C，，故选项C错误； 对于选项D，在复平面内对应的点为，对应的点为，点关于实轴对称，故选项D错误. 故选：AB. 10. 函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 将函数图象上所有点的横坐标向右平移个单位（纵坐标不变）得到的函数图象关于轴对称 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由图易得；对于B，利用周期公式即可求得；对于C，代入特殊点计算即得；对于D，利用平移变换求得函数式，再利用函数奇偶性即可判定. 【详解】对于A，因，由图知，故A正确； 对于B，设函数的最小正周期为,由图知,解得,则，解得，故B错误； 对于C，由图知函数图象经过点，则得，解得，因，故得，故C正确； 对于D，将函数图象上所有点的横坐标向右平移个单位（纵坐标不变）得到函数为: ，不是偶函数，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，水是定量的（定体积为）．固定容器底面一边于地面上，，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是（ ） A. 水面所在四边形的面积为定值 B. 没有水的部分始终呈棱柱形 C. 棱一定与平面平行 D. 当容器倾斜如图所示时，（定值） 【答案】BCD 【解析】 【分析】画出随着倾斜度得到的图形，根据线面平行的性质及棱柱的定义判断A，B，C，再根据柱体的体积公式判断D. 【详解】依题意将容器倾斜，随着倾斜度的不同可得如下三种情形， 对于A：水面是矩形，线段的长一定，从图1到图2，再到图3的过程中，线段长逐渐增大， 则水面所在四边形的面积逐渐增大，故A错误； 对于B：依题意，水面，而平面平面，平面，则， 同理，而，，又平面，平面平面， 因此有水的部分的几何体是直棱柱，长方体去掉有水部分的棱柱，没有水的部分始终呈棱柱形，故B正确； 对于C：因为，平面，平面，因此平面， 即棱一定与平面平行，故C正确； 对于D ：当容器倾斜如图3所示时，有水部分的几何体是直三棱柱，其高为，体积为， 又，，所以，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算_________（其中为虚数单位）． 【答案】## 【解析】 【分析】把复数应用乘法化简即可. 【详解】. 故答案为： 13. 在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用平移得到异面直线所成角，借助于直角三角形求解即得. 【详解】 在正方体中，因, 故直线与所成角即直线与所成角，即. 设正方体棱长为2，因为的中点，则，于是, 即直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 14. 已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题意结合平面向量基本定理可得，设，且，整理可得，进而可得结果. 【详解】设，即， 可得， 因为， 即， 整理可得，且不共线， 则，解得， 即，， 又因为点在内（不含边界），设，且， 可得， 则， 可得，可得， 且，可得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：1.设，根据题意结合平面向量基本定理可得； 2.根据三角形可设，且，用表示，即可得结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知向量，. （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若向量与互相垂直，求的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的数量积即可求得结果. （2）利用两向量垂直的条件即可求得结果. 【小问1详解】 由，， 所以， ，， 设向量与的夹角为，则. 【小问2详解】 若向量与互相垂直， 则， 所以. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的最大值以及取得最大值时的集合． （3）求的单调递减区间． 【答案】（1）； （2）最大值为3，； （3），. 【解析】 【分析】（1）利用周期公式计算即得； （2）将看成整体角，结合余弦函数的图象，即可求得； （3）将看成整体角，结合余弦函数的递减区间，计算即得. 【小问1详解】 ，故的最小正周期为； 【小问2详解】 当，时，即，时， ，得，即最大值为3． 则的最大值为，取得最大值时的集合为； 【小问3详解】 由，得， 所以函数的单调递减区间是，. 17. 已知正方体的棱长为2． （1）证明：． （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：在正方体中，， 平面，平面，． 又，、平面，平面． 又平面，． （2） 【解析】 【分析】（1）先证平面，则可得； （2）利用等体积转化即可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在正方体中，平面， . 18. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理边化角，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为， 所以根据正弦定理得， 因为， 所以， 即， 即． 因为，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 ． 因为，所以①． 因为， 所以②． 联立①②可得，解得（负根舍去）， 故的面积为． 19. 如图，已知直线，是，之间的一点，且于点，于点，，（，为常数），点、分别为直线、上的动点，且，设. （1）若，求的面积； （2）当恰好中点时，求的周长的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由，结合锐角三角函数求出，进而得出三角形面积； （2）由直角三角形的边角关系结合勾股定理得出，进而表示周长，再利用与的关系，换元并由反比例函数性质得出周长最小值. 【小问1详解】 由题意，易得， ，，且，， ，， 又，. 【小问2详解】 由题意有，，， ， 所以的周长，其中. 设，则， ，所以，即， 所以. 所以，， 于是当时，， 因此，周长的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $