精品解析：四川省绵阳市游仙区2023-2024学年八年级下学期6月期末数学试题

2024年春季四川省绵阳市游仙区期末测试 八年级数学试题 本试卷分试题卷和答题卡两部分．满分100分，考试时间90分钟． 注意事项： 1、答题前考生务必将自己的姓名、准考证号用0. 5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、学校． 2、选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应目标号的位置上，非选择题答案使用0. 5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应题号位置上．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3、考生结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题的四个选项，只有一符合题目要求． 1. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则常数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 2. 12月4日为国家宪法日，某校开展“宪法进校园”法律知识竞赛，满分为10分，九年级1班10位学生的成绩如下（单位：分）：7、9、7、9、7、9、10、8、9，则这10位学生竞赛成绩的众数是（　　） A 4分 B. 7分 C. 9分 D. 10分 3. 关于一次函数，下列结论正确的是（　　） A. 图象过点 B. 其图象可由的图象向上平移3个单位长度得到 C. 随增大而增大 D. 图象经过一、二、三象限 4. 二次根式的除法则成立的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形是（　　） A ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这样做的道理是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是矩形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 7. 小明和哥哥一起同速去离家1600米的菜鸟驿站，小明取完包裹后随即原路原速度返回，哥哥花了8分钟寄出一个包裹后原路原速度返回，下面的图象表示小明和哥哥之间的距离与时间之间的关系，其中较合理的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，分别是和的平分线，，分别与相交于点，，，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，根据图象可知，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是年月在北京召开的第届国际数学家大会会标，创作的灵感来源于我国三国时代东吴数学家赵爽所注的著作《周髀算经》中的一个数学知识，这个数学知识是（ ） A. 黄金分割 B. 完全平方公式 C. 平方差公式 D. 勾股定理 11. 一组数据为5,6，7，8，10，10,某同学在抄题时，误把其中一个10抄成了100，那么该同学所抄的数据和原数据相比，不变的统计量是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 众数 12. 已知正方形的对角线长为2，则此正方形的边长为（　　） A. B. 2 C. D. 二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分．将答案直接填写在答题卡的相应位置． 13. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 14. 重庆9月5日到10日的最高气温的折线统计图如图所示，则这六天的最高气温的中位数是____ 15. 若一次函数的图像向上平移2个单位长度后经过点，则__________． 16. 如图，四边形为菱形，点，菱形的对角线相交于点E，连接，则的长是______． 17. 一船向东航行，上午9：00到达一座灯塔P的西南68 n mine的M处，上午11:00到达这座灯塔的正南的N处，则船的航行速度为_____（结果保留根号）； 18. 如图，是一钝角三角形，，现以为斜边向外作等腰直角三角形，点D为边中点，连接，若，则_____． 三、解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的和谐二次根式． （1）若与是关于的和谐二次根式，求； （2）若与是关于的和谐二次根式，求的值． 20. 在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人射击成绩的平均数均是8.9环，方差分别是，，则甲、乙两人在这次射击训练中成绩更稳定的是哪个人？ 21. 已知四边形中，．连接，过点C作的垂线交于点E，连接． （1）如图1，若，求证：四边形是菱形； （2）如图2，连接，设相交于点F，垂直平分线段，求的大小． 22. 一列快车、一列慢车同时从相距的甲、乙两地出发，相向而行．如图，、分别表示两车到甲地的距离与行驶时间的关系． （1）直接写出快车和慢车的速度； （2）求经过多长时间两车第一次相遇？ （3）当快车到达目的地时，求慢车距离甲地多远？ 23. 如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接AC，OA＝4，OA＝2OC． （1）根据题意，写出点A的坐标　　，点C的坐标　　； （2）将纸片OABC沿EF折叠，使点A落在点C的位置，求CE所在直线的表达式　　． 24. 【问题探究】 数学实践小组的同学利用一张宽的矩形纸片进行了如下的操作写探究： 第一步：如图1，将该矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平． 第二步：如图2，将图1中矩形纸片沿过点E的直线折叠，使点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平． （1）【问题解决】 如图1，填空：四边形的形状是__________． （2）如图2，小明连接了，E两点，发现线段写是相等的． ①请帮助小明写出证明过程； ②如图2，若，求的值． （3）【问题延伸】如图3，若该矩形纸片的长，点Q在边上，且，P是边上的动点（不与点A，B重合）．现将纸片沿折叠，使点B，C分别落在点，处．在点P从点A向点B运动的过程中，若边与边交于点E，则点E相应运动的路径长为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春季四川省绵阳市游仙区期末测试 八年级数学试题 本试卷分试题卷和答题卡两部分．满分100分，考试时间90分钟． 注意事项： 1、答题前考生务必将自己的姓名、准考证号用0. 5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、学校． 2、选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应目标号的位置上，非选择题答案使用0. 5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应题号位置上．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3、考生结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题的四个选项，只有一符合题目要求． 1. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则常数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的图象经过二、三、四象限判断出的取值范围即可． 【详解】解：一次函数的图象经过二、三、四象限， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当，时函数的图象在二、三、四象限． 2. 12月4日为国家宪法日，某校开展“宪法进校园”法律知识竞赛，满分为10分，九年级1班10位学生的成绩如下（单位：分）：7、9、7、9、7、9、10、8、9，则这10位学生竞赛成绩的众数是（　　） A. 4分 B. 7分 C. 9分 D. 10分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，根据众数的概念解答即可． 【详解】解：7、9、7、9、7、9、10、8、9， 出现的次数最多， 这10位学生竞赛成绩的众数是9分． 故选：C 3. 关于一次函数，下列结论正确的是（　　） A. 图象过点 B. 其图象可由的图象向上平移3个单位长度得到 C. 随的增大而增大 D 图象经过一、二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，因此图象不经过点，故A选项结论错误； 的图象向上平移3个单位长度得到的图象，故B选项结论正确； ，因此随的增大而减小，故C选项结论错误； 图象经过一、二、四象限，故D选项结论错误； 故选B． 4. 二次根式的除法则成立的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数没有平方根，以及分母不为确定出所求即可． 【详解】解：∵二次根式的除法则成立， ∴，． 故选：B． 【点睛】此题考查了分式的乘除法，二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，以及二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理如果三角形三边满足，那么三角形是直角三角形，逐一判断即可． 【详解】解：， ∴A不可以组成三角形，不符合题意； ， B可以组成直角三角形，符合题意； ， C不可以组成直角三角形，不符合题意； ， D不可以组成直角三角形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 6. 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这样做的道理是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是矩形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，为此要测量两组对边是否相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形，所以还要测量它们的两条对角线是否相等， 【详解】解：∵两组对边的长度分别相等，AD=BC，AB=DC， ∴四边形ABCD为平行四边形， 又∵测量它们的两条对角线相等，AC=BD， ∴平行四边形ABCD为矩形． 故选择D． 【点睛】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键． 7. 小明和哥哥一起同速去离家1600米的菜鸟驿站，小明取完包裹后随即原路原速度返回，哥哥花了8分钟寄出一个包裹后原路原速度返回，下面的图象表示小明和哥哥之间的距离与时间之间的关系，其中较合理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分段判断小明和哥哥之间的距离与时间的关系即可． 【详解】解：当两人同时去菜鸟驿站时，小明和哥哥之间的距离为0； 当哥哥寄包裹，小明取完包裹原路返回时，小明和哥哥之间的距离逐渐增加； 当哥哥寄出包裹后原路返回时且小明到家之前，小明和哥哥之间的距离保持不变； 当哥哥原路返回时且小明到家之后，小明和哥哥之间的距离逐渐变小，直到为零， 所以符合这一过程的函数图象为： 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象的识别，读懂题意，分析得出每个时间段函数的大致图象是解题的关键． 8. 如图，在中，，分别是和的平分线，，分别与相交于点，，，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行四边形性质与等腰三角形的判定．证明，则，同理，求出，从而即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，根据图象可知，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象求得交点坐标，根据直线的图象位于直线图象的上方，即可求解． 【详解】由题意可知：直线与直线相交于， 结合函数图象可知当时， 直线的图象位于直线图象的上方， 即关于的不等式的解集为：． 故选A． 【点睛】本题考查了根据两直线交点坐标求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 10. 如图，是年月在北京召开的第届国际数学家大会会标，创作的灵感来源于我国三国时代东吴数学家赵爽所注的著作《周髀算经》中的一个数学知识，这个数学知识是（ ） A. 黄金分割 B. 完全平方公式 C. 平方差公式 D. 勾股定理 【答案】D 【解析】 【分析】如图，边长为的大正方形的面积等于个全等的两个直角边长分别为和的直角三角形的面积加上边长为的小正方形的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示： 由题意得：边长为的大正方形的面积个全等的两个直角边长分别为和的直角三角形的面积边长为的小正方形的面积， 即：， 整理得：， 即直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是利用面积法证明勾股定理． 11. 一组数据为5,6，7，8，10，10,某同学在抄题时，误把其中一个10抄成了100，那么该同学所抄的数据和原数据相比，不变的统计量是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 众数 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数、平均数、方差和众数的定义解答可得． 【详解】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，在不抄错的情况下，中位数是7.5， 当把把其中一个10抄成了100，把这些数排列后，中位数还是7.5， 平均数、方差和众数都有变化，所以计算结果不受影响的是中位数； 故选：A． 【点睛】本题主要考查中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键． 12. 已知正方形的对角线长为2，则此正方形的边长为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方形的性质，可得AD=CD，∠D=90°，再利用勾股定理求正方形的边长． 【详解】解：如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠D=90°， 在Rt△ADC中， ∵AD2+CD2=AC2，即2CD2=AC2， ∴CD2=2， 解得：CD=，（ CD=-舍去）， 所以该正方形的边长为， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质和勾股定理．利用勾股定理得方程是解决本题的关键． 二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分．将答案直接填写在答题卡的相应位置． 13. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，可求解x的取值范围，进而可求解． 【详解】根据二次根式的意义，被开方数2x﹣6≥0，解得x≥3； 根据分式有意义的条件，2x﹣6≠0，解得x≠3． ∴x＞3． 故答案为：x＞3． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 14. 重庆9月5日到10日的最高气温的折线统计图如图所示，则这六天的最高气温的中位数是____ 【答案】29 【解析】 【分析】本题主要考查中位数的定义，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果这组数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：根据6天的最高气温折线统计图， 将这6天的最高气温按从小到大排列为： 25，28，28，30，31，32， 故中位数为 故答案为：29． 15. 若一次函数图像向上平移2个单位长度后经过点，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数图像的点，先根据“上加下减”的平移法则写出平移后的一次函数解析式，再将点代入求解即可． 【详解】由题意得，一次函数的图像向上平移2个单位长度后解析式为， 即， ∵平移后的图像过点， ∴， 故答案为：3． 16. 如图，四边形为菱形，点，菱形的对角线相交于点E，连接，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键． 在中，利用勾股定理可得，根据菱形的性质可得,,进而得到、，再在中，利用勾股定理可得长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：在中，， ∵菱形的对角线相交于点E， ∴, ∴， ∴， 在中，可得， ∵菱形的对角线相交于点E， ∴, ∴． 故答案为：． 17. 一船向东航行，上午9：00到达一座灯塔P的西南68 n mine的M处，上午11:00到达这座灯塔的正南的N处，则船的航行速度为_____（结果保留根号）； 【答案】n min/h 【解析】 【分析】△PMN是等腰直角三角形，在三角形中已知MP长，根据三角函数即可求得MN的长，除以时间2小时，即可求得这只船航行的速度． 【详解】解：由题意，∠M=45°，则在Rt△PNM中， ，即， ∴MN=， ∴（海里/小时）． 故答案为：n min/h． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的方法，确定△PMN是等腰直角三角形是解决本题的关键． 18. 如图，是一钝角三角形，，现以为斜边向外作等腰直角三角形，点D为边中点，连接，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． 如图：分别取中点，连接，易证四边形为平行四边形可得；再证可得，再证为等腰直角三角形，然后运用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：分别取中点，连接， 在中，是边上的中点， ∴，即， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵等腰和等腰， ∴， 又∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则， ∴， ∴在中，， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的和谐二次根式． （1）若与是关于的和谐二次根式，求； （2）若与是关于的和谐二次根式，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 小问1详解】 解：由题意可得，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得，， 整理得，， ∴． 20. 在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人射击成绩的平均数均是8.9环，方差分别是，，则甲、乙两人在这次射击训练中成绩更稳定的是哪个人？ 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解． 【详解】解：因为＞， 所以关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定是乙． 21. 已知四边形中，．连接，过点C作的垂线交于点E，连接． （1）如图1，若，求证：四边形是菱形； （2）如图2，连接，设相交于点F，垂直平分线段，求的大小． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定、垂直平分线的判定与性质等知识点，灵活运用垂直平分线的判定与性质成为解题的关键． （1）先证明可得，再证明四边形是平行四边形以及即可证明结论； （2）由垂直平分线段可得，再证垂直平分，再证，最后根据平角的性质即可解答． 【小问1详解】 证明：设与交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵垂直平分线段， ∴且， ∴， 又∵且， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 22. 一列快车、一列慢车同时从相距的甲、乙两地出发，相向而行．如图，、分别表示两车到甲地的距离与行驶时间的关系． （1）直接写出快车和慢车的速度； （2）求经过多长时间两车第一次相遇？ （3）当快车到达目的地时，求慢车距离甲地多远？ 【答案】（1）， （2）4小时 （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息并计算； （1）分别用各自的总路程除以总时间即可得各自的速度； （2）用总路程除以快车与慢车的速度和即可得两车第一次相遇时间； （3）用慢车到目的地的时间减去快车到甲地的时间，再乘以慢车的速度即可． 【小问1详解】 解：快车的速度为，慢车的速度为， 故答案为：45，30； 【小问2详解】 解： 答：经过两车第一次相遇； 【小问3详解】 解：， 答：当快车到达目的地时，慢车距离甲地． 23. 如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接AC，OA＝4，OA＝2OC． （1）根据题意，写出点A的坐标　　，点C的坐标　　； （2）将纸片OABC沿EF折叠，使点A落在点C的位置，求CE所在直线的表达式　　． 【答案】（1）（4，0），（0，2） （2）y＝﹣x+2 【解析】 【分析】（1）由OA＝4，OA＝2OC，得OC＝2，即可得出点A、C的坐标； （2）由折叠的性质得AE＝CE，设CE＝AE＝x，则OE＝4﹣x，在Rt△OCE中，由勾股定理列方程可得AE的长，从而求出点E的坐标，然后用待定系数法求函数解析式即可． 【小问1详解】 解：∵OA＝4，OA＝2OC． ∴OC＝2， ∴A（4，0），C（0，2）； 故答案为：（4，0），（0，2）； 【小问2详解】 解：由折叠知：AE＝CE， 设CE＝AE＝x，则OE＝4﹣x， 在Rt△OCE中，由勾股定理得： ， 解得x＝， ∴OE＝4﹣＝， ∴E（，0）， 设直线CE的函数解析式为：y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线CE的函数解析式为y＝﹣x+2． 故答案为：y＝﹣x+2． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了翻折的性质，勾股定理，待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 24. 【问题探究】 数学实践小组的同学利用一张宽的矩形纸片进行了如下的操作写探究： 第一步：如图1，将该矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平． 第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，使点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平． （1）【问题解决】 如图1，填空：四边形的形状是__________． （2）如图2，小明连接了，E两点，发现线段写是相等的． ①请帮助小明写出证明过程； ②如图2，若，求的值． （3）【问题延伸】如图3，若该矩形纸片的长，点Q在边上，且，P是边上的动点（不与点A，B重合）．现将纸片沿折叠，使点B，C分别落在点，处．在点P从点A向点B运动的过程中，若边与边交于点E，则点E相应运动的路径长为__________． 【答案】（1）正方形 （2）①证明见解析；② （3） 【解析】 【分析】（1）由翻折可知，又不难证明长方形，从而可得结论． （2）①由题目中的等量关系，考虑证明．②可以把DN：EN转化为面积比，计算三角形的面积即可． （3）注意动点E随着P的移动先从左往右，再从右往左，计算几个零界点时QE的长度即可． 【小问1详解】 解：依题意，， ∴四边形是矩形． 又， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形． 【小问2详解】 ①证明：连接EC、，则由翻折的对称性可知EC=， 又由（1）可知AE=AD=BC， ∴Rt△≌Rt△BCE， ∴=BE． 在Rt△和Rt△中，又由∠A=，=， ∴， ∴． ②解：∵， ∴， Rt△中，设AM=x，则， 解得． Rt△和Rt△中， ∵， ∴． ∴Rt△∽Rt△． ∴． 解得． 而， ∴． 【小问3详解】 （3）解：如图，连接， ∵边与边CD交于点E， ∴∠BQP=≥∠EQP． 故∠EQP≤∠EQB． 当P在点A处时，由对折可得 由可得 QE=， 当P移动到AP=2时，如图，同理可得：点E向右移动到QE=2， 当P移动到∠EQP=∠EQB时，点E又向左移动到QE=QB= 当P继续移动时，边与边CD不相交，不合题意． 故点E移动的路径长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形的综合问题、动点问题．矩形的性质，轴对称的性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键在与分析动点的运动状态，特别是要准确地判断零界点发生的条件，并确定位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$